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沪教版 (五四制)八年级上册18．3 反比例函数优秀达标测试
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这是一份沪教版 (五四制)八年级上册18．3 反比例函数优秀达标测试，文件包含183反比例函数原卷版docx、183反比例函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
1.理解反比例关系，能判断两个变量是否成反比例关系；
2.理解反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3.会用描点法画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数的性质；
4.能根据反比例函数的性质,确定反比例函数中参数的范围；
5.能运用正比例函数、反比例函数的知识以及待定系数法，确定一个涉及正比例关系和反比例关系的解析式.
知识点一 反比例函数的概念
1.成反比例
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.
2.正比例函数基本概念
(1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数.
(2)定义域：不等于零的一切实数.
(3)值域：不等于零的一切实数
注意：
（1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量;
（2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零.
(4)解析式表达形式：
①普通形式：;
②其他形式：
第一种：
第二种：
学生问：为什么？
老师说：反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义.
即学即练1 下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=3xC．xy=3D．y=3x−1
即学即练2（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知一个反比例函数为y=m+2xm−3，求m的值．
知识点二 反比例函数的画法及图像
1.画反比例函数一般步骤
（1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0.
（2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确）
（3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展
2.反比函的图像
反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达.
即学即练 （2023秋·山东临沂·九年级统考期末）已知，在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ΔABC的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下：
(1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______．
(2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象；
(3)如果Mx1,y1，Nx2,y2是此函数图象上的两个点，且x1>x2>0，判断y1与y2的大小．
知识点三 反比例函数的性质
知识点四 比例系数k的几何意义
1.与两坐标轴围成的矩形的面积
如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积
因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
2.与坐标轴围成的三角形的面积
如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为.
即学即练 （2023春·江苏·八年级期末）如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．无法计算
知识点五 反比例函数解析式的确定
1.方法
待定系数法.
2.确定反比例函数解析式的一般步骤
（1）设:设反比例函数解析式为.
（2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程.
（3）解:解关于的方程得到的值.
（4）写:写出反比例函数解析式.
即学即练 如图，已知反比例函数y=kx的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线 y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）．
（1）求反比例函数y=kx与直线y=ax+b的解析式；
（2）连接OC，求△AOC的面积；
（3）根据所给条件，直接写出不等式ax+b≥kx的解集
题型一 用反比例函数描述数量关系
例1（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如1,1，2023,2023，……，都是“雁点”，函数y=4x图像的“雁点”坐标为 ．
举一反三1（2023·北京·九年级专题练习）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
举一反三2（2022秋·上海·八年级统考期中）下列关系式中的两个量成反比例的是( )
A．圆的面积与它的半径；B．正方形的周长与它的边长；
C．路程一定时，速度与时间；D．长方形一条边确定时，周长与另一边．
题型二 根据定义判断是否是反比例函数
例2（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（ ）．
A．在y=2x+1中，y−1与x成正比B．在y=1x+1中，y−1与x成反比
C．若yx=3，则x，y成正比D．若xy=0，则x，y成反比
举一反三1（2020秋·上海浦东新·八年级校联考期末）下列四组点中，可以在同一个反比例函数图像上的一组点是（ ）
A．(2,−1),(1,−2)B．(2,−1),(1,2)
C．(2,−1),(2,1)D．(2,−1),(−2,−1)
举一反三2（2019秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期末）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例
题型三 根据反比例函数的定义求参数
例3（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知函数y=k−1x是反比例函数，则k的取值范围是 ．
举一反三1 （2022秋·上海宝山·八年级校考期末）已知：y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例．当x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
举一反三2 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，当x=2时，y=2；当x=−1时，y=1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3时，求y的值．
题型四 求反比例函数值
例4 （2023·上海崇明·统考二模）已知fx=6x，那么f2= ．
举一反三1（2022秋·上海·八年级期末）已知y与x+1成反比例，且当x=1时，y=2；求：当x=0时，y的值．
举一反三2（2021秋·上海浦东新·八年级上海市建平实验中学校考期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为y=100x，如果近似眼镜镜片的焦距x=0.25米，那么近视眼镜的度数y为 .
