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专题9.2 直线与圆的位置关系（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）
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这是一份专题9.2 直线与圆的位置关系（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专题92直线与圆的位置关系原卷版docx、专题92直线与圆的位置关系解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
【核心素养】
1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．
知识点一
圆的定义
圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
知识点二
圆的标准方程
1.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
2.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|(2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔；
(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.
知识点三
圆的一般方程
圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
知识点四
直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
3.代数法：，方程组有一组不同的解.
知识点五
直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
3.代数法：，方程组有两组不同的解.
4.弦长求法：
（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2eq \r(r2－d2)．
（2）代数法：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])．
知识点六
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
知识点七
常用结论
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f (1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)l))eq \s\up12(2).
5．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
常考题型剖析
题型一： 求圆的方程
【典例分析】
例1-1．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
例1-2.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【规律方法】
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式训练】
变式1-1.（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 .
题型二：圆心、半径及直线过圆心问题
例2-1.（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
例2-2.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【总结提升】
涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
题型三：二元二次方程与圆的关系
【典例分析】
例3-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为 .（写出一个值即可）
【总结提升】
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大．
题型四： 点与圆的位置关系
例4-1.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
例4-2.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
变式4-2.【多选题】（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知圆，点在直线上，若在圆上存在一点，使得，则满足条件的的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．
题型五： 直线与圆相切
例5-1.（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
例5-2.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
【变式训练】
变式5-1.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
变式5-2.（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
题型六： 直线与圆相交及弦长
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2.（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【规律方法】
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）直线与直线垂直，且被圆截得的弦长为，则直线的一个方程为 .（写出一个方程即可）
变式6-2.（2020·天津·统考高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
题型七： 直线与圆有公共点问题
例7-1.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7-2.（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【总结提升】
1.直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
2.处理直线与圆的位置关系问题有几何法（即比较圆心到直线的距离和半径长的大小）；代数法（联立方程
，研究方程组解的个数）.
【变式训练】
变式7-1.（2023·福建龙岩·统考二模）已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
题型八： 直线与圆无公共点问题
例8-1.（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8-2.（北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【规律方法】
d>r⇔圆与直线相离；
Δ<0⇔直线与圆相离．
已知直线l与⊙C相离，圆心C到l的距离为d，圆半径为r，P是⊙C上任意一点，P到l的距离d1，满足d－r≤d1≤d＋r.过C作CD⊥l，垂足为D，直线CD交⊙C于A、B，过A、B、P作l的平行线l1、l2、l3，l3与CD相交于E，则有d1＝ED，而AD≤ED≤BD，∴d－r≤d1≤d＋r．
【变式训练】
变式8-1.（2023·河南·校联考模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
变式8-2.（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ．
题型九： 直线与圆的最值问题
例9-1.（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
例9-2.（2022秋·河南商丘·高二校联考期中）已知圆，圆，M、N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时 ．
【规律方法】
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【变式训练】
变式9-1.（2023·河北·校联考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．13D．15
变式9-2.（2022·全国·高三专题练习）已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为 .
题型十：圆与圆的位置关系问题
例10-1.（2020秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是 .
例10-2.（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
3.公共弦长要通过解直角三角形获得．
【变式训练】
变式10-1.（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）已知圆与直线交于A，两点，点在圆上，且，则的取值范围为 .
变式10-2.（2023秋·全国·高二期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ．
题型十一： 与圆有关的轨迹问题
例11-1.（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例11-2.（2023·全国·高三专题练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
【变式训练】
变式11-1.【多选题】（2023·重庆万州·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：（，且）的点P的轨迹是圆”，后来人们称这个圆为阿波罗尼奥斯圆．在平面直角坐标系xOy中，，，若，点P的轨迹为圆C，则下列结论中错误的有（ ）
A．圆C的方程是
B．面积的最大值为4
C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为
D．若点，则的最小值为5
变式11-2.（2023秋·山西大同·高三大同市第三中学校校考阶段练习）已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动.
