专题09 一元一次不等式与不等式组-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测）

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知识点01：解一元一次不等式（组）
【高频考点精讲】
1．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或含有字母的式子，不等号的方向不变，
即 若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
即若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，
即若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
不等式的变形
①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号。
②两边都乘、除同一个数，只有乘、除负数时，不等号方向才改变。
2．解一元一次不等式
（1）根据不等式的性质解一元一次不等式
（2）步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。以上步骤中，只有“去分母”和“系数化为1”可能改变不等号方向，其他都不会改变不等号方向。
知识点02：一元一次不等式（组）的应用
【高频考点精讲】
1．由实际问题中的不等关系列出不等式（组），建立解决问题的模型，通过解不等式（组）得到实际问题的答案。
2．列不等式（组）解应用题需要以“至少”，“最多”，“不超过”，“不低于”等关键词体现问题中的不等关系。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.60
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•湖北）不等式组的解集是（ ）
A．1≤x＜2B．x≤1C．x＞2D．1＜x≤2
解：
由①移项，合并同类项得：2x≥2，
系数化为1得：x≥1；
由②移项，合并同类项得：﹣3x＞﹣6，
系数化为1得：x＜2，
则原不等式组的解集为：1≤x＜2，
故选：A．
2．（2分）（2023•西藏）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：，
由①x≤2，
由②得x＞﹣1，
不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选：C．
3．（2分）（2023•绵阳）关于x的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（ ）
A．11B．15C．18D．21
解：解不等式3x+2＞m，得x＞，
解不等式≤1，得x≤3，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴1≤＜2，
∴5≤m＜8，
∴整数m的取值为5，6，7，
∴所有整数m的和5+6+7＝18．
故选：C．
4．（2分）（2023•襄阳）如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＞1C．﹣1＜xD．﹣1＜x≤1
解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是1﹣＜x≤1，
故选：D．
5．（2分）（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12nB．52+15n＜70+12n
C．52+12n＞70+15nD．52+12n＜70+15n
解：由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
6．（2分）（2023•德阳）不等式组的解集是（ ）
A．x≤1B．x＜4C．1≤x＜4D．无解
解：由题意，，
∴由①得，x≤1；由②得，x＜4．
∴原不等式组的解集为：x≤1．
故选：A．
7．（2分）（2023•德阳）如果a＞b，那么下列运算正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3B．a+3＜b+3C．3a＜3bD．＜
解：A、若a＞b，则a﹣3＞b﹣3，故A不符合题意；
B、若a＞b，则a+3＞b+3，故B不符合题意；
C、若a＞b，则3a＞3b，故C不符合题意；
D、若a＞b，则＜，正确，故D符合题意．
故选：D．
8．（2分）（2023•鄂州）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2023＝（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2023
解：由x﹣a＞2，得：x＞a+2，
由x+1＜b，得：x＜b﹣1，
∵解集为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，b﹣1＝1，
解得a＝﹣3，b＝2，
则（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
9．（2分）（2023•眉山）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ）
A．﹣5≤m＜﹣4B．﹣5＜m≤﹣4C．﹣4≤m＜﹣3D．﹣4＜m≤﹣3
解：解不等式组得：m+3＜x＜3，
由题意得：﹣2≤m+3＜﹣1，
解得：﹣5≤m＜﹣4，
故选：A．
10．（2分）（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由x﹣1＜2，得：x＜3；
由1﹣x＜4，得：x＞﹣3；
∴不等式组的解集为：﹣3＜x＜3；
在数轴上表示如下：
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•株洲）关于x的不等式的解集为 x＞2 ．
解：x﹣1＞0，
移项，得：x＞1，
系数化1，得x＞2．
故答案为：x＞2．
12．（2分）（2023•哈尔滨）不等式组的解集是 x＞ ．
解：，
由①得：x＞，
由②得：x≥﹣，
则不等式组的解集为x＞．
故答案为：x＞．
13．（2分）（2023•日照）若点M（m+3，m﹣1）在第四象限，则m的取值范围是 ﹣3＜m＜1 ．
解：∵点M（m+3，m﹣1）在第四象限，
∴，
解不等式①得：m＞﹣3，
解不等式②得：m＜1，
∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜1，
故答案为：﹣3＜m＜1．
14．（2分）（2023•宜宾）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则整数a的值为 2或﹣1 ．
解：，
解不等式①得：x＞a﹣1，
解不等式②得：x≤5，
∴a﹣1＜x≤5，
∵所有整数解的和为14，
∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，
∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，
∵a为整数，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
15．（2分）（2023•广东）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 8.8 折．
解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
16．（2分）（2023•凉山州）不等式组的所有整数解的和是 7 ．
解：，
解不等式①得：x＞，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集为﹣＜x≤4，
由x为整数，可取﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，
则所有整数解的和为7，
故答案为：7．
17．（2分）（2023•黄石）若实数a使关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜4，则实数a的取值范围为 a≤﹣1 ．
解：解不等式组，得．
∵它的解集为﹣1＜x＜4，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