题型五 由反比例函数值求自变量
例5（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数y=2x图象上的是（ ）
A．1,2B．2,1C．−1,2D．−1,−2
举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA=4，OC=6，点E是AB的中点，反比例函数图像过点E且和BC相交于点F．
(1)求直线OB和反比例函数的解析式；
(2)求四边形OEBF的面积．
举一反三2（2022秋·上海·八年级期末）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=12BC.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数y=12x(x>0)的图像经过△OAB的顶点和边的AB中点C，分别过B、C作BD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D,E,CE是△ABD的中位线.如果点B的横坐标为3，则点C的坐标为 .
题型六 判断 (画) 反比例函数图象
例6
（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）关于函数y=−2x，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
举一反三1
（2022秋·上海·八年级期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数：
(1)研究函数y=1x+1：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质．
(2)研究函数y=1x+3的图像与性质；
(3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明；
(4)研究函数y=4x+5x−2的图像与性质．
举一反三2
（2022·上海长宁·统考二模）关于反比例函数y＝4x，下列说法中错误的是（ ）
A．y的值随x的值增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象是双曲线
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式
例7
（2019秋·上海浦东新·九年级校考期中）在函数y=kx（k>0）的图像上有三点A1（x1，y1）.A2（x2.y2）.A3（x3.y3），若x1A．y1举一反三1
（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A． k1举一反三2
（2022·广东湛江·校联考二模）如图，P是反比例函数图象上的一点，点P与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为 ．
题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
例8
（2020秋·上海·八年级校考期末）已知函数y=2x与y=kx的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ．
举一反三1
（2021春·上海宝山·九年级统考期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点A2,3和点B3,2为一对“关联点对”．如果反比例函数y=10x在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为32，那么这对“关联点对”中，距离x轴较近的点的坐标为 ．
举一反三2
（2020秋·八年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数y=k2x的图像一个交点的坐标是（－1，3），则它们另一个交点的坐标是 ．
题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围
例9
（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）已知反比例函数y=2k+1x的图像在第二、四象限，那么k的取值范围是 .
举一反三2
（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数y=m−1x的图像上两点Ax1,y1、Bx2,y2，当0举一反三2
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知反比例函数y=2m−6x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
题型十 判断反比例函数的增减性
例10
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知反比例函数y=kx的图象经过3,−1，那么对此函数描述正确（ ）．
A．y随x增大而增大B．x<0时，y随x增大面减小
C．y随x增大而减小；D．x<0时，y随x增大而增大
举一反三2
（2023·上海崇明·统考二模）已知一个反比例函数图像经过点P−2,3，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而 ．（填“增大”或“减小”）
举一反三2
（2023·上海杨浦·统考三模）平面直角坐标系xOy中，若点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A．x1>x2>0B．x2>x1>0C．x1题型十一 判断反比例函数图象所在象限
例11
（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图像中，可能是反比例函数y=6x的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三2
（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=2−kxk<0图象的两支分别在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限
举一反三2
（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）关于反比例函数y=3x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a,b）在它的图象上，则点（b,a）也在它的图象上
题型十二 已知反比例函数的增减性求参数
例12
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）反比例函数y=1−mx图像经过A1,y1、B2,y2，且y1>y2，那么m的取值范围是 ．
举一反三2
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）设p，q都是实数，且p举一反三2
（2022秋·上海·八年级校考期中）若反比例函数y=3k−4x在每一象限内，y随x的减小而减小，则k的取值范围是 ．
题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小
例13
（2022秋·上海·八年级校考期中）在函数y=k+1x的图像上有三点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)、A3(x3,y3)，且x1举一反三1
（2021秋·上海·八年级统考期中）如果反比例函数的图象经过点A2020，−2021，Bx1，y1、Cx2，y2，且x1A．y1y2C．y1=y2D．不能比较
举一反三2
（2023·上海徐汇·统考二模）如果点−2,y1、−1,y2、2,y3在反比例函数y=kxk<0的图像上，那么（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y3>y1>y2D．y3>y2>y1
题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积
例14
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，点P在反比例函数y=kx（x>0）第一象限的图像上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ和面积是s，那么s与k之间的数量关系是（ ）
A．s=k4B．s=k2C．s=kD．不能确定
举一反三1
