初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．6 轨迹精品课堂检测

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1.了解轨迹的意义,知道“线段的垂直平分线”“角的平分线”和“圆”三条基本轨迹.
2.会准确运用数学语言表达和画出“线段的垂直平分线”“角的平分线”和“圆”三条基本轨迹.
3.会用交轨法进行基本的作图.
知识点一 轨迹
1.轨迹的概念
(1)我们把符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹.
(2)轨迹定义包含的两层含义：
①轨迹图形是由符合条件的那些点组成.
②轨迹图形包含了符合条件的所有的点.
(3)轨迹问题的证明：
用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.
2.三条基本轨迹
轨迹1:和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.
轨迹2:在一个角的内部(包括顶点)且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
轨迹3:到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆.
注意：
(1)轨迹是圆时,要说明圆的圆心和半径(2)在叙述所求的轨迹时，要对轨迹图形准确地说明.
即学即练 探求到两平行直线、的距离相等的点的轨迹是什么？
【答案】经过两直线垂线段的中点，且平行于直线、的直线．
【分析】根据平行线间的距离相等的性质即可得答案.
【详解】∵，平行线间的距离相等，
∴到直线、的距离相等的点的轨迹是一条经过两直线垂线段的中点，且平行于直线、的直线．
【点睛】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握平行线间的距离相等的性质是解题关键.
知识点二 交轨法作图
1.交轨法
利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.
2.交轨法作图的一般步骤
(1)先作出满足条件A的轨迹；
(2)再作出满足条件B的轨迹.
则两轨迹的交点同时满足条件A和条件B.
注意：尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线，其实都运用了交轨法.
即学即练 （1）已知和线段、，用直尺和圆规作，使，，和之间的距离为（作出图形，不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）中，若比大2，且与的和小于10，求的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【分析】（1）先作∠MAN=α，再在AM上截取AB=m，过点B作BP⊥AB，接着在BP上截取BE=h，过点E作DE⊥BE交AD于D，然后在DE上截取DC=m，则四边形ABCD满足条件；
（2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，然后消去m得到n的不等式，再解不等式即可．
【详解】解：（1）如图，平行四边形为所作．

（2）根据题意得到m=n+2，m+n＜10，则2n+2＜10，
解得n＜4，
而n＞0，
所以0＜n＜4．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，利用几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
题型1 轨迹的类型
例1底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是__________________________．
【答案】底边BC的垂直平分线（除底边中点外）
【分析】由等腰三角形三线合一的性质可以确定答案．
【详解】在已知线段BC的等腰三角形ABC中，根据等腰三角形三线合一的性质，顶点A必在底边BC的垂直平分线上．
故答案为：底边BC的垂直平分线（除底边中点外）．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握性质并运用是解题的关键．
举一反三1到定点的距离等于定长的点的轨迹是__________________________．
【答案】以定点为圆心，定长为半径的圆
【分析】根据圆的定义即可得答案.
【详解】在平面内,到定点距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆，
故答案为以定点为圆心，定长为半径的圆
【点睛】本题考查了圆的定义，圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹.
举一反三2以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是_____________________．
【答案】以MN为直径圆（除M、N两点外）
【分析】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，故可确定答案．
【详解】根据直角三角形的性质，斜边即为外接圆的直径，
故以线段MN为斜边的直角三角形直角顶点的轨迹是以线段MN中点为圆心，MN为直径的圆（不包含M、N两点）．
故答案为：以MN为直径圆（除M、N两点外）．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆，确定直角三角形外接圆的圆心位置是解题的关键．
举一反三3到已知角两边距离相等的点的轨迹是__________________________．
【答案】这个角的平分线所在的直线
【分析】根据角平分线的性质即可得答案.
【详解】∵角平分线上的点到角两边的距离相等,
∴在角的内部，到已知角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.
故答案为：这个角的平分线所在的直线
【点睛】本题考查角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握性质是解题关键.
