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所属成套资源：2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）
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沪教版 (五四制)八年级上册17．4 一元二次方程的应用优秀第2课时课时练习
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册17．4 一元二次方程的应用优秀第2课时课时练习，文件包含174第2课时一元二次方程的应用原卷版docx、174第2课时一元二次方程的应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答
经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用
体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识.
知识点一 列一元二次方程解实际问题的一般步骤
1.列方程解实际问题的实质
列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系.
设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法.
列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程.
解:解方程,求出未知数的值.
验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义.
答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则.
简记：审设列解验答。
即学即练（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A．3001+x2=1200B．300+300⋅2⋅x=1200
C．300+3001+x2=1200D．3001+1+x+1+x2=1200
知识点二 列一元二次方程解常见的实际问题
即学即练 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（ ）．
A．33-2xx=65B．32-2xx=65
C．31-2xx=65D．32-2xx+1=65
题型一 传播问题
例1 （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信．
举一反三1 （2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
举一反三2 （2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二 增长率问题
例2 （2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
举一反三1 （2023·广东湛江·统考二模）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平均降价率为 ．
题型三 营销问题
例3 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
举一反三1 （2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．
(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？
(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？
举一反三2 （2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台B型空气净化器的进价为多少元？
(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？
题型四 行程问题
例4 （2023秋·重庆开州·九年级统考期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
举一反三1 （2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
举一反三2 （2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
题型五 工程问题
例5 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
举一反三1 （2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年3月5号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的25%；如果九年级共青团员先做4小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多2小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
举一反三2 （2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
题型六 数字问题
例6 （2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
举一反三1 （2023秋·湖南岳阳·九年级统考期末）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
举一反三2 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ．
题型七 几何图形问题
例7 （2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三1 （2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？
(2)鸡舍面积能否达到？
举一反三2 （2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三3 （2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB=CD=EF=GH=xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么可列方程（不用化简）为
举一反三4 （2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如图，小明家要建一个面积为150平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为33米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？
题型八 动态几何图形问题
例8 （2023·湖南湘潭·湘潭江声实验学校校考三模）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
举一反三1 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1)的面积等于平方厘米？
(2)五边形的面积最小？最小值是多少？
举一反三2 （2023春·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校联考开学考试）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)运动几秒时四边形的面积为？
(2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
题型九 图表信息问题
例9 某旅行社一则旅游消息如下：
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？
举一反三1 某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．
（1）填表（结果需化简）
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
举一反三2 （2023·湖南张家界·统考一模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
单选题
1.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则x的值为（ ）
A．2B．7C．2或7D．3或6
2.（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
4.（2023春·广东广州·九年级校考开学考试）由陈冬、刘洋和蔡旭哲组成的神舟十四号航天员乘组，已于2022年12月4日由东风着陆场胜利返回．此次返回意义重大、影响深远．2022年是中国完成空间站建造的决战决胜之年，也是中国载人航天工程立项实施30周年。飞天逐梦，不仅让飞行器深入太空，更让科学精神扎根广大青少年心中．神州十二号载人飞船脱离核心舱后绕地球飞行大约20圈后用时28.3个小时后返回东风着陆场，神州十三号绕地球飞行圈数逐渐减少而神州十四号载人飞船脱离空间站后绕地球飞行约5圈后用时9个多小时胜利返回．祖国的科技发展日新月异，作为未来接班人的同学们，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．请利用上面数据，编制一道一元二次方程的应用题并解答”．
5.（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
6．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆市天星桥中学校考阶段练习）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值．
7．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
8．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
9．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
10．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
11．（2023·河南开封·统考一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用（且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
12．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
13．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2020年公共充电桩的数量为2万个，2022年公共充电桩的数量为2.88万个．求2020年至2022年该省公共充电桩数量的年平均增长率．
常见题型
列方程的理论依据
行程问题
路程=速度×时间
平均增长率(降低率)问题
为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数，
平均增长率公式:(为平均增长率)
平均降低率公式:(为平均降低率)
传播问题
传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为
销售利润问题
利润=售价-进价;
；
售价=进价×(1+利润率);
总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量
几何图形问题
利用几何图形的面积、周长公式
存款利息问题
本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数
数字问题
两位整数＝十位数字×10＋个位数字;
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
工程问题
一般情况把工作总量设为单位“1”
当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数
工作效率×工作时间＝工作总量
动态几何问题
运用几何知识以及行程公式，
一般采用间接设元的方法
旅游人数
收费标准
不超过人
人均收费元
超过人
每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元
时间
第一周
第二周
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
会分析实际问题中蕴含的数量关系，找出等量关系,列出一元二次方程解决实际问题，并根据具体问题的实际意义,取符合实际意义的解作答
经历分析和解决实际问题的过程,体会一元二次方程的数学建模作用
体会数学来源于实践,反过来又作用于实践,增强应用数学的意识.
