河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)，共26页。试卷主要包含了 F为抛物线C， 已知直线l等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，，，则( )
A. －11B. －8C. 19D. 16
3. 已知向量，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 在正方体中，E为的中点，则异面直线与DE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5. F为抛物线C:的焦点,点A在C上,点,若,则的面积为( )
A. B. C. 4D. 8
6. 设直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，过左焦点且垂直x轴的直线与椭圆交于M，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的建设新住房，同时拆除面积为单位：的旧住房已知该市年初拥有居民住房的总面积为单位：，则到年末，该市住房总面积为( )
参考数据：，
A. B.
C. D.
8. 已知数列满足，，令，则数列的前2022项和( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知直线l：，圆O：，且圆O上至少有三个点到直线l的距离都等于1，则r的值可以是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，…，进行排列：，，，，…，则( )
A. 第8个括号内的第一个数是29
B. 前9个括号内共有45个数
C. 第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大136
D. 2022在第64个括号内
11. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，P是C的右支上一点，则( )
A. 若，则P到x轴的最大距离为
B. 存在点P，满足
C. P到双曲线的两条渐近线的距离之积为
D. 内切圆半径r取值范围是
12. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动(含边界)，则( )
A. 存在点P，使得
B. 若，则的最小值为
C. 若，则P点运动轨迹的长度为
D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知正项等比数列，若，，则______.
14. 正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.
15. 已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为______.
16. 设双曲线C:的右焦点为F,点,直线与交于M,N两点.若,则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆心为圆经过点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作直线l与圆C交于E，F两点.若，求直线l的方程.
18. 如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，的中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，，，求点A到平面的距离.
19. 已知抛物线C：焦点为F，O为坐标原点，A，B为C上异于O的两点，.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)求的最小值.
20. 已知数列满足,.
(1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;
(2)证明(1)中你的猜想;
(3)若数列的前n项和为,求.
21. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)若，在棱PC上是否存在点M，使直线AM与平面PBC所成角正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
22. 已知点，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设点，斜率为k的直线l与曲线C交于M，N两点.若，求k的取值范围.
唐山市2022~2023学年度高二年级第一学期学业水平调研考试
数学
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当直线斜率存在时，由直线的方向向量为，则代入计算即可.
【详解】因为，所以，
设直线的方向向量为，则，
取，则，
所以直线的一个方向向量为.
故选：C.
2. 在等差数列中，，，则( )
A. －11B. －8C. 19D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】代入等差数列通项公式求出公差，再代入公式即可求得.
【详解】因数列为等差数列，，，所以，解得，则.
故选：A
3. 已知向量，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，先得到的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.
【详解】根据题意可得，，即
则，
且，所以与的夹角为
故选:D
4. 在正方体中，E为的中点，则异面直线与DE所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出正方体的棱长，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，表达出和，即可得出异面直线与DE所成角的余弦值.
【详解】由题意
在正方体中，E为的中点，设正方体的棱长为，
建立空间直角坐标系如下图所示，
则，，，，，
∴，，
设异面直线与DE所成角为，
，
∴异面直线与DE所成角的余弦值为，
故选：A.
5. F为抛物线C:的焦点,点A在C上,点,若,则的面积为( )
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】求出焦点的坐标,根据两点间距离公式求得,即的长度,根据抛物线定义可求得点坐标,进而可求出面积.
【详解】解:因为抛物线C:,所以,准线为:
因为,所以,
设,根据抛物线定义可知:,解得,
所以,所以.
故选:B
6. 设直线与x轴的交点为椭圆的右焦点，过左焦点且垂直x轴的直线与椭圆交于M，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得以及，再结合椭圆的关系，列出方程即可得到结果.
【详解】根据题意可得，直线与x轴的交点为，即，所以，
且过左焦点且垂直x轴的直线与椭圆交于M，将代入椭圆方程可得，，
即，所以
所以，解得，所以离心率为
故选:C
7. 为建设宜居之城，某市决定每年按当年年初住房总面积的建设新住房，同时拆除面积为单位：的旧住房已知该市年初拥有居民住房的总面积为单位：，则到年末，该市住房总面积为( )
参考数据：，
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得，根据等比数列的求和公式即可化简求值.
【详解】由题意，年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
年末的住房面积为，
……
年末的住房面积为
.
到年末，该市住房总面积为.
故选：A
8. 已知数列满足，，令，则数列的前2022项和( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简，得，可得是等差数列，求出通项公式，再用裂项相消的方法求数列的前2022项和即可.
【详解】因为数列满足，即，即，，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，则，
因为，则，
数列的前2022项和.
