第19章 几何证明 章末测试卷-八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

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绝密★启用前..........................................................密................................封................................线..................................................... 学 校班 级姓 名考 号 第19章 几何证明 章末测试卷考试范围：第19章；考试时间：90分钟；总分：100分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1．下列命题中逆命题是真命题的是（    ）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B．对顶角相等C．全等三角形的周长相等 D．全等三角形的面积相等【答案】A【分析】本题考查了直角三角形的性质，对顶角的性质，全等三角形的性质，命题和逆命题的定义，以及判断真假命题．先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可．要说明一个命题是真命题必须一步一步有根有据的进行证明，要说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可．正确的写出各个命题的逆命题是解题的关键．【详解】A. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为“若一个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，故符合题意；B. “对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，故不符合题意；C. “全等三角形的周长相等” 的逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”， 逆命题是假命题，故不符合题意；D.“全等三角形的面积相等” 的逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”， 逆命题是假命题，故不符合题意；故选：A．2．如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（     ）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答．【详解】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA，∠A=∠ACO，同理OC=OB，∠B=∠BCO，∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180，∴∠ACO +∠BCO=180=90，∴∠C是直角．故选：A．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（）【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可．【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断．4．到三角形三个顶点的距离相等的点是（    ）A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．【详解】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选：D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．），难度一般．5．已知下列说法，其中结论正确的个数是（  ）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．6．下列命题的逆命题是真命题的有（    ）（1）对顶角相等；（2）如果，那么；（3）在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先写出给出命题的逆命题，然后根据线段垂直平分线上的性质，对顶角的性质，角平分线的性质，不等式的性质对各小题判断后即可进行解答．【详解】解：（1）逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题；（2）逆命题为：如果，那么，是假命题；（3）逆命题为：在一个角的内部，角的平分线上的点到角的两边距离相等，是真命题；（4）逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；∴逆命题是真命题的有2个，故选B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，对顶角相等的性质，角平分线的性质，不等式的性质，是基础题，需熟练掌握．7．写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果 ，那么 ．【答案】 三角形两边上的高相等 这个三角形是等腰三角形【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；【详解】命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．故答案为：三角形两边上的高相等，这个三角形是等腰三角形．【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．8．已知平面直角坐标内的两点、，那么，两点的距离等于 .【答案】【分析】根据勾股定理进行计算即可求解．【详解】解：∵、，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理求两点距离，掌握勾股定理是解题的关键．9．若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是 ．【答案】以中点为圆心，以为半径的圆【分析】根据直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，直角三角形中，点D是斜边的中点，  ∴，∴点C的轨迹是以中点为圆心，以为半径的圆．故答案为：以中点为圆心，以为半径的圆．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．10．在中，，，，点D为斜边的中点，那么 ．【答案】【分析】本题考查了直角三角形相关知识，根据勾股定理，求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【详解】解：由勾股定理得：，∵点是的中点，∴．故答案为：．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．【答案】或【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案．【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，  由题意可知，，，且，∴，∴；（2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，  由题意可知，，，且，∴，∴．综上所述，这个等腰三角形的底角为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．12．如果一个直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，那么斜边的长为 ．【答案】【分析】根据较长的直角边长为，直角三角形的一个内角等于，可设所对的边长为x，然后根据勾股定理可得斜边的长【详解】∵直角三角形的一个内角等于，其中一条较长的直角边长为，∴较长的直角边对应的角度是，∴设所对的边长为x，则斜边长为：，根据勾股定理得：，解得：，∴斜边长为：，故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键13．在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得解．【详解】解：如图，过点作，∵平分，，∴，∵，，∴；即：到的距离是3．故答案为：3．【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．14．在中，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点M在的斜边上，那么这个等腰三角形的腰长为 ．【答案】或4【分析】分、两种情况考虑即可．【详解】解：如图，在中，∵，，∴，当时，作于T，∴，，，，，∴，∴等腰的腰长为；当时，等腰的腰长为4，故答案为：或4．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，注意分类讨论．15．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ．【答案】4.55尺．【分析】设AB=x，则BC=10-x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10，设AB=x，则BC=10-x，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得，∴，解得x=4.55∴折断后的竹子（）的高度为4.55尺，故答案为：4.55尺．【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握定理，并灵活列式求解是解题的关键．16．如图，将一根长为20cm的吸管，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 【答案】7≤h≤8【详解】∵将一根长为18cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，最长时等于杯子斜边长度是：x==13，∴h的取值范围是：(18−13)cm⩽h⩽(18−12)cm，即5cm⩽h⩽6cm.故答案为5≤h≤6.17．中，，，边上的高，则长为 ．