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）图象上，点P是函数y=kx（k>0，x>0）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形OFPE和正方形OABC不重合部分的面积为S．
(1)点B的坐标是______，k=______；
(2)当S=92，求点P的坐标；
(3)求出S关于m的函数关系式．
举一反三2
（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，点P1、P2、P3、P4在反比例函数y=2x（x>0）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= ．
举一反三3
（2022秋·上海徐汇·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=kx（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
题型十五 根据图形面积求比例系数(解析式)
例15
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知P是反比例函数图象上的点，若PA⊥x轴，且△PAO的面积是3，那么反比例函数的解析式是 ．
举一反三1
（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）反比例函数在第二象限内的图像上有一点A，过A作AB⊥x轴于点B，联结OA，已知△OAB的面积为4．则反比例函数的解析式为
举一反三2
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kxk<0的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
(1)联结AO，当S△APO=2时，求反比例函数的解析式；
(2)联结AO，若A−1,2，y轴上是否存在点M，使得S△APM=S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
(3)点B在直线AP上，且PB=3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
题型十六 求反比例函数解析式
例16
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正比例函数y=kxk≠0与反比例函数y=−2x的图像交于点A−1,m和点B．求k的值和点B的坐标．
举一反三1
（2023·上海静安·统考二模）已知反比例函数y=kx的图像经过点−1,4．
(1)求k的值；
(2)完成下面的解答过程．
解不等式组x+3>1①kx>1②
解：解不等式①，得______；
在方格中画出反比例函数y=kx的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是______；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是______．
举一反三2
（2023·上海嘉定·统考二模）如果反比例函数y=a−1x的图像经过点1,−2，那么这个反比例函数的解析式为 ．
题型十七 实际问题与反比例函数
例17
（2023·上海普陀·统考二模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y关于镜片焦距x的函数解析式是 ．
举一反三1
（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热，此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x(min)成反比例关系．若水温在20℃时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
(1)水温从20℃加热到100℃，需要 min；
(2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？
举一反三2
（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；
(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
题型十八 反比例函数与几何综合
例18
（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为a,a．
(1)如图1，如果正方形的顶点B在直线y=12x上，求点A的坐标．
(2)如图2，若双曲线y=3x(x>0) 与此正方形的边有交点，求a的取值范围．
举一反三1
（2021秋·上海·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是2，2．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，且点B1落在函数y=−4x的图象上，如果此时四边形AA1C1C的面积是20，那么点C1的坐标是 ．
举一反三2
（2021秋·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在直线y=2x上，双曲线y=kx经过点A，且与边CD交于点E.
(1)若BC=4，求k的值和点E的坐标；
(2)连接AE、OE.
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
单选题
1.（2020秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）点Am,2，Bn,3在函数y=−3x图象上，那么m，n的符号和大小关系是（ ）
A．mn>0D．n>m>0
2．（2021秋·上海青浦·八年级统考期中）若点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图像上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y2>y1
3．（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知矩形的面积为 10，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）点A、M在函数y=1x(x>0)图象上，点B、N在函数y=−3x(x<0)图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段AB的垂线，垂足为Q、P，若四边形ABCD与四边形MNPQ均为正方形，则正方形MNPQ的面积是 ．
2．（2022秋·八年级统考期中）如图，点A是射线y=k1xx≥0上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y=k2x交CD边于点E，若DEEC=32，则k1的值是 ．
3．（2023·上海长宁·统考二模）已知点A(−4，m)在反比例函数y=kx的图像上，点A关于y轴的对称点A1恰好在直线y=12x上，那么k的值为 ．
三、解答题
1.（2021秋·上海·八年级期中）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，当x=2时，y=2；当x=−1时，y=1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3时，求y的值．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
3
2
1.5
…
反比例函数
k的符号
k＞0
k＜0
图像
图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交
性质
图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小
图像的两支分别位于第二、四象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大
1.理解反比例关系，能判断两个变量是否成反比例关系；
2.理解反比例函数，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3.会用描点法画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线，掌握反比例函数的性质；
4.能根据反比例函数的性质,确定反比例函数中参数的范围；
5.能运用正比例函数、反比例函数的知识以及待定系数法，确定一个涉及正比例关系和反比例关系的解析式.