故选：B
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知直线l：，圆O：，且圆O上至少有三个点到直线l的距离都等于1，则r的值可以是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】CD
【解析】
【分析】根据圆的对称性，结合圆心到直线距离列式求解即可.
【详解】圆O到直线的距离，由圆O上至少有三个点到直线l的距离都等于1得.
故选：CD.
10. 将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，…，进行排列：，，，，…，则( )
A. 第8个括号内的第一个数是29
B. 前9个括号内共有45个数
C. 第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大136
D. 2022在第64个括号内
【答案】ABD
【解析】
【分析】第n个括号有n个数，则括号里数的数量满足等差数列，且括号里的数同为等差数列，根据等差数列的通项公式及求和公式逐个判断即可.
【详解】对A，第n个括号有n个数，则前7个括号内共有个数，故第8个括号内的第一个数是29，A对；
对B，前9个括号内共有个数，B对；
对C，由AB得，第10个括号内的数的和为，第8个括号内的数的和为，故第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大，C错；
对D，设2022在第个括号内，则有，解得，D对.
故选：ABD.
11. 已知双曲线C：的左，右焦点分别为，，P是C的右支上一点，则( )
A. 若，则P到x轴的最大距离为
B. 存在点P，满足
C. P到双曲线的两条渐近线的距离之积为
D. 内切圆半径r的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用数量积坐标运算表示，解不等式求点的纵坐标范围，判断A，结合双曲线定义判断B，利用点到直线的距离公式求P到双曲线的两条渐近线的距离之积判断C，根据直线与双曲线的位置关系确定的范围，结合内切圆的性质判断D.
【详解】设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为，
则双曲线的焦点的坐标为，的坐标为，，渐近线方程为，
设点的坐标为，则，，
对于A，因为，
所以
所以，
所以，所以P到x轴的最大距离为，A正确；
对于B，由已知，，
所以，又，矛盾，B错误，
对于C，点到两渐近线的距离的积为，C正确；
对于D，因为三点不共线，所以直线的斜率不为0，
可设直线的方程为，，
联立，消，得，
方程的判别式
，
由已知，所以，又，
故或，
设的内切圆的圆心为，的内切圆与轴相切于点，
因为，所以，又，
所以，
设，则，
又内切圆半径，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题为双曲线的综合性问题，考查双曲线的定义，直线与双曲线的位置关系，双曲线的性质，难度较大.
12. 已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动(含边界)，则( )
A. 存在点P，使得
B. 若，则最小值为
C. 若，则P点运动轨迹的长度为
D. 若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，建立适当空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算判定即可；
B选项，找出动点在正方体底面内的运动轨迹，利用点到圆上点的最值求解即可；
C选项，根据立体几何中线面垂直推出线线垂直，可找出动点在正方体底面内的运动轨迹是线段，即可求解；
D选项：建立适当空间直角坐标系，利用可得出点，再利用空间向量的坐标表示求解即可.
【详解】对于A选项：如图1,
以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，
设，，则，，
若，则，解得，不合题意，错误；
对于B选项：如图2，
若，连接，则点在以为圆心，为半径的圆上，此时点的轨迹为，
又，，
，
，故正确；
对于C选项：如图3，
连接，，，，，
为正方形，则，
又平面，平面，
，，平面，
平面，平面，
，同理可证：，
又，平面，
平面，平面平面，
故点在正方体底面内的运动轨迹是线段，
又正方体的棱长为2，，故错误；
对于D选项：如图4，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，连接，，，，则，，，，
设，，则，，
当，有，则，此时，
又，，
当时，有最大值，此时，故正确.
故答案选：BD.
【点睛】关键点点睛：立体几何中线面垂直的判定定理，动点在立体几何中的轨迹问题，以及利用空间向量法解决立体几何的问题，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知正项等比数列，若，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】由等比数列基本量列方程求得基本量，即可得结果.
【详解】由题意，设等比数列的公比，
则，，两式相除得，，
∴.
故答案为：2.
14. 正四面体ABCD中，若M是棱CD的中点，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算得到，证明出共线定理的推论，由三点共线，得到，求出.
【详解】因为，所以，
即，，
下面证明：已知，若三点共线，则，
因为三点共线，所以存在非零实数，使得，
即，整理得，
故，，所以，
因为三点共线，
故，解得：.
故答案为：
15. 已知圆：，圆：，过圆上的任意一点P作圆的两条切线，切点为A，B，则四边形面积的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可得四边形面积，结合圆的性质求的最大值即可.
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
四边形面积，
∵，
∴四边形面积的最大值为.