(1)求线段的中点M的轨迹方程；
(2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
一、单选题
1．（2013·重庆·高考真题）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A．6B．4C．3D．2
2.（2006·安徽·高考真题）直线与圆没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）过点引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）.
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（ ）
8.（2020·全国·统考高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
9．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知为圆上一点，、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．4
11．（2023秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
12．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知直线及圆，则（ ）
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A．直线l与⊙M相离
B．点P到直线l距离的最小值为
C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
三、填空题
15．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
16.（2012·天津·高考真题）设,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆 相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 ．
17．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 .
18．（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为 ．
【核心素养】
1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养．
知识点一
圆的定义
圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
知识点二
圆的标准方程
1.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：．
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆．
2.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|
(3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔.
知识点三
圆的一般方程
圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程．
(2) 对方程：.
①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；
②若，则方程只表示一个点，；
③若，则方程不表示任何图形．
知识点四
直线与圆相切
1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即；
3.代数法：，方程组有一组不同的解.
知识点五
直线与圆相交及弦长
1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；
2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即；
3.代数法：，方程组有两组不同的解.
4.弦长求法：
（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2eq \r(r2－d2)．
（2）代数法：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax＋by＋c＝0,x－x02＋y－y02＝r2))，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(1＋\f(1,k2)[y1＋y22－4y1y2])．
知识点六
圆与圆的位置关系
设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().
(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.
(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解.
(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.
(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.
(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.
知识点七
常用结论
1．圆的三个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程．
4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq \f (1,2)l满足关系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,2)l))eq \s\up12(2).
5．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
常考题型剖析
题型一： 求圆的方程
【典例分析】
例1-1．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
例1-2.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【规律方法】
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【变式训练】
变式1-1.（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
变式1-2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 .
题型二：圆心、半径及直线过圆心问题
例2-1.（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．1D．
例2-2.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
【总结提升】
涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②圆心在任一弦的垂直平分线上．
【变式训练】
变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2016·天津·高考真题（文））已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
题型三：二元二次方程与圆的关系
【典例分析】
例3-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
例3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数且的图像恒过定点，且点在圆外，则符合条件的整数的取值可以为 .（写出一个值即可）
【总结提升】
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
【变式训练】
变式3-1.（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知p：，q：关于x，y的方程表示圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式3-2.（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为 时，方程表示的圆的半径最大．
题型四： 点与圆的位置关系
例4-1.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．
A．4B．5C．6D．7
例4-2.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【变式训练】
变式4-1.（2022秋·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆：过坐标原点，则实数的值为（ ）
A．2或1B．-2或-1C．2D．-1
变式4-2.【多选题】（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知圆，点在直线上，若在圆上存在一点，使得，则满足条件的的值可能为（ ）
A．0B．1C．2D．
题型五： 直线与圆相切
例5-1.（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
例5-2.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的条数．
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0．
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，切线方程为x＝x0．
【变式训练】
变式5-1.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
变式5-2.（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
题型六： 直线与圆相交及弦长
例6-1.（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．B．C．D．
例6-2.（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【规律方法】
1.弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq \r(r2－d2).
【变式训练】
变式6-1.（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）直线与直线垂直，且被圆截得的弦长为，则直线的一个方程为 .（写出一个方程即可）
变式6-2.（2020·天津·统考高考真题）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ．
题型七： 直线与圆有公共点问题
例7-1.（2023秋·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）已知直线，点与点关于原点对称，若直线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7-2.（2023·全国·统考高考真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【总结提升】
1.直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．
2.处理直线与圆的位置关系问题有几何法（即比较圆心到直线的距离和半径长的大小）；代数法（联立方程
，研究方程组解的个数）.