知识点一 反比例函数的概念
1.成反比例
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例.
2.正比例函数基本概念
(1)概念：形如的函数叫做反比例函数，其中叫做比例系数.
(2)定义域：不等于零的一切实数.
(3)值域：不等于零的一切实数
注意：
（1）函数解析式右边是一个分式，分子是不为零的常数 (也叫做比例系数),分母是自变量;
（2）因为,,所以反比例函数上的函数值也不等于零.
(4)解析式表达形式：
①普通形式：;
②其他形式：
第一种：
第二种：
学生问：为什么？
老师说：反比例函数解析式中的,成反比例,无论变量,怎样变化,的值始终等于与的乘积,因此人们习惯上称为比例系数.若,则恒成立,为一个常数函数，失去了反比例函数的意义.
即学即练1 下列函数中，不是反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=3xC．xy=3D．y=3x−1
即学即练2（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知一个反比例函数为y=m+2xm−3，求m的值．
知识点二 反比例函数的画法及图像
1.画反比例函数一般步骤
（1）列表:列出自变量的几对互为相反数的值,并算出对应的的值，注意:不能为0.
（2）描点:以列表中每一组,的对应值作为点的横、纵坐标,在平面直角坐标系中描出这些坐标所对应的各点（描的点越多，画出的反比例函数图像越准确）
（3）连线:在轴的每一侧,按照从左到右的顺序分别用一条光滑的曲线联结,再向两方伸展
2.反比函的图像
反比例函数的图像叫做双曲线,它有两支,每支都是向两方无限伸展,它的图像向轴轴无限接近，但永远都无法到达.
即学即练 （2023秋·山东临沂·九年级统考期末）已知，在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，ΔABC的面积为3．小华准备画出此函数图像，列表如下：
(1)根据小华的列表直接写出y关于x的函数关系式______，x的取值范围是______．
(2)请你在如图所示的坐标系中帮助他描点并连线，画出此函数图象；
(3)如果Mx1,y1，Nx2,y2是此函数图象上的两个点，且x1>x2>0，判断y1与y2的大小．
知识点三 反比例函数的性质
知识点四 比例系数k的几何意义
1.与两坐标轴围成的矩形的面积
如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积
因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
2.与坐标轴围成的三角形的面积
如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为.
即学即练 （2023春·江苏·八年级期末）如图，两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．无法计算
知识点五 反比例函数解析式的确定
1.方法
待定系数法.
2.确定反比例函数解析式的一般步骤
（1）设:设反比例函数解析式为.
（2）代:将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程.
（3）解:解关于的方程得到的值.
（4）写:写出反比例函数解析式.