知识点一 列一元二次方程解实际问题的一般步骤
1.列方程解实际问题的实质
列方程解实际问题就是先把实际问题抽象为数学问题(即转化)然后通过解决数学问题来解决实际问题。
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的数量关系.
设:是指设元,也就是设未知数,设元又分直接设元和间接设元.所谓直接设元就是问什么设什么;如果直接设元列方程比较难或列出的方程比较复杂,这时可以考虑间接设元,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但更便于列出方程,因此间接设元也是常用的一种方法.
列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系,然后列代数式表示这个等量关系，就得到含有未知数的等式，即方程.
解:解方程,求出未知数的值.
验:检验方程的解是否正确及能否使实际问题有意义.
答:回答问题一定要遵循“问什么答什么，怎样问就怎样答”的原则.
简记：审设列解验答。
即学即练（2022秋·上海静安·八年级校考期中）某超市一月份的营业额为300万元，一月、二月、三月的总营业额1200万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程为（ ）
A．3001+x2=1200B．300+300⋅2⋅x=1200
C．300+3001+x2=1200D．3001+1+x+1+x2=1200
知识点二 列一元二次方程解常见的实际问题
即学即练 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（ ）．
A．33-2xx=65B．32-2xx=65
C．31-2xx=65D．32-2xx+1=65
题型一 传播问题
例1 （2022秋·上海宝山·八年级校考期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信．
举一反三1 （2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
举一反三2 （2023秋·广东惠州·九年级统考期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有人参加活动，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
题型二 增长率问题
例2 （2022秋·上海奉贤·八年级校联考期中）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
举一反三1 （2023·广东湛江·统考二模）某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三2 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价600万元，经过连续两次降价，现价为486万元，则平均降价率为 ．
题型三 营销问题
例3 （2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
举一反三1 （2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．
(1)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？
(2)将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？
举一反三2 （2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）现在全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商场从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．
(1)求一台B型空气净化器的进价为多少元？
(2)在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，嗓音小而更受消费者的欢迎，为了增大B型空气净化器的销量，商场决定对B型空气净化器进行降价销售．经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天多卖出1台，如果每天商场销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商场应将B型空气净化器的售价定为多少元？
题型四 行程问题
例4 （2023秋·重庆开州·九年级统考期末）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值．
举一反三1 （2023·浙江台州·统考一模）小明在平整的草地上练习带球跑，他将球沿直线踢出后随即跟着球的方向跑去，追上球后，又将球踢出……球在草地上滚动时，速度变化情况相同，小明速度达到6m/s后保持匀速运动．下图记录了小明的速度以及球的速度随时间的变化而变化的情况，小明在4s时第一次追上球．（提示：当速度均匀变化时，平均速度，距离）
(1)当时，求关于t的函数关系式；
(2)求图中a的值；
(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬间增加6m/s，球运动方向不变，当小明带球跑完200m，写出小明踢球次数共有____次，并简要说明理由．
举一反三2 （2023春·重庆云阳·九年级校联考期中）周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地．
(1)求小明、小红的跑步速度；
(2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟．
题型五 工程问题
例5 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了米，而使用时间增加了小时，求的值．
举一反三1 （2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）在今年3月5号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的25%；如果九年级共青团员先做4小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多2小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
举一反三2 （2023春·河南新乡·九年级河南师大附中校联考期中）某市总预算亿元用三年时间建成一条轨道交通线.轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成.从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资.
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍.随后两年，线路敷设投资每年都增加亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工.经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3: 2.
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数.