【变式训练】
变式7-1.（2023·福建龙岩·统考二模）已知M是圆上一个动点，且直线：与直线：（，）相交于点P，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
题型八： 直线与圆无公共点问题
例8-1.（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例8-2.（北京·高考真题）已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形面积的最小值为 ．
【规律方法】
d>r⇔圆与直线相离；
Δ<0⇔直线与圆相离．
已知直线l与⊙C相离，圆心C到l的距离为d，圆半径为r，P是⊙C上任意一点，P到l的距离d1，满足d－r≤d1≤d＋r.过C作CD⊥l，垂足为D，直线CD交⊙C于A、B，过A、B、P作l的平行线l1、l2、l3，l3与CD相交于E，则有d1＝ED，而AD≤ED≤BD，∴d－r≤d1≤d＋r．
【变式训练】
变式8-1.（2023·河南·校联考模拟预测）圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
变式8-2.（2022秋·安徽马鞍山·高二校联考期中）已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ．
题型九： 直线与圆的最值问题
例9-1.（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
例9-2.（2022秋·河南商丘·高二校联考期中）已知圆，圆，M、N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，当P点横坐标为时取得最小值，则此时 ．
【规律方法】
1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝eq \f (y－b,x－a)形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2.求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【变式训练】
变式9-1.（2023·河北·校联考一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．10B．12C．13D．15
变式9-2.（2022·全国·高三专题练习）已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为 .
题型十：圆与圆的位置关系问题
例10-1.（2020秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考阶段练习）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值是 .
例10-2.（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【规律方法】
1.判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦（两圆方程相减即得公共弦方程）所在直线的方程，转化为直线与圆相交的弦长问题．
3.公共弦长要通过解直角三角形获得．
【变式训练】
变式10-1.（2023秋·江西抚州·高二金溪一中校联考阶段练习）已知圆与直线交于A，两点，点在圆上，且，则的取值范围为 .
变式10-2.（2023秋·全国·高二期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是 ．
题型十一： 与圆有关的轨迹问题
例11-1.（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
例11-2.（2023·全国·高三专题练习）已知圆C过点，，且圆心C在直线上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点，M为AP的中点，O为坐标原点，求的最大值.
【变式训练】
变式11-1.【多选题】（2023·重庆万州·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：（，且）的点P的轨迹是圆”，后来人们称这个圆为阿波罗尼奥斯圆．在平面直角坐标系xOy中，，，若，点P的轨迹为圆C，则下列结论中错误的有（ ）
A．圆C的方程是
B．面积的最大值为4
C．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为
D．若点，则的最小值为5
变式11-2.（2023秋·山西大同·高三大同市第三中学校校考阶段练习）已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动.
(1)求线段的中点M的轨迹方程；
(2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹问题的四种方法
(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．
(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．
(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．
(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．
一、单选题
1．（2013·重庆·高考真题）设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 ( )
A．6B．4C．3D．2
2.（2006·安徽·高考真题）直线与圆没有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3.（2023春·广西·高三统考阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）过点引直线l与曲线相交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积取最大值时，直线l的斜率等于（ ）.
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·江苏扬州·高二统考开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（ ）
8.（2020·全国·统考高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
9．（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知为圆上一点，、，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10.（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．4
11．（2023秋·天津宁河·高三天津市宁河区芦台第一中学校考期末）己知直线：被圆截得的弦长为，则点与圆上点的距离最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
12．（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知直线及圆，则（ ）
A．直线过定点
B．直线截圆所得弦长最小值为2
C．存在，使得直线与圆相切
D．存在，使得圆关于直线对称
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，点P为⊙M ：上一点，则（ ）
A．直线l与⊙M相离
B．点P到直线l距离的最小值为
C．与⊙M关于直线l对称的圆的方程为
D．平行于l且与⊙M相切的两条直线方程为和
三、填空题
15．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知圆关于直线对称，圆交于、两点，则
16.（2012·天津·高考真题）设,若直线 与 轴相交于点A,与y轴相交于B,且l与圆 相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则面积的最小值为 ．
17．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知圆和圆，若对于上的任意一点，使得过点都可作一条射线与圆依次交于点，满足，则的取值范围是 .
18．（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为 ．
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