专题12.2 离散型随机变量的分布列、均值与方差（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，凸显数学抽象、数据分析的核心素养.
2.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单的离散型随机变量的均值、方差，凸显数学运算的核心素养．
3.能利用离散型随机变量的均值、方差的概念解决一些简单实际问题，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
知识点一
离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
知识点二
离散型随机变量数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
常考题型剖析
题型一： 写出随机变量的分布列
【典例分析】
例1-1．（2023上·高二课时练习）统计某地历史上近两百年的年降水量，得到以下数据：
请据此构造一个随机变量并求其分布.
例1-2.（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：
求随机变量的分布列．
【总结提升】
求分布列的三种方法
1.由统计数据得到离散型随机变量的分布列；
(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；
(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．
2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．
3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．
【变式训练】
变式1-1（2023上·高二课时练习）设离散型随机变量X的分布列为：
求随机变量的分布列．
变式1-2.（2023·全国·高二课堂例题）全班有40名学生，某次数学作业的成绩如下：
现从该班中任选一名学生，用X表示这名学生的数学作业成绩，求随机变量X的分布列．
题型二：离散型随机变量的分布列性质
【典例分析】
例2-1.（2023下·吉林长春·高二长春外国语学校校考期中）设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例2-2.随机变量X的分布列如下，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝eq \f(2,3)，公差d的取值范围是 .
【总结提升】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
【变式训练】
变式2-1.（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2-2.（2023上·高二课时练习）若离散型随机变量X的分布列为：
则（ ）
A．B．C．D．
题型三： 由随机变量的分布列求概率
【典例分析】
例3-1.【多选题】（2023下·河南周口·高二校联考期中）已知离散型随机变量的分布列为
则下列选项正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
例3-2.（2020下·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）设离散型随机变量的概率分布列如下：
则 .
【变式训练】
变式3-1.（2023上·高二课时练习）随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A．B．
C．D．
变式3-2.（2023下·福建福州·高二校联考期中）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型四： 两点分布
【典例分析】
例4-1．（2023下·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 .
例4-2.．（2023·全国·高二课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
【变式训练】
变式4-1（2023下·江苏盐城·高二校联考期中）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6B．0.3C．0.2D．0.4
变式4-2．（2023·全国·高二课堂例题）设某项试验的成功率是失败率的2倍，若用随机变量X描述一次试验成功的次数，求的值．
题型五： 求离散型随机变量的均值
【典例分析】
例5-1．（2020·浙江省高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则_______；______．
例5-2.（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【规律方法】
计算均值的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值，可直接用均值的性质.
【变式训练】
变式5-1.（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ．
变式5-2.（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
题型六： 两点分布、超几何分布的均值
【典例分析】
例6-1.（2022下·安徽·高二校联考期末）为了解高三学生复习的效果，某学校进行了预测考试，随机抽查了5名学生的语文成绩与数学成绩，得到如下数据：
现从这5人中任选3人进行学习方法的分享，用X表示其中语文分数大于数学分数的人数，则E（X） = .
例6-2.（2023下·山西朔州·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
【变式训练】
变式6-1.一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为( )
A．eq \f(3,4) B．eq \f(4,5)
C．eq \f(5,4) D．eq \f(4,3)
变式6-2.（2023下·浙江嘉兴·高二校考期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 .
题型七： 已知均值求参数
【典例分析】
例7-1.（2023上·高二课时练习）若随机变量X的分布列为
且，则a，b分别为（ ）
A．B．C．D．
例7-2.（2023下·高二课时练习）已知随机变量X的概率分布为
若，且，则 ．
【变式训练】
变式7-1.（2023·全国·高三对口高考）设离散型随机变量可能取的值为1，2，3，4．．又的数学期望，则（ ）
A．B．C．D．
变式7-2.（2023下·贵州毕节·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为
且，则 ．
题型八： 随机变量的方差、标准差
【典例分析】
例8-1.（2024·浙江温州·统考一模）已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
例8-2.（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知随机变量X的分布列如下表所示，若，则（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
计算方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的方差和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的方差和标准差，可直接用均值及方差的性质.