【答案】4或14/14或4【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解；在中，，，BC边上高，如图所示，当为锐角三角形时，在中,，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；如图所示，当为钝角三角形时，在中，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；综上可得：BC的长为：4或14．故答案为：4或14．【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ．【答案】12或【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：①当时，如图，此时，四边形是正方形，则，又是等腰直角三角形，属于，所以；②当时，如图，设，则，，由折叠可知，，由题意可知，，，，即是等腰直角三角形，，，，，解得，．故答案为：12或．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．19．（6分）如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证：(1) ；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AAS证明即可；（2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可．【详解】（1）∵，∴，即，在和中，∴∴（2）解法一：连接∵∴在与中，∴∴，∴，即解法二：连接∵，∴，∴，∴，即，∴【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．20．（6分）如图，已知CF=BF，CD⊥AB与D，BE⊥AC于E，CD与BE相交于点F。求证AF平分∠BAC  【答案】证明见解析【分析】通过全等三角形的判定定理AAS证得△CEF≌△BDF，则对应边EF=FD；然后由HL推知Rt△AEF≌Rt△ADF，在对应角∠DAF=∠EAF，即AF平分∠BAC．【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠CEF=∠BDF=90°在△CEF和△BDF中 ∴△CEF≌△BDF∴EF=FD在Rt△AEF和Rt△ADF中∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）∴∠DAF=∠EAF即AF平分∠BAC【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．21．（6分）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．【答案】作图见解析【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解.【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，∴一共有10个点；【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22．（6分）如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．  (1)求证：；(2)若，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据，得出，根据，推出，根据是斜边上的中线，得出，进而得出，即可等量代换求证；（2）由（1）可得：，则，得出则平分，推出，进而得出为等边三角形，则，得出，根据等角对等边得出，即可求证．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵是斜边上的中线，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可得：，∵，∴，则平分，∵，∴，∵是斜边上的中线，∴，∴为等边三角形，则，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，等腰三角形等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．23．（6分）如图，已知，，垂足分别为点A和点，，  (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论；(2)如果点是的中点，连接，，试判断的形状，并证明你的结论．【答案】(1),证明见解析(2)是等腰三角形，证明见解析【分析】（1）先证可得，然后根据等量代换和直角三角形的性质即可解答；（2）先说明，如图，过点D作于G，再证明可得，再根据垂直平分线的性质可得，进而得到，即可解答．【详解】（1）解：,证明如下：∵，，∴,，∵，，∴，∴,∵∴∴,即．（2）解：是等腰三角形，证明如下：∵，点E是的中点，∴∵，∴,如图，过点D作于G  ∴，∵∴，在和中，，∴∴，∴垂直平分，∴,又∵，∴∴是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质是解答本题的关键．24．（6分）已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等．【答案】见解析．【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证．【详解】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD==90°，∴∠DOC=90°，又CE平分∠BCD，∴∠DCO=∠BCO，∵CO=CO，∠COD=∠COB，∴△CDO≌△CBO(ASA)，∴DO=BO，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB=ED，又∠DOC=90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．25．（6分）如图，在四边形中，，．  (1)求的度数；(2)于，求之长．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；（2）利用面积法，进行计算即可解答．【详解】（1）解：如图，连接，  ∵，，∴，，在中，，，，∵，，∴，∴，∴．∴的度数为．（2）解：在中，，，，∵，∴．∴的长为．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，涉及等边对等角，利用等积法求线段的长．熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．26．（6分）（1）如图1，在正方形网格纸中，的三个顶点都在格点上，把绕着点A顺时针旋转，点B的对应点是，点C的对应点为，连接，则______．（2）如图2，在等边内有一点P，且，，，若把绕着点B逆时针旋转得到，求的度数和的长．（3）如图3，把（2）中的“在等边内有一点P”改为：“在等腰直角三角形内有一点P”，且，，，，求的度数．  【答案】（1）；（2），（3）【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可；（2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出是等边三角形，得到，．根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论；（3）如图3，将绕点逆时针旋转，根据旋转的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）将绕点按顺时针方向旋转，，，；故答案为：；（2）是等边三角形，，将绕点逆时针旋转得出，如图2，，，，，又，是等边三角形，，．，，，，是直角三角形，，；（3）将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，故，，，，，，是直角三角形，，即．【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题．27．（10分）已知：如图，在△ABC纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个动点．(1)求折痕AD长．(2)点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．(3)当△APD是等腰三角形时，求AP的长．【答案】(1)(2)y关于x的函数解析式为(3)PA的值为或或6【分析】（1）根据题意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根据BD2=C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题；（2）根据题意直接利用勾股定理进行分析即可解决问题；（3）根据题意分三种情形：①PA=PD，②AP=AD，③当PD=AD时，分别求解即可．【详解】（1）解：如图1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，设CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如图2中，当点P在C'D左侧，AC=AC'=3，则PC'=3-x，∵，∴．当点P在C'D右侧，同理可得．∴y关于x的函数解析式为．（3）如图3中，①当PA=PD时，设PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②当AD=AP′=时，即P在P′时，△ADP是等腰三角形，③当PD=AD时，点P在AB的延长线上．如图4，AP=2AC'=6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．..........................................................密................................封................................线.....................................................密封线内不得答题题号一二三总分得分评卷人得分一、单选题(共6小题，每小题3分,共18分，每小题只有一个选项是符合题意的)评卷人得分二、填空题（共12小题，每小题2分,共24分）评卷人得分三、解答题（每小题6分,共58分）