拓展一：轨迹方程（精练）-2024-2025学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版选择性必修第一册）

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拓展一：轨迹方程（精练）一、单选题1．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B∵，即设，则，整理得故选：B．2．已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦.又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即.又，所以，代入有，化简得.当时，；当时，均满足方程.又当时，不满足题意.综上有点的轨迹方程为故选：B3．正三角形OAB的边长为1，动点C满足，且，则点C的轨迹是（       ）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆【答案】D解：方法一：由题可知：，又所以，即所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：，如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以设 ，又所以整理得：所以点C的轨迹是圆.故选：D.4．已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（       ）．A． B．C． D．【答案】D由得．因为两圆的半径均为1，则，则，即．所以点P的轨迹方程为．故选：D二、填空题5．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满足，则点P的轨迹方程是___________．【答案】设，即，整理得：即．故答案为：．6．已知点，，动点满足，则点P的轨迹为___________.【答案】，，化简得：，所以，点P的轨迹为圆：故答案为：7．当点A在曲线上运动时，连接A与定点，则AB的中点P的轨迹方程为______．【答案】设，则由中点坐标公式可得，代入得整理得P的轨迹方程为.故答案为：8．已知圆的方程为：，定点，若，为圆上的两个动点，则线段的中点的轨迹方程为______；若弦经过点，则中点的轨迹方程为______．【答案】          设，，因为为线段的中点，所以，，又因为为圆上一点，所以，即，所以点的轨迹方程为．因为的中点为，所以，又因为经过点，所以，所以点的轨迹是以线段为直径的圆，其轨迹方程为．故答案为：；.三、解答题(共0分)9．直线与圆相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【答案】设，易知直线恒过定点，再由，得，∴，整理得．∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．解方程组得两曲线交点的横坐标为，故所求轨迹方程为．10．如图，圆与圆内切，且，大圆的半径为5.过动点P分别作圆､圆的切线PM､PN（M､N分别为切点），使，试通过建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹.【答案】圆心为，半径为的圆.如图，以所在直线为轴，以的中点为原点，建立直角坐标系，则，设，连接 则 根据勾股定理可得，，由，可得，平方整理可得：，所以动点P的轨迹为圆心为，半径为的圆.11．平面上有一条长度为定值的线段AB.(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹是什么图形？说明理由；(2)到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由.【答案】(1)到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；(2)当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.(1)如图以直线为轴，线段的中点为原点，建立平面直角坐标系，则，，设为曲线上的任意一点，因为点到线段AB两个端点距离的平方差为k所以或所以或化简可得或，所以到线段AB两个端点距离的平方差为k的点的轨迹为两条直线；(2)设为曲线上的任意一点，因为点到线段AB两个端点距离的平方和为k所以，所以，化简可得：，当时，，曲线的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆，当时，，曲线的轨迹为点，当时，，曲线的轨迹不存在，所以当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为以的中点为圆心，半径为的圆，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹为的中点，当时，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹不存在.12．已知圆，直线l满足___________（从①l过点，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.【答案】条件选择见解析，答案见解析.选择条件①，设点，令定点为P，因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则，有，当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时，等式成立，因此有，而，于是得，即，由解得，，而直线与圆相切的切点在圆C内，由点M在圆C内，得且，所以AB中点M的轨迹方程是：(且).选择条件②，设点，因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则，则M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，因此，M的轨迹是过圆心且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心且垂直于l的直线为，由解得或，而点M在圆C内，则有，所以AB中点M的轨迹方程是：.13．在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动点Q、R，且．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．【答案】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．如图所示，则点、、、，设动点，，由知：，则．当时，直线AR：①，直线DQ：，则②，①×②得：，化简得．当时，点P与原点重合，坐标也满足上述方程．故点P的轨迹方程为．