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专题17 圆-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测）
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这是一份专题17 圆-2024年中考数学一轮复习重难点精讲练（导图+知识点+新题检测），文件包含专题17圆教师版docx、专题17圆学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
知识点01：垂径定理及其应用
【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
知识点02：圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
知识点03：圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
知识点04：三角形的外接圆与外心
【高频考点精讲】
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
知识点05：切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
知识点06：三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
知识点07：弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形＝πR2
②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
知识点08：圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
4、圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
5、圆锥的体积＝×底面积×高
6、注意事项
（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
2．（2分）（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
3．（2分）（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4．（2分）（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（2分）（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（2分）（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（2分）（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．πcm2
8．（2分）（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
10．（2分）（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 °．
12．（2分）（2023•南通）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 度．
13．（2分）（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝ °．
14．（2分）（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
15．（2分）（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 m．（结果保留π）
16．（2分）（2023•北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 ．
17．（2分）（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 ．
18．（2分）（2023•青海）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
19．（2分）（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
20．（2分）（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
22．（6分）（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
23．（8分）（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．
24．（8分）（2023•娄底）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．
（1）求证：四边形BOCG为菱形．
（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
25．（8分）（2023•营口）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，csC＝，求BF的长．
26．（8分）（2023•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．
27．（8分）（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为 ．
28．（8分）（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
知识点01：垂径定理及其应用
【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
知识点02：圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
知识点03：圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
知识点04：三角形的外接圆与外心
【高频考点精讲】
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
知识点05：切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
知识点06：三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
知识点07：弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形＝πR2
②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
知识点08：圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
4、圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
5、圆锥的体积＝×底面积×高
6、注意事项
（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
2．（2分）（2023•锦州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，连接OA，OC．若⊙O的半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（ ）
A．πB．πC．πD．2π
3．（2分）（2023•赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
4．（2分）（2023•广西）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．则∠AOB的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（2分）（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
6．（2分）（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，则∠DBC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
7．（2分）（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆⊙O1，⊙O2，⊙O3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．πcm2
8．（2分）（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（ ）
A．B．C．D．
9．（2分）（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A．a＜bB．a＝b
C．a＞bD．a，b大小无法比较
10．（2分）（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023•青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），P（﹣1，0），⊙P过原点O，且与x轴交于另一点D，AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数为 °．
12．（2分）（2023•南通）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 度．
13．（2分）（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝ °．
14．（2分）（2023•宁波）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为 cm2．（结果保留π）
15．（2分）（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为 m．（结果保留π）
16．（2分）（2023•北京）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 ．
17．（2分）（2023•绍兴）如图，四边形ABCD内接于圆O，若∠D＝100°，则∠B的度数是 ．
18．（2分）（2023•青海）如图，正方形ABCD的边长是4，分别以点A，B，C，D为圆心，2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
19．（2分）（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
20．（2分）（2023•南充）如图，AB是⊙O的直径，点D，M分别是弦AC，弧AC的中点，AC＝12，BC＝5，则MD的长是 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023•郴州）如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点．在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
22．（6分）（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
23．（8分）（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，点C是的中点，连接BC，过点C的直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的长．
24．（8分）（2023•娄底）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．
（1）求证：四边形BOCG为菱形．
（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
25．（8分）（2023•营口）如图，在△ABC中，AB＝BC，以BC为直径作⊙O与AC交于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若BE＝3，csC＝，求BF的长．
26．（8分）（2023•辽宁）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交⊙O于点G，交AB于点N，求的长．
27．（8分）（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 度．
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为 ．
28．（8分）（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
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