初中数学沪教版 (五四制)八年级上册19．9 勾股定理精品第1课时精练

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1.掌握幻股定理，了解利用拼图验证幻股定理的方法
2.会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
3.能够从实际问题中抽象出直角三角形并能运用股定理进行有关的计算和证明
知识点一 勾股定理
1.勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,是数学中最著名的定理之一,在图形研究和生活、生产实践中有广泛的应用.
2.符号语言
如果为直角三角形的两条直角边的长,为斜边的长，则.
变式与应用
（1）变式
，
（2）应用
，，
(1)应用勾股定理可以求边长,但当已知的三角形不是直角三角形时常通过作高,构造直角三角形,再利用勾股定理求解；
(2)勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理
(3)应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在应用时，斜边只能是.若为斜边，则关系式是,若为斜边则关系式是
(3)若没有明确所给直角三角形中边的类型(是直角边还是斜边),要分类讨论，以免漏解
即学即练1已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
(1)若a=1，b=2，求c．
(2)若a=15，c=17，求b．
【答案】(1)c=5
(2)b=8
【分析】（1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得c=a2+b2，代入a，b的值即可求得c的值；
（2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得b=c2−a2，代入a，c的值即可求得b的值．
【详解】（1）根据勾股定理，得c2=a2+b2=12+22=5．
∵c>0，
∴c=a2+b2=5．
（2）根据勾股定理，得b2=c2−a2=172−152=64．
∵b>0，
∴b=c2−a2=8．
【点睛】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边．
即学即练2 在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，求两孔中心A和B的距离（单位：mm）
【答案】130mm
【分析】首先根据题意算出AC和BC的长，再利用勾股定理计算出BA的长即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：AC=90−40=50（mm），BC=160−40=120（mm），
在Rt△AOB中：AB=AC2+BC2=502+1202=130（mm），
答：两孔中心A、B之间的距离为130mm．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
知识点二 勾股定理的应用
勾股定理把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数的关系.其主要应用如下：
(1)已知直角三角形的任意两边求第三边;
(2)已知直角三角形的任意一边和另两边的关系,求出未知的两边；
(3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题；
(4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度,解决生产、生活中的实际问题.
即学即练1 已知一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动多远？
【答案】1米
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：在直角三角形△ABO中，根据勾股定理可得，OA=52−32=4m，
如果梯子的顶度端下滑1米，
则OA′=4−1=3m．
在直角三角形A′B′O中，根据勾股定理得到：OB′=4m，
则梯子滑动的距离就是OB′−OB=4−3=1m．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
即学即练2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；
(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；
(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；
(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高hc；
(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．
【答案】(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；(4)63； (5)12．
【详解】试题分析：（1）设a=3x,b=4x,利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（2）设a=15x，c=17x， 利用勾股定理，可得出x的值，继而得出答案；
（3）根据勾股定理可求出c+a，联立c−a=4，可得出a、c.
（4）求出a、b， 根据直角三角形面积的两种表示形式可得出高ℎc；
（5）设a=x−1，b=x，c=x+1， 利用勾股定理解出x的值即可．
试题解析：(1)设a=3x,b=4x,则(3x)2+(4x)2=752，
解得：x=15，故可得：a=45cm，b=60cm；
(2)设a=15x,c=17x,则(17x)2−(15x)2=242，
解得：x=3,则a=45,故△ABC的面积=12×45×24=540；
(3)c2−a2=b2=162,即(c+a)(c−a)=162，
∵c−a=4，
∴c+a=64，
则c−a=4c+a=64，
解得：a=30c=34.
即a=30，c=34；
(4)∵∠A=30∘，c=24，
∴a=12,b=123，
则12ab=12c×ℎc，
解得：ℎc=63；
(5)设a=x−1，b=x，c=x+1，
则可得：(x−1)2+x2=(x+1)2，
解得：x=4，即a=3，b=4，c=5，
故a+b+c=12.
即学即练3 我国古代数学著作《九章算术》中有一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）．意思是有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

【答案】水深12尺，芦苇的长度是13尺
【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深x尺，芦苇(x+1)尺，1丈=10尺，
由勾股定理：x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
∴x+1=13，
答：水深12尺，芦苇的长度是13尺．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
知识点三 勾股定理的证明
对于勾股定理的证明,现在世界上已找出很多种运用图形的割、移补、拼构造特殊图形,并根据面积之间的关系进行推导的方法,现摘取几种著名的证法
注意：
(1)勾股定理是通过等积法来验证的，同一个图形用不同的方法计算的面积相等.
(2)勾股定理的验证,将“形’的问题转化为“数”的问题，体现了数形结合的思想
即学即练 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2

