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专题06 二元一次方程与方程组-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练(导图+知识点+新题检测)
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知识点01:解二元一次方程组
【高频考点精讲】
1.用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤
(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来;
(2)将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值;
(4)将求得未知数的值代入变形后的关系式,求出另一个未知数的值;
(5)把求得的x、y的值写在一起,用的形式表示,就是方程组的解。
2.用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤
(1)方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使某一个未知数的系数相等或互为相反数;
(2)把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个一元一次方程,求得x(或y)的值;
(4)将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值;
(5)把求得的x、y的值写在一起,用的形式表示,就是方程组的解。
知识点02:由实际问题抽象出二元一次方程组
【高频考点精讲】
1.由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法,它的关键是把已知量和未知量联系起来,找出题目中的相等关系;
2.一般来说,有几个未知量就列出几个方程,所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的是同类量;
(2)同类量的单位要统一;
(3)方程两边的数值要相符。
3.找等量关系是列方程组的关键和难点,有以下规律和方法:
(1)如果题目中国给出的条件由“;”分割成两部分,可以在“;”前、后找出对应的等量关系。
(2)如果题目中借助表格提供信息,可以将信息进行横向或纵向对比,找出对应的等量关系;
(3)如果题目中给出图形,可以分析图形的长、宽,找出对应的等量关系。
知识点03:列二元一次方程组解决实际问题
【高频考点精讲】
1.审题:找出已知条件和未知量以及它们之间的关系;
2.设元:找出题目中两个关键的未知量,并用字母表示出来,直接设元与间接设元;
3.列方程组:找出题目中的两个等量关系,列出方程组;
4.求解;
5.检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答。
知识点04:三元一次方程组的应用
【高频考点精讲】
在解决实际问题时,若未知量较多,要考虑设三个未知数,但同时应注意,设几个未知数,就要找到几个等量关系列几个方程。
1.把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组,为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础;
2.通过设二元与三元的对比,体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。
检测时间:90分钟 试题满分:100分 难度系数:0.58
一.选择题(共10小题,满分20分,每小题2分)
1.(2分)(2023•绵阳)我国古代数学著作《孙子算经)中有“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有16头,下有44足,问鸡兔各几何.”设鸡x只,兔y只,可列方程组( )
A.B.
C.D.
2.(2分)(2023•泰安)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x两,每枚白银重y两.根据题意得( )
A. B.
C. D.
3.(2分)(2023•甘孜州)有大小两种盛酒的桶,已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛(斛,音hú,是古代的一种容量单位),1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛.1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛?设大桶可以盛酒x斛,小桶可以盛酒y斛,则可列方程组为( )
A.B.
C.D.
4.(2分)(2023•西宁)《孙子算经》中有一道题,原文是:今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长x尺,绳长y尺,根据题意列方程组得( )
A.B.
C.D.
5.(2分)(2023•眉山)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x﹣y=4,则m的值为( )
A.0B.1C.2D.3
6.(2分)(2023•黑龙江)某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本(三种图书都要买),此次采购的方案有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
7.(2分)(2023•宜宾)“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题.意思是:鸡兔同笼,从上面数,有35个头;从下面数,有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有x只,兔有y只,则所列方程组正确的是( )
A.B.
C.D.
8.(2分)(2023•齐齐哈尔)为提高学生学习兴趣,增强动手实践能力,某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150cm的导线,将其全部截成10cm和20cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根),则截取方案共有( )
A.5种B.6种C.7种D.8种
9.(2分)(2023•绍兴)《九章算术》中有一题:“今有大器五、小器一容三斛;大器一、小器五容二斛.问大、小器各容几何?”译文:今有大容器5个,小容器1个,总容量为3斛(斛:古代容量单位);大容器1个,小容器5个,总容量为2斛,问大容器、小容器的容量各是多少斛?设大容器的容量为x斛,小容器的容量为y斛,则可列方程组是( )
A.B.
C.D.
10.(2分)(2023•宁波)茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一,是助力乡村振兴的民生产业.某村有土地60公顷,计划将其中10%的土地种植蔬菜,其余的土地开辟为茶园和种植粮食,已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷,问茶园和种粮食的面积各多少公顷?设茶园的面积为x公顷,种粮食的面积为y公顷,可列方程组为( )
A.B.
C.D.
二.填空题(共10小题,满分20分,每小题2分)
11.(2分)(2023•谷城县模拟)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,其中有一段文字的大意是:甲、乙两人各有若干钱,如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有48文;如果乙得到甲所有钱的,那么乙共有钱48文,甲、乙二人原来各有多少钱?试求甲原有 文钱.
12.(2分)(2023•四平三模)《孙子算经》是我国古代经典数学名著,其中有一道“鸡兔同笼”问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何?”学了方程(组)后,我们可以非常快捷地解决这个问题,如果设鸡有x只,兔有y只,那么可列方程组为 .