18．（2分）（2023•大庆）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数a的取值范围为 ﹣3≤a＜﹣2 ．
解：解不等式3（x﹣1）＞x﹣6，得：x＞﹣1.5，
解不等式8﹣2x+2a≥0，得：x≤a+4，
∵不等式组有三个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1，0、1，
则1≤a+4＜2，
解得﹣3≤a＜﹣2．
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
19．（2分）（2023•泸州）关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＞2，写出a的一个整数值 6 ．
解：
①﹣②得：x+y＝a﹣3．
∵x+y＞2，
∴a﹣3，
解得a．
∵，
∴．
∴，
∵a取整数值，
∴a可取大于5的所有整数．
故本题答案为：6（答案不唯一）．
20．（2分）（2023•大渡口区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣13 ．
解：，
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x≤，
∵不等式组的解集为x＜﹣2，
∴≥﹣2，
解得：a≥﹣8，
，
2y＝a﹣（y+1），
解得：y＝，
∵分式方程的解为负整数，
∴＜0且≠﹣1，
∴a＜1且a≠﹣2，
∴﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵分式方程的解为负整数，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣13，
故答案为：﹣13．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•淮安）（1）计算：|﹣2|+（1+）0﹣；
（2）解不等式组．
解：（1）|﹣2|+（1+）0﹣
＝2+1﹣3
＝0．
（2），
解不等式①，得x＜4，
解不等式②，得x＜1，
∴不等式组的解集为x＜1．
22．（6分）（2023•武汉）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x＜3 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣1 ：
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 ﹣1≤x＜3 ．
解：，
（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；
故答案为：x＜3；
（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；
故答案为：x≥﹣1；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
故答案为：﹣1≤x＜3．
23．（8分）（2023•聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见如表：
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团）．在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
解：（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：50m＞45×51，
解得：m＞45.9，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
24．（8分）（2023•眉山）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
解：（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书（100﹣m）本，
根据题意得：35m+30（100﹣m）≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本．
25．（8分）（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格；
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；
（2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，
根据题意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000，
解得：m≥100，
∴m的最小值为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
26．（8分）（2023•淄博）某古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队*旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表：
*题中的团队人数均不少于10人．
现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人．
（1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲、乙团队各有多少人？
（2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少多少人？
解：（1）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
∵当乙大于100人时，此时甲人数只能是1人，共花的价格不够5580元；
∴乙人数在51到100之间，甲人数在10到50之间；
∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；
解之得：x＝48，102﹣x＝54；
∴甲48人，乙54人；
答：甲团队48人，乙团队54人．
（2）设甲人数x人，乙人数（102﹣x）人；
甲乙一起买价格：102×40＝4080（元）；
甲乙分开买价格：60x+（102﹣x）50；
∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；
解之得：x≥18．
∴甲最少18人；
答：甲团队最少18人．
27．（8分）（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加．
（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分．某班级在15场比赛中获得总积分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？
（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？
解：（1）设胜了x场，负了y场，
根据题意得：，
解得，
答：该班级胜负场数分别是13场和2场；
（2）设班级这场比赛中投中了m个3分球，则投中了（26﹣m）个2分球，
根据题意得：3m+2（26﹣m）≥56，
解得m≥4，
答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球．
28．（8分）（2023•辽宁）某礼品店经销A，B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元．
（1）求购进A，B两种礼品盒的单价分别是多少元；
（2）若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进A种礼品盒多少盒？
解：（1）设购买每盒A种礼品盒要x元，每盒B种礼品盒要y元，由题意得，
，
解得：，
答：购买每盒A种礼品盒要100元，每盒B种礼品盒要120元；
（2）设需要购买m个A种礼品盒，则购买（40﹣m）个B种礼品盒，由题意得，
100m+120（40﹣m）≤4500，
解得：m≥15，
答：最少需要购买15个A种礼品盒．
票的种类
A
B
C
购票人数/人
1～50
51～100
100以上
票价/元
50
45
40
购票人数m（人）
10≤m≤50
51≤m≤100
m＞100
每人门票价（元）
60
50
40