证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b−a，
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a(b−a)，
∴12b2+12ab=12c2+12a(b−a)
12b2+12ab=12c2+12ab−12a2
12b2=12c2−12a2
b2=c2−a2
∴a2+b2=c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
求证：a2+b2=c2．
【答案】见解析
【分析】连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a，仿照已知材料中的方法，利用五边形ACBED面积的不同表示方法解答即可．
【详解】
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b−a．
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−a，
∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12ab−12a2，
12b2=12c2−12a2，
b2=c2−a2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正确理解题意、得出五边形ACBED面积的不同表示方法是解题的关键．
知识点四 作长为n(n为大于1的整数)的线段
实数与数轴上的点是一一对应的,有理数在数轴上较易找到与它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难由此,我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段
即学即练 阅读下列材料，并回答问题.
事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理.请利用这个结论，完成下面活动：
(1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为_____________；
(2)如图，点A在数轴上表示的数是_____________，并请用类似的方法在右图数轴上画出表示数10的B点（保留作图痕迹）.
【答案】(1)10；
(2)−5，画图见解析
【分析】(1)根据题目中的数据和勾股定理，可以求得这个直角三角形斜边的长；
(2)先根据图形和勾股定理写出点A表示的数，然后仿照点A表示的方法，可以在数轴上表示出点B
【详解】（1）解：∵一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，
∴这个直角三角形斜边长为：62+82=10，
故答案为：10；
（2）解：由图可得，点A表示的数为：−22+12=−5，
∵32+12=10，
∴如下图所示，点B即为所求，
故答案为：−5．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识和数形结合的思想解答．
题型一 用勾股定理解三角形
例1将两块等腰直角三角形板如图放置，其中A，B，E三点共线，若AB=BC=32，BE=BD=42，F，G分别是AC，DE的中点，H是FG的中点，则BH的长为（ ）

A．2B．2C．5D．2.5
【答案】D
【分析】连接BF，BG，先证明△FBG为直角三角形，并求得两条直角边的长度，即可求得FG的长度，进而可求得答案．
【详解】解：如图所示，连接BF，BG．

根据题意，得：
AC=AB2+AC2=322+322=6，
DE=BD2+BE2=422+422=8，
∵△ABC为等腰直角三角形，F为底边AC的中点，
∴BF=12AC=3，∠FBC=12∠ABC=45°．
同理可得：
BG=12DE=4，∠DBG=12∠DBE=45°，
∵∠FBG=∠FBC+∠DBG=45°+45°=90°，
∴△FBG为直角三角形．
∴FG=FB2+BG2=32+42=5．
∵H为Rt△FBG斜边FG的中点，
∴BH=12FG=2.5．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质，牢记等腰三角形的性质（三线合一）、勾股定理、直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）是解题的关键．
举一反三1如图，四边形ABCD中，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则△ABC的面积为 ．

【答案】12
【分析】过点A作AE⊥BD交BD于点E，由已知条件可判定AB∥CD，S△ABC=S△ABD，再由AB=AD可判定△ABD是等腰三角形，则BE=4，利用勾股定理可求得AE，从而可求面积．
【详解】解：过点A作AE⊥BD交BD于点E，如图，

∵∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD，
∴S△ABC=S△ABD，
∵AB=AD=5，
∴△ABD是等腰三角形，
∴BE=12BD=4，
∴AE=AB2−BE2=3，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×8×3=12，
∴S△ABC=S△ABD=12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是由平行线的之间的距离处处相等得到S△ABC=S△ABD．
举一反三2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AC+AB=45，BC=15，则CD的长是（ ）

A．14B．12C．10D．8
【答案】B
【分析】先利用勾股定理和平方差公式求出AB−AC的值，进而求出AB，AC的长，再利用等面积法即可求解．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
有AB2=AC2+BC2，
又∵BC=15，
∴AB2−AC2=225，
∴(AB−AC)(AB+AC)=225，
又∵AC+AB=45，
∴AB−AC=5，
解得：AB=25AC=20，
∵CD⊥AB
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=20×1525=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平方差公式和等面积法，熟练掌握勾股定理，平方差公式和等面积法及数形结合的运用是解题关键．
题型二 已知两点坐标求两点距离
例2在平面直角坐标系内有一点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，则PQ= ．
【答案】6
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点Q的坐标；然后利用勾股定理求得线段PQ的长度即可．
【详解】解：∵点P5,2，点Q与点P关于原点中心对称，
∴P−5,−2，
∴PQ=−5−52+−2−22=6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、关于原点对称的点的坐标等知识点，关键掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键．
举一反三1如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画圆，交x轴于点C，D，记点C，D之间距离为d，则数d的大小在哪两个相邻整数之间（ ）

A．5与6之间B．6与7之间C．7与8之间D．12与13之间
【答案】C
【分析】结合已知条件求得OA，OB的长度，然后利用勾股定理求得AB的长度，继而求得CD的长度，然后估算出它在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：由题意可得OA=3，OB=2，∠AOB=90°，
则AB= 32+22 = 13，
那么CD=2AB=2 13，
∵2 13 = 52，49