即学即练 如图，已知反比例函数y=kx的图像经过第二象限内的点A（－1，m），AB⊥x轴于点B，△AOB 的面积为2．若直线 y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n，－2）．
（1）求反比例函数y=kx与直线y=ax+b的解析式；
（2）连接OC，求△AOC的面积；
（3）根据所给条件，直接写出不等式ax+b≥kx的解集
题型一 用反比例函数描述数量关系
例1（2023春·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如1,1，2023,2023，……，都是“雁点”，函数y=4x图像的“雁点”坐标为 ．
举一反三1（2023·北京·九年级专题练习）下面的三个问题中都有两个变量：
①矩形的面积一定，一边长y与它的邻边x；
②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S与全村总人口n；
③汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t．
其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
举一反三2（2022秋·上海·八年级统考期中）下列关系式中的两个量成反比例的是( )
A．圆的面积与它的半径；B．正方形的周长与它的边长；
C．路程一定时，速度与时间；D．长方形一条边确定时，周长与另一边．
题型二 根据定义判断是否是反比例函数
例2（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（ ）．
A．在y=2x+1中，y−1与x成正比B．在y=1x+1中，y−1与x成反比
C．若yx=3，则x，y成正比D．若xy=0，则x，y成反比
举一反三1（2020秋·上海浦东新·八年级校联考期末）下列四组点中，可以在同一个反比例函数图像上的一组点是（ ）
A．(2,−1),(1,−2)B．(2,−1),(1,2)
C．(2,−1),(2,1)D．(2,−1),(−2,−1)
举一反三2（2019秋·上海·八年级上海市市西初级中学校考期末）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是( )
A．两条直角边成正比例B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例D．一条直角边与斜边成反比例
题型三 根据反比例函数的定义求参数
例3（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）已知函数y=k−1x是反比例函数，则k的取值范围是 ．
举一反三1 （2022秋·上海宝山·八年级校考期末）已知：y=y1+y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例．当x=1时，y=7；当x=3时，y=4．求y与x的函数解析式．
举一反三2 已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，当x=2时，y=2；当x=−1时，y=1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3时，求y的值．
题型四 求反比例函数值
例4 （2023·上海崇明·统考二模）已知fx=6x，那么f2= ．
举一反三1（2022秋·上海·八年级期末）已知y与x+1成反比例，且当x=1时，y=2；求：当x=0时，y的值．
举一反三2（2021秋·上海浦东新·八年级上海市建平实验中学校考期末）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为y=100x，如果近似眼镜镜片的焦距x=0.25米，那么近视眼镜的度数y为 .
题型五 由反比例函数值求自变量
例5（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）以下选项中的各点，不在反比例函数y=2x图象上的是（ ）
A．1,2B．2,1C．−1,2D．−1,−2
举一反三1（2022秋·上海奉贤·八年级校考期末）如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA=4，OC=6，点E是AB的中点，反比例函数图像过点E且和BC相交于点F．
(1)求直线OB和反比例函数的解析式；
(2)求四边形OEBF的面积．
举一反三2（2022秋·上海·八年级期末）连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如图1，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=12BC.试用三角形中位线的性质解决下列问题：如图2，函数y=12x(x>0)的图像经过△OAB的顶点和边的AB中点C，分别过B、C作BD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D,E,CE是△ABD的中位线.如果点B的横坐标为3，则点C的坐标为 .
题型六 判断 (画) 反比例函数图象
例6
（2023秋·广东东莞·九年级校联考期末）关于函数y=−2x，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线D．y的值随x的值增大而减小
举一反三1
（2022秋·上海·八年级期末）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数：
(1)研究函数y=1x+1：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质．
(2)研究函数y=1x+3的图像与性质；
(3)由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明；
(4)研究函数y=4x+5x−2的图像与性质．
举一反三2
（2022·上海长宁·统考二模）关于反比例函数y＝4x，下列说法中错误的是（ ）
A．y的值随x的值增大而减小
B．它的图象在第一、三象限
C．它的图象是双曲线
D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上
题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式
例7
（2019秋·上海浦东新·九年级校考期中）在函数y=kx（k>0）的图像上有三点A1（x1，y1）.A2（x2.y2）.A3（x3.y3），若x1
（2023秋·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考开学考试）如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A． k1
（2022·广东湛江·校联考二模）如图，P是反比例函数图象上的一点，点P与坐标轴围成的矩形面积为3，则反比例函数的解析式为 ．
题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标
例8
（2020秋·上海·八年级校考期末）已知函数y=2x与y=kx的图像的一个交点坐标是（1，2），则它们的图像的另一个交点的坐标是 ．
举一反三1
（2021春·上海宝山·九年级统考期中）我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点A2,3和点B3,2为一对“关联点对”．如果反比例函数y=10x在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为32，那么这对“关联点对”中，距离x轴较近的点的坐标为 ．
举一反三2
（2020秋·八年级校考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝k1x的图像与反比例函数y=k2x的图像一个交点的坐标是（－1，3），则它们另一个交点的坐标是 ．
题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围
例9
（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）已知反比例函数y=2k+1x的图像在第二、四象限，那么k的取值范围是 .