【变式训练】
变式8-1.（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知的分布列为
则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
变式8-2.（2023上·高二课时练习）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
题型九： 方差的性质及其应用
【典例分析】
例9-1.（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例9-2.（2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
变式9-1.（2023上·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列如下：
若，则的最小值等于（ ）
A．0B．2
C．1D．
变式9-2.（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A．B．
C．D．
题型十： 方差的期望表示
【典例分析】
例10-1.【多选题】（2023下·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
例10-2.（2023上·高二课时练习）一袋中装有编号为1、2、3、4、5的五个大小与质地相同的球.依次摸两个球，用、分别表示第一个及第二个球的编号.在以下两种情况下分别求、以及两编号之和的分布，再分别验证等式与是否成立.
(1)放回；
(2)不放回.
【变式训练】
变式10-1.【多选题】（2023下·河北石家庄·高二河北师范大学附属中学校考阶段练习）设随机变量的分布列为其中．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．随着的从小到大变化，先增大后减小D．有最小值
变式10-2.（2023上·高二课时练习）设X是一个随机变量，c是常数.求证：X＋c的方差与X的方差相等.
题型十一： 实际问题中的科学决策
【典例分析】
例11-1.（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）.
(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望；
(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值.
例11-2.（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【规律方法】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
3.几种常用的解题方法
(1)转化法．
将现实问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
【变式训练】
变式11-1.（2023·福建厦门·统考模拟预测）甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
(2)赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？
变式11-2.（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
题型十二： 与统计的综合问题
【典例分析】
例12-1.（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）某企业引进一条先进的生产线，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图：

(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，求“抽出的产品中恰有1件一等品”的概率；
(2)若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取14件产品，再从这14件产品中任取3件产品，求一等品的件数的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表（）：
试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．
例12-2.（2023上·北京西城·高三北京市第三十五中学校考开学考试）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【变式训练】
变式12-1.（2022上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间中）作为样本进行统计，按照，，，，，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x，y的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，设抽到的学生成绩在的人数为X，将样本频率视为概率，求X的概率分布列及期望．
变式12-2.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
.
一、选择题
1.（2023上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考开学考试）某银行有一自动取款机，在某时刻恰有个人正在使用或等待使用该取款机的概率为，根据统计得到，则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·河北邯郸·高二校考期中）甲､乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（ ）
A．B．C．D．或
3．（2023上·浙江·高三校联考阶段练习）设离散型随机变量的期望和方差分别为和，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．和大小不确定
二、多选题
4．（2023下·福建泉州·高二校考期末）已知离散型随机变量的分布列为
若离散型随机变量满足，则下列说法正确的有（ ）
A．B．0C．D．
5．（2023上·安徽·高三安徽省怀远第一中学校联考阶段练习）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
关于两种股票，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．投资股票甲的期望收益较大D．投资股票甲比投资股票乙风险高
三、填空题
6.（2023下·山东聊城·高二统考期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
7．（2023下·福建福州·高二校联考期中）随机变量的概率分布列如下：
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
8.（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ， .
9．（2023·全国·高三专题练习）一个不透明的口袋中装有个红球，个黑球（，），小球除颜色外其余均相同．现从中任意取出一个球后，再换一个另一种颜色的球（非红即黑）放入口袋中．记换球完毕后口袋中红球的个数为，当时，＝ ，＝ ．
四、解答题
10.（2023上·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置：游戏在两人中进行，参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张，规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束，能够获得最后一张奖券的参与者获胜.
(1)设游戏结束时参与双方摸券的次数为X，求X的所有可能的取值及对应的概率；
(2)从胜负概率的角度，判断游戏规则设置是否公平.
11．（2020·江苏·统考高考真题）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn．
（1）求p1，q1和p2，q2；
（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用 n表示) ．
12．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
年降水量/mm
0～100
100～200
200～300
300～400
400以上
年数
10
55
85
35
15
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
分数
0
1
2
3
4
5
人数
0
1
3
12
20
4
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
3
4
5
9
P
X
0
1
P
2a
3a
1
2
4
6
0.2
0.1
学生
甲
乙
丙
丁
戊
语文
76
89
110
128
132
数学
82
94
135
115
124
X
0
1
2
P
a
b
X
－2
－1
0
1
2
P
m
X
0
1
2
P
0.1
X
0
1
P
a
b
0
1
2
P
b
0
1
2
每天下午6点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
天数
10
10
5
质量指标值m
[70，80）
[80，85）
[85，90）
[90，100]
质量指标等级
废品
三等品
二等品
一等品
质量指标值m
[70，80）
[80，85）
[85，90）
[90，100]
利润y（元）
－t2
2t
4t
7t
最高
气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
收益X（元）
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
－1
0
1