题型2 轨迹的判断
例2下列说法错误的是（ ）．
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆
C．到直线距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线
D．等腰三角形的底边固定，顶点的轨迹是线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．
【详解】A.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该选项正确，
B.到点P距离等于1cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，故该选项正确，
C.到直线l距离等于2cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，故该选项正确；
D.等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），故该选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
举一反三1下列说法错误的是（ ）．
A．经过已知点和的圆的圆心轨迹是线段的垂直平分线
B．到点的距离等于的点的轨迹是以点为圆心，长为半径的圆
C．与直线距离为3的点的轨迹是平行于直线且和距离为3的两条直线
D．以线段为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段的垂直平分线
【答案】D
【分析】利于垂直平分线的定义、圆的定义、轨迹的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、经过已知点P和Q的圆的圆心轨迹是线段PQ的垂直平分线，正确；
B、到点A的距离等于2cm的点的轨迹是以点A为圆心，2cm长为半径的圆，正确；
C、与直线AB距离为3的点的轨迹是平行于直线AB且和AB距离为3的两条直线，正确；
D、以线段AB为底边的等腰三角形两底角平分线交点的轨迹是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点除外，所以此选项错误符合题意.
故选D．
【点睛】本题考查了轨迹的知识，解题的关键是能够了解轨迹的定义，要注意不重不漏．
举一反三2到直线的距离等于2的点的轨迹是（ ）．
A．半径为2的圆
B．与平行且到的距离等于2的一条直线
C．与平行且到的距离等于2的两条直线
D．与垂直的一条直线
【答案】C
【分析】到直线距离相等的点的轨迹是它的平行线，在直线两侧都各有一条，所以有两条这样的直线．
【详解】解：到直线的距离等于2的点的轨迹是与平行，且到的距离等于2的两条直线．
故选C．
【点睛】本题考查两平行线间的距离，有两条这样的直线，容易漏掉一条，要注意．
题型3 轨迹尺规作图
例3根据已知条件作出图形．
已知，如图，点A是圆O上一点，在圆O上求作一点P，使得PO=PA．
【答案】答案见解析
【分析】由题意，作OA的垂直平分线，与圆相交于两个点，即可得到点P．
【详解】解：作线段OA的垂直平分线交圆O于点P，满足条件的点P有两点．
如图所示：
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质进行解题．
举一反三1如图，已知∠AOB和边OB上一点E，求作：一点P，使P到∠AOB两边的距离相等，且OP=EP．
【答案】答案见解析
【分析】根据题意，作∠AOB的平分线OC，作线段OE的垂直平分线DF，射线OC与直线DF交于点P．
【详解】解：如图：
作法：
（1）作∠AOB的平分线OC
（2）作线段OE的垂直平分线DF
（3）射线OC与直线DF交于点P
∴P点就是所求的点．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，以及作图的方法，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行作图．
举一反三2如图，，，点在上．以为直角顶点作等腰直角三角形，则当从运动到的过程中，探求点的运动轨迹．
【答案】线段．
【分析】过点作交直线于点，根据D点在B点，BC中点以及C点时，得出E点所在位置，进而得出E点在一条直线上，进而得出答案．
【详解】如图所示：过点作交直线于点，
当点与点重合时，点与点重合，
当点在中点时，
∵，，
∴．
∵在和中，，
∴≌（AAS）．
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵∠ACB=45°，
∴∠ECA=90°，
当点与点重合时，
∠ECA=90°，
∴点与另两个点都在过点C且垂直于AC的一条直线上．
综上所述：当从运动到的过程中，点的运动轨迹是线段．
【点睛】此题主要考查了点的轨迹问题，根据已知得出D点在不同位置时E点位置是解题关键．
举一反三3已知：锐角和线段如图所示．求作：等腰三角形，使它的底角为，腰为．
【答案】详见解析
【分析】作射线CM，再作∠MCN=∠α；在射线CN上截取AC=a；以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B；连接AB．则△ABC为所求．
【详解】解：作法：
（1）作射线CM，再作∠MCN=∠α；
（2）在射线CN上截取AC=a；
（3）以点A为圆心，线段a为半径作弧交CM于点B；
（4）连接AB．则△ABC为所求．
如图所示：

【点睛】此题主要考查等腰三角形的作法，要能熟练运用基本作图解决综合作图问题．
一、单选题
1．如图，甲、乙、丙三人同时从点出发向点移动，甲的运动路线为一个半圆形的圆弧，乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，若甲、乙、丙的运动速度相等，则谁先到达点（ ）