故答案为：.
16. 设双曲线C:的右焦点为F,点,直线与交于M,N两点.若,则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设,,根据,得到为的重心,利用重心的坐标式得到,再利用点差法和得到关系求解即可.
【详解】设,,
因为,所以为的重心,
则,即,①
因为在双曲线C:上,
所以,两式相减得:,
化简得:,
即,②
将①代入②得:
,
即,解得:,
所以,
则,
即C的离心率为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆心为的圆经过点.
(1)求圆C的方程；
(2)过点作直线l与圆C交于E，F两点.若，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【解析】
【分析】(1)直接将点的坐标代入圆的方程，即可得到结果；
(2)根据截得的弦长，分l的斜率不存在与l的斜率存在分别讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
设所求圆C的方程为，
因为点在圆C上，则，
解得，所以圆C的方程为.
【小问2详解】
因为直线l被圆C截得的弦长为4，
所以圆心到直线l的距离.
当l的斜率不存在时，直线l方程为，符合题意.
当l的斜率存在时，设直线l方程为，即.
则，解得.
此时直线l方程为，即.
综上所述，直线l的方程为或.
18. 如图，在直三棱柱中，M，N分别为AC，中点.
(1)证明：平面；
(2)若平面，，，求点A到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)要证明平面，通过证明平面平面即可证得；
(2)根据已知条件可以以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可.
【小问1详解】
证明：取的中点H，连接MH，HN.
因为M为AC的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为H，N分别为，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为面MHN，所以平面平面.
因为平面MHN，所以平面.
【小问2详解】
因平面，平面，所以.
因为三棱柱是直三棱柱，所以，.
以BA，，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，.
设平面的法向量为.
由，得，取.
所以点A到平面的距离.
19. 已知抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，A，B为C上异于O的两点，.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)21
【解析】
【分析】(1)设，，直线AB的方程为，联立抛物线方程，由垂直斜率关系及韦达定理可求得参数m，进而确定定点；
(2)由抛物线定义结合基本不等式求最值.
【小问1详解】
设，，直线AB的方程为，将直线AB的方程代入，得.
由，得，即，所以，，
故直线AB：，恒过定点.
【小问2详解】
抛物线准线为，由抛物线的定义，
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为21.
20. 已知数列满足,.
(1)记,写出,,,,并猜想数列的通项公式;
(2)证明(1)中你的猜想;
(3)若数列的前n项和为,求.
【答案】(1),,,,猜想
(2)证明见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)根据的递推关系式及首项,写出,进而求得,,,,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式;
(2)因为,所以找到和的关系,即与的关系,对式子进行配凑,可发现是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得的通项公式;
(3)根据,可得,将写为,再将,代入,可得,将代入,再利用等比数列的求和公式即可得.
【小问1详解】
由题知,
因为,所以,
,,
,,
,,
综上:,,,,
猜想.
【小问2详解】
由题意,知,,代入得,
于是,即,
因为,所以是以3为首项,2为公比的等比数列,
故.
【小问3详解】
因为,
.
21. 在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)若，在棱PC上是否存在点M，使直线AM与平面PBC所成角的正弦值为？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】(1)由线线垂直证平面PAO，再依次证、平面ABCD；
(2)以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，设，由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.
【小问1详解】
证明：连接BD交AC于O，连接PO.
因为底面ABCD是边长为2的菱形，所以，
因为O是BD中点，，所以.
因为，平面PAO，所以平面PAO，
因为平面PAO，所以.
因为，，平面ABCD，所以平面ABCD.
【小问2详解】
如图，取线段BC的中点H，连接AH，易知.
以A为坐标原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则，，，.
，.
设，则有，解得，进而.
设平面PBC的法向量为.
由，得，取.
设直线AM与平面PBC所成的角为，则
，
化简得，，此方程无解，所以满足条件的点P不存在.
22. 已知点，，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设点，斜率为k的直线l与曲线C交于M，N两点.若，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)设动点，分别表示出，然后代入计算，化简即可得到结果；
(2)根据题意，分与两种情况讨论，当时，设直线l：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出MN的中点的坐标，再由条件列出方程，即可得到结果.
【小问1详解】
设动点，则，，
，由已知，得，
化简，得，故动点P的轨迹C的方程是.
【小问2详解】
当时，设直线l：，将代入，
整理，得，
设，，，
整理，得，①
设MN的中点为Q，，，
所以，
由，得，即直线EQ的斜率为，
所以，化简，得，②
将②代入①式，解得且.
当时，显然存在直线l，满足题设.
综上，可知k的取值范围是.