13.(2分)(2023•朝阳)已知关于x,y的方程组的解满足x﹣y=4,则a的值为 .
14.(2分)(2023•盐城)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何?”意思是:“几个人一起去购买某物品,每人出8钱,则多出3钱;每人出7钱,则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少?”该问题中的人数为 .
15.(2分)(2023•永康市一模)《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里,朝去暮还来.某日,戴宗去180里之外的地方打探情报,去时顺风,用了2小时;回来时逆风,用了6小时,则戴宗的速度为 里/小时.
16.(2分)(2023•朝阳区一模)一个33人的旅游团到一家酒店住宿,酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间,住宿价格是一人间每晚100元,三人间每晚130元.(说明:男士只能与男士同住,女士只能与女士同住,三人间客房可以不住满,但每间每晚仍需支付130元.)
(1)若该旅游团一晚的住宿房费为1530元,则他们租住了 间一人间;
(2)若该旅游团租住了3间一人间,且共有19名男士,则租住一晚的住宿房费最少为 元.
17.(2分)(2023•秦淮区模拟)关于x,y的方程组的解满足x+y=1,则m的值为 .
18.(2分)(2023•上虞区模拟)我国古代数学问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺,若将绳四折测之,绳多一尺,井深几何?这段话的意思是:用绳子量井深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一尺,问井深几尺?则该问题中的井深是 尺.
19.(2分)(2023•威海)《九章算术》中有一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”题目大意是:有几个人一起去买一件物品,每人出8元,多3元;每人出7元,少4元.问有多少人?该物品价值多少元?设有x人,该物品价值y元,根据题意列方程组: .
20.(2分)(2023•仪征市二模)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数鸡价各几何?译文:今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少?设人数为x,买鸡的钱数为y,可列方程组为 .
三.解答题(共8小题,满分60分)
21.(6分)(2023•西藏)列方程(组)解应用题
如图,巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽;
(2)求电视背景墙的面积.
(6分)(2023•常德)解方程组:.
23.(8分)(2023•重庆)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份?
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份?
24.(8分)(2023•张家界)为拓展学生视野,某中学组织八年级师生开展研学活动,原计划租用45座客车若干辆,但有15人没有座位;若租用同样数量的60座客车,则多出三辆车,且其余客车恰好坐满.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表所示:
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少?原计划租用多少辆45座客车?
(2)若租用同一种客车,要使每位师生都有座位,应该怎样租用才合算?
(8分)(2023•安徽)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
26.(8分)(2023•深圳)某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
(1)求A,B玩具的单价;
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的总额不高于20000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具?
27.(8分)(2023•宜昌)为纪念爱国诗人屈原,人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个,肉粽12个,共付款136元,已知肉粽单价是豆沙粽的2倍.
(1)求豆沙粽和肉粽的单价;
(2)超市为了促销,购买粽子达20个及以上时实行优惠,下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位:个)和付款金额(单位:元);
①根据上表,求豆沙粽和肉粽优惠后的单价;
②为进一步提升粽子的销量,超市将两种粽子打包成A,B两种包装销售,每包都是40个粽子(包装成本忽略不计),每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A,B两种包装中分别有m个豆沙粽,m个肉粽,A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现,A,B两种包装的销量分别为(80﹣4m)包,(4m+8)包,A,B两种包装的销售总额为17280元.求m的值.
28.(8分)(2023•广西)【综合与实践】:有言道:“杆秤一头称起人间生计,一头称起天地良心”,某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤,小组先设计方案,然后动手制作,再结合实际进行调试,请完成下列方案设计中的任务,
【知识背景】:如图,称重物时,移动秤砣可使杆秤平衡,根据杠杆原理推导得:(m0+m)•l=M•(a+y),其中秤盘质量m0克,重物质量m克,秤砣质量M克,秤纽与秤盘的水平距离为1厘米,秤纽与零刻线的水平距离为a厘米,秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
【方案设计】:目标:设计简易杆秤.设定m0=10,M=50,最大可称重物质量为1000克,零刻线与末刻线的距离定为50厘米.
任务一:确定l和a的值.
(1)当秤盘不放重物,秤砣在零刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物,秤砣从零刻线移至末刻线时,杆秤平衡,请列出关于l,a的方程;
(3)根据(1)和(2)所列方程,求出l和a的值;
任务二:确定刻线的位置.
(4)根据任务一,求y关于m的函数解析式;
(5)从零刻线开始,每隔100克在秤杆上找到对应刻线,请写出相邻刻线间的距离.
甲型客车
乙型客车
载客量(人/辆)
45
60
租金(元/辆)
200
300
豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
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