7 第六章 平面向量及其应用章节综合检测（新高考题型，提高卷）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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1．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，且，则实数（ ）
A．2B．C．8D．
【答案】D
【详解】由题意得，，
由．得，所以.
故选：D．
2．（2023春·河南开封·高一校考阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【详解】如图，连接AC，
由，得.
因为为半圆上的点，所以，
所以．
故选：A.
3．（2023·福建福州·统考二模）已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
在上的投影向量为
故选：B
4．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【详解】因为是线段AD的中点，且，
所以，
得，
又B、D、C三点共线，
所以，得.
故选：A.
5．（2022·河南洛阳·新安县第一高级中学校考模拟预测）“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，
依题意，在三角形中，，故；
所以，
设的面积为x，则面积为，同理的面积为，
的面积为x，
则阴影部分面积与五角形面积的比值为.
故选：B．
6．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【详解】由题意得：，即，
故，
因为，所以，
故，即
因为，所以，
即，故，
故，故，
所以为直角三角形.
故选：A
7．（2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
8．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在中，，且，，动点M在线段AB上移动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：如图所示：
由题意可知为等腰直角三角形，
又因为，
所以，
由，可得是中点，
又因为动点M在线段AB上，
设，则,
所以,
所以，
又因为，
所以当时，.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·高一课时练习）（多选）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是（ ）
A．，，；B．，，；
C．，，；D．，，.
【答案】AD
【详解】对于A，由正弦定理得：，
，，即，，则三角形有唯一解，A正确；
对于B，由正弦定理得：，
，，即，或，则三角形有两解，B错误；
对于C，由正弦定理得：，无解，C错误；
对于D，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，D正确.
故选：AD
10．（2023·全国·高一专题练习）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
【答案】AD
【详解】设，，，，
则，，，
对于A ，，故A正确；
对于B ，，故B不正确；
对于C，若，则，，，
所以，所以，
所以的面积是，故C不正确；
对于D，若，则，则，则，，，
所以，，
所以外接圆半径为.故D正确.
故选：AD
11．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，，，，F为线段BC的中点，E为线段AD上一动点（包括端点），，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．若E为线段AD的中点，则D．n的最大值为
【答案】ACD
【详解】过作，交的延长线于点，过作，交于，如图，
则四边形为矩形，设，由题意知，
则，，∴．
，∴．
对于选项A，，故A正确；
对于选项B，由F为线段BC的中点可知，所以，所以，过F作，垂足为M，的长即最小值，且，
∴，故B错误；
对于选项C，
∵E为DA中点，，∴，即．
∴．故C正确；
对于选项D，以D为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，设
∴，即
∴，，∴，故D正确．
故选：ACD
12．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）如图.为内任意一点，角的对边分别为，总有优美等式成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ）
A．若是的重心，则有
B．若成立，则是的内心
C．若，则
D．若是的外心，，，则
【答案】AB
【详解】对于A：如图所示：因为分别为的中点，
所以，，
同理可得、，
所以，
又因为，
所以.正确；
对于B：记点到的距离分别为，，
因为，
则，
即，
又因为，所以，所以点是的内心，正确；
对于C：因为，
所以，所以，
所以，
所以，
化简得：，
又因为不共线，
所以，所以，
所以，错误；
对于D：因为是的外心，，所以,，
所以，
因为，则，
化简得：，由题意知同时为负，
记，，则，
因为，所以，
所以，
所以，错误.
故答案为：AB.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省颍上第一中学校考阶段练习）已知向量，满足，与的夹角为，则__________.
【答案】2
【详解】由题意，.
∴.
故答案为：2
14．（2023春·河南·高三河南省淮阳中学校联考开学考试）如图，在中，，，分别是，上的点，满足，．若，则的长为______．
【答案】
【详解】设，则，又由已知可得，
在中，由正弦定理可得①；
在中，由正弦定理可得②．
①÷②得，又，，
所以，，所以，，，
所以．
故答案为：
15．（2023·陕西西安·统考一模）已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由题意在中，满足，即,
即，而，
故，又,
则，同理，
故
，
又,故，
则，
故答案为：
16．（2023·全国·高一专题练习）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）．已知正六边形的边长为1，点M满足，则________________；若点P是线段上的动点（包括端点），则的最小值是________________．
图① 图②
【答案】 ## ##
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
则
，
，
设，则
，
，
当时，的最小值为
故答案为：；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由得，∴，∴
（2）由已知，
又，∴，解得
18．（2023·湖南·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角B的大小；
(2)若．且，求△ABC的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理 ，可得，
又由 ，得 即 ，
由，有
可得 又因为，所以 .
（2）．且，，
由余弦定理：，
有，解得，
∴.
19．（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知向量，函数.
(1)求函数的最大值及相应自变量的取值；
(2)在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题知，
，
所以当，
即时，最大，且最大值为；
（2）由(1)知，，
则，
解得或，
所以中，，又，
则，
整理得，
则，
当且仅当时，等号成立，
整理可得，
又在中，所以，
即的取值范围为.
20．（2023·广东·校联考模拟预测）已知中，内角的对边分别为，且，，．
(1)求；
(2)若与在同一个平面内，且，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以为锐角，则如图，过作边上的高，其中为垂足，在线段上，
因为，，所以为等腰直角三角形，则，
又，所以从可知，所以，
所以.
（2）当取得最大值时，与分别位于两侧，此时设，则，则，
因此在中，由正弦定理得：，
所以，
因此由余弦定理得：
，
故当时，取得最大值，由此可得，因此的最大值为．
21．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图像，图像的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧.
(1)曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路长；
(2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值.
【答案】(1)千米
(2)时，最大值为平方千米
【详解】（1）由已知条件，得，
又，，，
又当时，有，且，，
曲线段的解析式为.
由，
根据图像得到，解得，
又，，.
.景观路长为千米.
（2）如图，，
，，
作轴于点，在Rt中，，
在中，由正弦定理得，
，
.
，当，即时，平行四边形面积有最大值为平方千米.
22．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.