题型六 数字问题
例6 （2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
举一反三1 （2023秋·湖南岳阳·九年级统考期末）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
举一反三2 已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ．
题型七 几何图形问题
例7 （2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建三条同样宽的小路，竖直的与平行，水平的与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足的方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三1 （2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个宽的门．
(1)矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为？
(2)鸡舍面积能否达到？
举一反三2 （2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）如图，某景区计划在一个长为，宽为40m的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建三块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，三块停车区域之间以及周边留有宽度相等的行车通道，问行车通道的宽度是多少m？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
举一反三3 （2022秋·上海静安·八年级校考期中）如图，在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中AB=CD=EF=GH=xm，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为864m2，那么可列方程（不用化简）为
举一反三4 （2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）如图，小明家要建一个面积为150平方米的养鸡场，养鸡场的一边靠墙，另三边（门除外）用竹篱笆围成．这堵墙长18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门．已知围建养鸡场的竹篱笆总长为33米（没有剩余材料，接头忽略不计），那么小明家养鸡场的长和宽应分别为多少米？
题型八 动态几何图形问题
例8 （2023·湖南湘潭·湘潭江声实验学校校考三模）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，四边形的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
举一反三1 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1)的面积等于平方厘米？
(2)五边形的面积最小？最小值是多少？
举一反三2 （2023春·云南昆明·九年级云南省昆明市第十中学校联考开学考试）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．
(1)运动几秒时四边形的面积为？
(2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
题型九 图表信息问题
例9 某旅行社一则旅游消息如下：
(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．
(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？
举一反三1 某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．
（1）填表（结果需化简）
（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
举一反三2 （2023·湖南张家界·统考一模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；
（3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）．
单选题
1.如图，长方形铁皮的长为，宽为，现在它的四个角上剪去边长为的正方形，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则x的值为（ ）
A．2B．7C．2或7D．3或6
2.（2023秋·河南新乡·九年级统考期末）如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（ ）
A．B．C．D．
二、解答题
4.（2023春·广东广州·九年级校考开学考试）由陈冬、刘洋和蔡旭哲组成的神舟十四号航天员乘组，已于2022年12月4日由东风着陆场胜利返回．此次返回意义重大、影响深远．2022年是中国完成空间站建造的决战决胜之年，也是中国载人航天工程立项实施30周年。飞天逐梦，不仅让飞行器深入太空，更让科学精神扎根广大青少年心中．神州十二号载人飞船脱离核心舱后绕地球飞行大约20圈后用时28.3个小时后返回东风着陆场，神州十三号绕地球飞行圈数逐渐减少而神州十四号载人飞船脱离空间站后绕地球飞行约5圈后用时9个多小时胜利返回．祖国的科技发展日新月异，作为未来接班人的同学们，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．请利用上面数据，编制一道一元二次方程的应用题并解答”．
5.（2023秋·广东惠州·九年级统考期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元，求两次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价元，每天可多销售4件，那么每天要想获得512元的利润，每件应降价多少元？
6．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆市天星桥中学校考阶段练习）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值．
7．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
8．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）．
(1)补全下列表格：
(2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？
9．（2023·四川成都·成都实外校考一模）为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟．
10．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．
(1)求A型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值．
11．（2023·河南开封·统考一模）阅读材料，解决问题．
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数．
则第n个三角数可以用（且为整数）来表示．
(1)若三角数是55，则______；
(2)把第n个三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，2n，…，请用含n的式子表示前n行所有点数的和；
(3)在（2）中的三角点阵中前n行的点数的和能为120吗？如果能，求出n，如果不能，请说明理由．
12．（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）第十四届国际数学教育大会（ICME—14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME—14的举办年份．
(1)八进制数3747换算成十进制数是______；
(2)小华设计了一个n进制数234，换算成十进制数是193，求n的值．
13．（2023秋·陕西咸阳·九年级统考期末）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2020年公共充电桩的数量为2万个，2022年公共充电桩的数量为2.88万个．求2020年至2022年该省公共充电桩数量的年平均增长率．
常见题型
列方程的理论依据
行程问题
路程=速度×时间
平均增长率(降低率)问题
为起始量,为终止量，为增长(或降低)的次数，
平均增长率公式:(为平均增长率)
平均降低率公式:(为平均降低率)
传播问题
传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设为传染源数，为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为
销售利润问题
利润=售价-进价;
；
售价=进价×(1+利润率);
总利润=总售价－总成本=单件利润×总销售量
几何图形问题
利用几何图形的面积、周长公式
存款利息问题
本息和＝本金+利息;利息＝本金×利率×期数
数字问题
两位整数＝十位数字×10＋个位数字;
三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
工程问题
一般情况把工作总量设为单位“1”
当甲独立完成整个工作时，工作时间与工作效率互为倒数
工作效率×工作时间＝工作总量
动态几何问题
运用几何知识以及行程公式，
一般采用间接设元的方法
旅游人数
收费标准
不超过人
人均收费元
超过人
每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元
时间
第一周
第二周
清仓时
单价（元）
80
40
销售量（件）
200
检测人数（人）
人均检测时间（秒）
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