举一反三2
（2022秋·上海·八年级校考期中）已知反比例函数y=m−1x的图像上两点Ax1,y1、Bx2,y2，当0
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知反比例函数y=2m−6x的图象在第二、四象限，则m的取值范围是 ．
题型十 判断反比例函数的增减性
例10
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）已知反比例函数y=kx的图象经过3,−1，那么对此函数描述正确（ ）．
A．y随x增大而增大B．x<0时，y随x增大面减小
C．y随x增大而减小；D．x<0时，y随x增大而增大
举一反三2
（2023·上海崇明·统考二模）已知一个反比例函数图像经过点P−2,3，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而 ．（填“增大”或“减小”）
举一反三2
（2023·上海杨浦·统考三模）平面直角坐标系xOy中，若点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A．x1>x2>0B．x2>x1>0C．x1
例11
（2023·上海奉贤·统考二模）下列函数图像中，可能是反比例函数y=6x的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
举一反三2
（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=2−kxk<0图象的两支分别在（ ）
A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限
举一反三2
（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）关于反比例函数y=3x，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．y的值随x的值增大而减小
D．若点（a,b）在它的图象上，则点（b,a）也在它的图象上
题型十二 已知反比例函数的增减性求参数
例12
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）反比例函数y=1−mx图像经过A1,y1、B2,y2，且y1>y2，那么m的取值范围是 ．
举一反三2
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）设p，q都是实数，且p
（2022秋·上海·八年级校考期中）若反比例函数y=3k−4x在每一象限内，y随x的减小而减小，则k的取值范围是 ．
题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小
例13
（2022秋·上海·八年级校考期中）在函数y=k+1x的图像上有三点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)、A3(x3,y3)，且x1
（2021秋·上海·八年级统考期中）如果反比例函数的图象经过点A2020，−2021，Bx1，y1、Cx2，y2，且x1
举一反三2
（2023·上海徐汇·统考二模）如果点−2,y1、−1,y2、2,y3在反比例函数y=kxk<0的图像上，那么（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y3>y1>y2D．y3>y2>y1
题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积
例14
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，点P在反比例函数y=kx（x>0）第一象限的图像上，PQ垂直x轴，垂足为Q，设△POQ和面积是s，那么s与k之间的数量关系是（ ）
A．s=k4B．s=k2C．s=kD．不能确定
举一反三1
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=kx（k>0，x>0）图象上，点P是函数y=kx（k>0，x>0）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形OFPE和正方形OABC不重合部分的面积为S．
(1)点B的坐标是______，k=______；
(2)当S=92，求点P的坐标；
(3)求出S关于m的函数关系式．
举一反三2
（2022秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）如图，点P1、P2、P3、P4在反比例函数y=2x（x>0）的图象上，它们的横坐标依次为1、2、3、4，过这四点分别作x轴、y轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3= ．
举一反三3
（2022秋·上海徐汇·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=kx（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
题型十五 根据图形面积求比例系数(解析式)
例15
（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知P是反比例函数图象上的点，若PA⊥x轴，且△PAO的面积是3，那么反比例函数的解析式是 ．
举一反三1
（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）反比例函数在第二象限内的图像上有一点A，过A作AB⊥x轴于点B，联结OA，已知△OAB的面积为4．则反比例函数的解析式为
举一反三2
（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数y=kxk<0的图象上一点，AP⊥y轴，垂足为P．
(1)联结AO，当S△APO=2时，求反比例函数的解析式；