A．甲B．乙C．丙D．三人同时到达
【答案】D
【分析】分别计算出三人所走的路程，即可判定．
【详解】解：甲的运动路线为一个半圆形的圆弧
甲的运动路径长
乙的运动路线为两个半圆形的圆弧，
乙的运动路径长
丙的运动路线为三个半圆形的圆弧，
丙的运动路径长
三人总路程相等，而速度也相等
三人同时到达
故选：D
【点睛】本题考查了圆的周长公式，理解题意，准确计算是解决此类题的关键．
2．如图，在扇形纸片中，，，在桌面内的直线上，现将此扇形沿按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当落在上时，停止旋转．则点所经过的路线长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】点O所经过的路线是三段弧，一段是以点B为圆心，12为半径，圆心角为90°的弧，另一段是一条线段，和弧AB一样长的线段，最后一段是以点A为圆心，12为半径，圆心角为90°的弧，从而得出答案．
【详解】点经过的路线长为，故C正确．
故选：C．
【点睛】解题的关键是熟练掌握弧长公式：，注意在使用公式时度不带单位．
3．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
【答案】D
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．
【详解】解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；
C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．
二、填空题
4．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ．
【答案】线段AB的垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线，
故答案为：线段AB的垂直平分线．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
5．到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是 ．
【答案】线段PQ的垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，即可得到答案．
【详解】解：到两个定点P、Q的距离相等的点的轨迹是线段PQ的垂直平分线；
故答案为：线段PQ的垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行解题．
6．到点A的距离等于6cm的点的轨迹是 ．
【答案】以A为圆心，6cm为半径的圆
【分析】到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，据此解题即可．
【详解】根据圆的定义，到点A的距离等于定长6cm的点的轨迹是以点A为圆心,6cm为半径的圆，
故答案为：以点A为圆心，6cm为半径的圆．
【点睛】本题考查点的轨迹、圆的定义，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．
7．经过点A且半径为3的圆的圆心的轨迹
【答案】以A为圆心3为半径的圆
【分析】求圆心的轨迹实际上是求距A点3能画一个什么图形．
【详解】所求圆心的轨迹，就是到A点的距离等于3厘米的点的集合，因此是一个以A为圆心，半径为3的圆．
故答案为：以A为圆心3为半径的圆．
【点睛】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
三、解答题
8．如图，已知用尺规将一个任意角三等分是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角和这两个角三等分（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）

【答案】详见解析
【分析】根据平角的三分之一等于60°，所以以点D为顶点，分别以CD、DE为边在同一侧作等边三角形和，则射线DM、DN即为所求作的平角CDE的三等分线；
根据45°角的三分之一等于15°，以点O为圆心，以任意长为半径画弧与OB相交于点F，再作FH=OF，然后以点F、H为圆心，以FH长为半径画弧相交于点P，连接OP，根据一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形可判定是直角三角形，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠POH=30°，从而得到∠AOP=15°，再作出∠POH的角平分线即可把∠AOB=45°三等分．
【详解】解：如图所示，射线、为平角的三等分线；
如图所示，射线、为的三等分线．
【点睛】本题考查了复杂作图，根据角度的三分之一的度数，利用等边三角形作出60°的角，利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质作出30°的角是解题的关键．
9．如图，已知线段、，利用直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）作，使，，．
【答案】详见解析
【分析】先在直线上截取BC=n，再过点C作直线BC的垂线CD，然后以点B为圆心，m为半径作弧交CD于A，则△ABC为所求．
【详解】解：如图，为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．