广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省广州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2. 已知圆的方程为，则圆心的坐标为( )
A. B.
C. D.
3. 已知双曲线，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
4. 等差数列中，已知，，则公差等于
A. 3B. -6C. 4D. -3
5. 已知点到直线的距离为1，则的值为( )
A. 5或15B. 5或15
C. 5或15D. 5或15
6. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
7. 如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为( )
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
10. 已知点在圆：上，直线，则( )
A 直线与圆相交B. 直线与圆相离
C. 点到直线距离最大值为D. 点到直线距离最小值为
11. 设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的方程为B. 椭圆的方程为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则向量坐标为______.
14. 古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的(石子)，排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
15. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为______.
16. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(，)的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，点M的轨迹围成区域的面积为______，△ABM面积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆的圆心为，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，求.
18. 已知数列前n项和为,且
(1)求的通项公式
(2)求证数列是等差数列
19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
20. 已知，且在直线上，其中是数列中的第项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21. 如图，底面，底面，四边形是正方形，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值.
22. 已知椭圆：()的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
2023学年度第一学期期末考试高二数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线的倾斜角为，然后利用斜率公式即可
【详解】设直线的倾斜角为，
由可得斜率，即
故选：A
2. 已知圆的方程为，则圆心的坐标为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将圆的方程转化为标准形式,再得到圆心的坐标即可.
【详解】圆的方程为,则圆的标准方程为,
所以圆心的坐标为.
故选:C.
3. 已知双曲线，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线的方程直接求出离心率即可.
【详解】由双曲线,可知该双曲线的离心率.
故选:C.
4. 等差数列中，已知，，则公差等于
A. 3B. -6C. 4D. -3
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，即能求出公差.
【详解】由等差数列的性质，得，
所以.
故选：B.
【点睛】本题考查了等差数列的公差的求法，是基础题.
5. 已知点到直线的距离为1，则的值为( )
A. 5或15B. 5或15
C. 5或15D. 5或15
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件,利用点到直线的距离公式建立关于的方程,再求出的值.
【详解】因为点到直线的距离为1，
所以解得或5.
故选:D.
6. 已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据是等比数列，则通项为，然后根据条件可解出，进而求得
【详解】由为等比数列，不妨设首项为
由，可得：
又，则有：
则
故选：A
7. 如图所示，在平行六面体中，E，F，H分别为，，DE的中点．若，，，则向量可用表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示所求向量即可.
【详解】由题意，,
且，
，
故选：B.
8. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合中点坐标用点差法求得.
【详解】∵，故右焦点，则，
设，则，
且，
两式相减得，
故,
故，故,
故椭圆方程为，
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知非零空间向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则B.
C. D. 若，则不共面
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量共线定理判断A；利用数量积的定义判断B；根据平面向量数量积的定义和运算律判断C；利用平面向量基本定理判断D
【详解】对于A，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故正确；
对于B，因为，，是非零向量，所以，故正确；
对于C，，，与未必共线，故不正确；
对于D，由平面向量基本定理可得若，则共面，故不正确
故选：AB
10. 已知点在圆：上，直线，则( )
A. 直线与圆相交B. 直线与圆相离
C. 点到直线距离最大值为D. 点到直线距离最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可判断.
【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，
又点在圆上，所以点到直线距离最大值为，点到直线距离最小值为，故正确有B、C.
故选：BC
11. 设为等比数列的前n项和，已知，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据等比数列公式得到，，计算得到，，对比选项得到答案.
【详解】，，解得，，故，， ，故BD正确，AC错误.
故选：BD.
12. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，短轴长等于2，离心率为，过焦作轴的垂线交椭圆于两点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的方程为B. 椭圆的方程为
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出椭圆的方程，再逐项计算判断作答.
【详解】依题意，椭圆方程为，有，由离心率为得：，
解得，因此椭圆的方程为，A正确，B不正确；
由椭圆的对称性不妨令，直线，由得，则，C正确；
由选项C知，，由椭圆定义得，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，则向量的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.
【详解】已知，，则.
故答案为：
14. 古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…这些数量的(石子)，排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数.那么把三角形数从小到大排列，第11个三角形数是______.
【答案】66
【解析】
【分析】根据给定信息，求出三角形数按从小到大排列构成数列的通项，即可求解作答.
【详解】依题意，三角形数按从小到大排列构成数列，则，
所以第11个三角形数是.
故答案为：66
15. 已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，,，,，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解得，即可求解．
【详解】解：根据题意可得抛物线的焦点，
根据题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
因为，
解得，，
则直线的方程为或．
故答案为：或．
16. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数(，)的点M的轨迹是圆.若两定点，，动点M满足，点M的轨迹围成区域的面积为______，△ABM面积的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设动点，由结合两点距离公式可得得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可求点M的轨迹围成区域的面积；又，只需，即可得△ABM面积的最大值.
【详解】解：设动点，则，，
由，即，
所以，
所以，
所以动点的轨迹方程为，
所以点的轨迹是圆且圆心，半径为，
点的轨迹区域面积；
，又，
所以，
而，的最大值为．
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆的圆心为，且经过点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知直线与圆相交于两点，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据条件求出圆的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;
(2)求出圆心到直线的距离,再由垂径定理求出.
【小问1详解】
因为圆的圆心为,且经过点,
所以圆半径,
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
由(1)知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离,
所以由垂径定理，得.
18. 已知数列的前n项和为,且
(1)求的通项公式
(2)求证数列是等差数列
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据,代入即可求出通项公式,注意检验;
(2)由题意得出的通项公式,用后一项减前一项为定值来证明是等差数列即可.
【小问1详解】
解:由题知,
当时,
,
将代入上式可得,
故时满足上式,
;
【小问2详解】
证明:由题知,
,
,
且,
是以3为首项,1为公差的等差数列.
19. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.
(2)利用(1)中坐标系，利用空间向量求出点到平面的距离.
【小问1详解】
在棱长为2的正方体中，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
所以，即有，
所以.
【小问2详解】
由(1)知，，则，
设是平面的法向量，则，令，得，
所以点到平面的距离.
20. 已知，且在直线上，其中是数列中的第项.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】(1)根据给定条件，求出直线的方程，再代入求解作答.
(2)由(1)求出，再利用错位相减法求和作答.
【小问1详解】
因为，则直线的斜率为，直线的方程为：，即，
又因为在直线上，则有，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
所以数列的前项和.
21. 如图，底面，底面，四边形是正方形，.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】(1)利用线面垂直的性质、线面平行的判定推理作答.
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦即可求解作答.
【小问1详解】
因为底面，底面，则，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
依题意，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
而平面DCE，即平面，
则平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
则，，
所以直线与平面所成角的正切值为.
22. 已知椭圆：()的离心率为，其左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)依题意可得，即可求出、、，即可得解；
(2)设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由直线、的方程，得到、的坐标，即可得到以为直径的圆的方程，再令，得到，即可得解；
【小问1详解】
解：因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，设，，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.