初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．4 线段的垂直平分线精品当堂达标检测题

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教学目标：
1.识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
2.掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。
3.通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。
重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。
难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。
知识点一 线段垂直平分线的性质定理
1.线段垂直平分线的定义
经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线
2.性质定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
3.符号语言
4.应用
证明线段相等
注意：
联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法
由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点 P的位置分情况讨论
即学即练1（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．

即学即练2（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）已知如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为点，那么的周长为 ．

知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理
1.逆定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
2.符号语言
3.应用
确定点在线段的垂直平分线上
注意：
(1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线
即学即练1（2021秋·上海普陀·八年级校联考期末）下列命题的逆命题错误的是（ ）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等；
B．全等三角形的三条边对应相等；
C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等；
D．等边三角形每个内角都等于60°．
即学即练2（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于 ．
知识点三 三角形三边垂直平分线的性质
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
注意：
①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部.
即学即练1（2021秋·上海·八年级专题练习）到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三条高的交点
C．三角形三边垂直平分线的交点D．三角形三条角平分线的交点
即学即练2（2022秋·上海·八年级阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点.
题型1 线段垂直平分线的性质
例1（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，垂直平分，点D为垂足，交于点 E．那么的周长为 ．
举一反三1（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与边，交于点，，已知与的周长分别是和，则的长为 ．
举一反三2（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，已知，，垂足分别为点A和点，，

(1)试判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)如果点是的中点，连接，，试判断的形状，并证明你的结论．
题型2 线段垂直平分线的判定
例2（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．，是线段的垂直平分线上的两点，则，
B．若，，则直线是线段的垂直平分线
C．若，则点在线段的垂直平分线上
D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线
举一反三1（2020秋·上海奉贤·八年级校考期末）在中，，D为中点，于E，交的延长线于F．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分．
举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
题型3 线段垂直平分线的实际应用
例3（2020·八年级校考课时练习）如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（ ）

A．12cmB．15cmC．21cmD．18cm
举一反三1（2020秋·上海金山·八年级统考期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘，
（1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹)
（2）若BD=3，求BC的长.
举一反三2（2019秋·上海·八年级校考期中）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请用尺规作图，将上述两种情况下的自来水厂厂址分别在图（1）（2）中标出，并保留作图痕迹．
题型4 作垂线（尺规作图）
例4（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）如图，在已知中，是的角平分线．
(1)根据要求作图：在边上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等．（不要求写作法，但需要保留作图痕迹和结论）
(2)在第（1）小题所作的图中，求证：．
举一反三1（2022秋·上海·八年级期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
举一反三2（2019秋·上海普陀·八年级校考期中）已知：如图，在中，，边的垂直平分线与分别交于点D和点E．
（1）作出边的垂直平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）当时，求的度数．
一、单选题
1．（2022秋·八年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）
A．41°B．42°C．43°D．44°
2．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝，则∠EAN的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，已知垂直平分线段，，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）三角形的外心是三角形的（ ）
A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三条高所在直线的交点
5．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，在中，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，平分，那么下列关系中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）在中，，垂直平分分别交，于，．如果是等腰三角形，那么的大小是 ．
7．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠DAE＝20°，则∠BAC＝ °．
8．（2019秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期末）如图△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB=CD，∠C等于20度，那么∠A 度．
9．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，，作直线，交于点，连接．如果,，那么 ；
三、解答题
10．（2022秋·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
(1)请说明△AEF≌△BEC的理由．
(2)如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
11．（2022秋·上海·八年级阶段练习）如图，在中，于点，是上一点，，且点在的垂直平分在线，若的周长为，求的长．
12．（2021秋·上海·八年级期中）如图，在中，平分，，过点作于点，交的延长线于，联结，求证：．