专练03 导数应用中求参数（范围）5种题型-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

这是一份专练03 导数应用中求参数（范围）5种题型-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用），文件包含专练03导数应用中求参数范围5种题型原卷版docx、专练03导数应用中求参数范围5种题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。

热点一
导数几何意义中求参数（范围）
1.（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）若过点可作两条直线与的图象相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设切点为，写出切线方程代点得，再转化为零点问题求解.
【详解】由题得，设切点为，
则切线方程为，
代点得，
所以.
当时，显然不成立；
当时，，设.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以.
又当时，，当时，.
所以当即时，有两解，即过点可作两条直线与的图象相切.
故选：B
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
【答案】C
【分析】由题意可求得直线与曲线和曲线分别切于点，，则，化简后得，然后将问题转化为方程解的个数，构造函数，利用导数和零点存在性定理可求得其零点的个数，从而可得答案.
【详解】根据题意可知，直线与曲线和曲线都相切，
所以对于曲线，则，所以，
所以切点，
对于曲线，则，所以，
切点，易知A,B不重合，
因为公切线过两点，所以，
进而可得，
令，则，
令，则
所以在单调递增，
因为，
所以存在使得，即，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
故.
又因为，
所以，
当时，，
因为，
所以在内存在，使得，
当时，，
因为，，
所以在内存在，使得，
综上所述，存在两条斜率分别为，的直线与曲线和曲线都相切，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决函数零点问题，解题的关键是求出两切点的坐标后，将问题转化为方程解的个数问题，然后构造函数，利用导数和零点存在性定理解决，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
3．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为______．
【答案】/
【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为的定义域为，且，
由题意可得：，
又因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
4．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．
【答案】
【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为
因为，所以切线方程为：．
又切线过，则，即
则由题可知函数图象与直线有两个交点，
由得，由得
所以在上单调递增，在上单调递减．
又，又，，，．
据此可得大致图象如下．

则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．
故答案为：.
5．（2023·山东烟台·统考三模）若曲线与曲线有两条公切线，则的值为________．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．
【详解】令，，则，，
设，则曲线在处切线为，
设，则曲线在处切线为，
由题意，消去得，
由题意，方程有两个不同的实数根，
令，则，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，取极大值；当时，取极小值，
又当时，根据以上信息作出的大致图象，

由图可知当，即时，直线与的图象有两个交点，从而方程有两个不同的实数根，
所以，曲线与曲线有两条公切线时，的值为．
故答案为：．
【点评】
应用导数的几何意义求参数问题中，根据参数所处的位置，主要有三类，一是参数位于切点坐标，二是参数在切线方程中，三是参数在曲线方程中；从解法上看，主要是利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等，得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．应特别注意的是：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
热点二
单调性问题中求参数问题
6．（2023春·陕西西安·高二统考期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．
【详解】由已知在上有解，
即在上有解，
设，则在上恒成立，因此在上是增函数，
，
所以，
故选：D．
7.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，对任意的，，且，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，根据题意可知，函数在上单调递减，即在上恒成立，分离参数得在上恒成立，再求出函数在上的上限，即可得解．
【详解】因为对任意的，，且，都有成立，
即对任意的，，且，都有成立，
令，
所以对任意的，，且，都有成立，
所以在上单调递减，
则在上恒成立，即在上恒成立，
易知在上，对于，则，即递减，
所以，即，即，
故，解得，所以实数a的取值范围是．
故选：A．
8．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）已知函数在上不是单调函数，且其图象完全位于直线与之间（不含边界），则的一个取值为_________.
【答案】2(答案不唯一)
【分析】根据函数在上不是单调函数利用导数确定，再由函数图象夹在两直线之间由正弦函数性质列出不等式组求解，即可得解.
【详解】由，则，
因为的最大最小值必在中取得，且在上不是单调函数，
所以必有，解得，
由图象完全位于直线与之间，
所以且，
即恒成立，所以，
综上，.
故答案为：2(答案不唯一)
9．（2023春·北京丰台·高二统考期末）已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为__________.
【答案】1
【分析】求出函数的导数，令可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案.
【详解】由于函数，故，
令，等号仅在时取得,
而，故，
即在上单调递增，
故函数在区间上单调递增，则m的最大值为1，
故答案为：1
10．（2023·全国·高三对口高考）函数在区间内单调递减，且在区间及内单调递增，则实数p的取值集合是__________．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得是函数的极值点，再借助导数求解并验证作答.
【详解】因为函数在内单调递减，在及内单调递增，
因此分别是函数的极大值、极小值点，而，
于是，且，解得，此时，
当时，，当或时，，
因此函数在内单调递减，在及内单调递增，符合题意，
所以实数p的取值集合是.
故答案为：
11.（2023·全国·高三对口高考）已知函数，其中a为常数，且．
(1)若，求函数的极值点；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入, 求出函数的导数，再利用导数确定函数的极值点作答.
（2）求出函数的导数，把函数在上递减问题转化为恒成立的不等式求解作答.
【详解】（1）当时，函数的定义域为R，求导得，
由，得，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点.
（2）函数，求导得，
因为函数在区间上单调递减，则，不等式恒成立，
当时, , 显然，恒成立，因此；
当时, 不等式等价于，
而，则不等式等价于，
令，显然函数在上单调递增，，
而，恒成立，等价于，恒成立，
因此，又，解得，于是，
所以实数的取值范围为.
12．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数
(1)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.
(2)探究：是否存在正数a，使得在上单调递增，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）令，得出，构造函数再求导，根据函数有两个零点求出的范围.
（2）求对求导，当时，利用放缩得到，然后对分类讨论，求出a的值.
【详解】（1）由已知，令，则，
令，则，
故当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以方程在上有两个实根，所以，
故实数a的取值范围为.
（2）依题意，
，
则
当时，
若，当时，，单调递减，不合题意；
若，时，同理可得，，
当时，，单调递诚，不合题意；
若时，，
令，则.
①当时，，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
②当时，若，
则，
若，，
所以在上单调递减，即在上单调递减.
由①②可知，，当且仅当时取等号，
所以当时，函数在上单调递增.
【点评】
1.单调性问题中求参数（范围）问题，一般有四类，一类是根据单调区间求参数，二类是根据函数的单调性求参数，三类是根据函数不是单调函数求参数，四类是函数存在单调区间．而参数处的位置有两种，参数在函数式中，参数在区间端点处，处理方法有所不同.
2.由函数的单调性求参数的取值（范围）的方法
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0(或f′(x)