(2)联结AO，若A−1,2，y轴上是否存在点M，使得S△APM=S△APO，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
(3)点B在直线AP上，且PB=3PA，过点B作直线BC∥y轴，交反比例函数的图象于点C，若△PAC的面积为4，求k的值．
题型十六 求反比例函数解析式
例16
（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正比例函数y=kxk≠0与反比例函数y=−2x的图像交于点A−1,m和点B．求k的值和点B的坐标．
举一反三1
（2023·上海静安·统考二模）已知反比例函数y=kx的图像经过点−1,4．
(1)求k的值；
(2)完成下面的解答过程．
解不等式组x+3>1①kx>1②
解：解不等式①，得______；
在方格中画出反比例函数y=kx的大致图像，根据图像写出不等式②的解集是______；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
从图中可以找出这两个不等式解集的公共部分，得到原不等式组的解集是______．
举一反三2
（2023·上海嘉定·统考二模）如果反比例函数y=a−1x的图像经过点1,−2，那么这个反比例函数的解析式为 ．
题型十七 实际问题与反比例函数
例17
（2023·上海普陀·统考二模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y关于镜片焦距x的函数解析式是 ．
举一反三1
（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升20℃，水温到100℃时停止加热，此后水温开始下降．水温y（℃）与开机通电时间x(min)成反比例关系．若水温在20℃时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．
(1)水温从20℃加热到100℃，需要 min；
(2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于80℃的时间有多少？
举一反三2
（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；
(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
题型十八 反比例函数与几何综合
例18
（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为a,a．
(1)如图1，如果正方形的顶点B在直线y=12x上，求点A的坐标．
(2)如图2，若双曲线y=3x(x>0) 与此正方形的边有交点，求a的取值范围．
举一反三1
（2021秋·上海·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在坐标轴上，点B的坐标是2，2．将△ABC沿x轴向左平移得到△A1B1C1，且点B1落在函数y=−4x的图象上，如果此时四边形AA1C1C的面积是20，那么点C1的坐标是 ．
举一反三2
（2021秋·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴上，以BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在直线y=2x上，双曲线y=kx经过点A，且与边CD交于点E.
(1)若BC=4，求k的值和点E的坐标；
(2)连接AE、OE.
①若△AOE的面积为24，求k的值；
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
单选题
1.（2020秋·上海闵行·八年级校考阶段练习）点Am,2，Bn,3在函数y=−3x图象上，那么m，n的符号和大小关系是（ ）
A．m
2．（2021秋·上海青浦·八年级统考期中）若点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图像上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y2>y1
3．（2018秋·上海浦东新·八年级校联考期末）已知矩形的面积为 10，它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.（2023秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期末）点A、M在函数y=1x(x>0)图象上，点B、N在函数y=−3x(x<0)图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段AB的垂线，垂足为Q、P，若四边形ABCD与四边形MNPQ均为正方形，则正方形MNPQ的面积是 ．
2．（2022秋·八年级统考期中）如图，点A是射线y=k1xx≥0上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边在其右侧作正方形ABCD，过点A的双曲线y=k2x交CD边于点E，若DEEC=32，则k1的值是 ．
3．（2023·上海长宁·统考二模）已知点A(−4，m)在反比例函数y=kx的图像上，点A关于y轴的对称点A1恰好在直线y=12x上，那么k的值为 ．
三、解答题
1.（2021秋·上海·八年级期中）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，当x=2时，y=2；当x=−1时，y=1．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x=3时，求y的值．
x
…
1
2
3
4
…
y
…
6
3
2
1.5
…
反比例函数
k的符号
k＞0
k＜0
图像
图像的两支都无限接近于轴和轴，不会与轴和轴相交
性质
图像的两支分别位于第一、三象限,在每个象限内,当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小
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