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- 1 第八章 8.1-8.3立体几何图形、直观图、表面积与体积 典型例题讲解高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 2 第八章 8.1-8.3立体几何图形、直观图、表面积与体积 典型例题实战（练透核心考点）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 1 次下载
- 4 第八章 8.5空间直线、平面的平行关系 典型例题实战（练透核心考点）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 5 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题讲解高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
- 6 第八章 8.6空间直线、平面的垂直关系 典型例题实战（练透核心考点）高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册） 试卷 0 次下载
3 第八章 8.5空间直线、平面的平行关系 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份3 第八章 8.5空间直线、平面的平行关系 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含3第八章85空间直线平面的平行关系典型例题讲解原卷版docx、3第八章85空间直线平面的平行关系典型例题讲解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共99页， 欢迎下载使用。
一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与直线平行
高频考点二：直线与平面平行
角度1：判断（证明）线面平行
角度2：补全线面平行的条件
角度3：线面平行的性质
角度4：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
角度5：由线面平行求线段长度
高频考点三：平面与平面平行
角度1：判断（证明）面面平行
角度2：补全面面平行的条件
角度3：实际问题画线问题
角度4：面面平行的性质
角度5：由面面平行的性质判断线段比例或点的位置
高频考点四：平行的综合问题
一、基本概念回归
1、平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2、直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
3、直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号
相交——有且只有一个公共点 符号
平行——没有公共点 符号
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示
4、平行线的传递公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：
5、等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
6、线面，面面平行的判定和性质定理
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与直线平行
1．（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是______．
【答案】相交
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
2．（2022·高一课时练习）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
【答案】平行
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
3．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
4．（2021秋·陕西延安·高一校考阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是A1B1C1的中位线，
∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，
∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面.
5．（2022·高一课时练习）长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
6．（2021·高一课时练习）如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.
图1 图2
【答案】证明见详解.
【详解】在题图1中，∵四边形为梯形，，
分别为的中点，
∴且.
在题图2中，易知.
∵分别为，的中点，
∴且，
∴，，
∴四边形为平行四边形.即证.
7．（2021·高一课时练习）在三棱锥中，分别是边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）∵分别是边的中点．
∴,
,
∴四边形是平行四边形；
（2）若，则，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．
高频考点二：直线与平面平行
角度1：判断（证明）线面平行
1．（2006·湖南·高考真题）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A．4条B．6条C．8条D．12条
【答案】D
【详解】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有12条.
故选：D.
2．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，
.
为的中点，，
即四边形为平行四边形，.
平面平面平面.
3．（2022·广西梧州·校考一模）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：连结．
因为，分别为，的中点，
所以，且．
又因为为的中点，所以．
可得，因此四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，直四棱柱中，底面为菱形，P为的中点，M为的中点，
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）方法一：取的中点N，连接，
因为M为的中点，所以，
而，所以，
又,
所以平面，
又因为P为中点，
所以，
则四边形为平行四边形，
则，又
所以平面，且，
所以平面平面，
则平面．
方法二：连接，交于点O，连接，
因为M为中点，所以，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
则，又,平面
所以平面
角度2：补全线面平行的条件
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
【答案】点P是的中点，理由见解析．
【详解】解：当点P是的中点时，平面．
理由如下：如下图，取的中点O，连接、、，则且，
因为平面，平面，所以．
又，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
所以当点P是的中点时，平面．
2．（2020·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
【答案】存在，证明见解析.
【详解】存在点M为线段AB的中点，使DE∥平面A1MC，证明如下：
如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C与AC1的交点，由已知，O为AC1、A1C的中点．
连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以，，
所以.
所以四边形MDEO为平行四边形，
所以DE∥MO.
因为DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，
所以DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使DE∥平面A1MC.
3．（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，点，分别是棱，上的点，点是棱上的动点，，当点在什么位置时，平面？
【答案】当是的中点时，平面.
【详解】证明：过，，作平面交于点，连接，，
易知平面，又平面，
平面平面，所以.
又平面，平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
而，，
所以，，
故是的中位线.
所以当是的中点时，平面.
4．（2017秋·浙江·高二统考期中）如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为_______，是上一点，且平面，则的长为_______．
【答案】
【详解】
第一空：如图，延长交于，连接，交于，由，，
可得，所以；
第二空：是上一点，且平面，作，交于，连接，则，
四边形为平行四边形，，则.
故答案为：；.
角度3：线面平行的性质
1．（2021秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________．
【答案】1
【详解】，且平面平面，
，
四边形是菱形，
为的中点，
为的中点，
即.
2．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】连接BD交CE于O，连接OF，则，
因为平面，平面，平面平面，
所以，．
∵F是的中点，，
所以，
∴三棱锥外接球直径为，
所以所求表面积为．
故答案为：．
3．（2023·高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．
【答案】证明见详解
【详解】证明：连结，交于点，连结.
因为四边形为平行四边形，所以是的中点.
又是中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又平面平面，平面，
所以．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由题：，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，且平面平面，
所以.
5．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）如图，为空间四边形的边上的点（除端点外），且
(1)求证：；
(2)若为的中点，点满足，求证：必交于一点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）在空间四边形中，因为为上的点，即平面，
而，平面，则平面，又平面，平面平面，
所以.
（2）由（1）知，，且为的中点，则，又，则有，
因此，即四边形为梯形，与必相交，令，
显然，平面，即平面，，平面，即平面，
则为平面和平面的公共点，而平面平面，因此，
所以必交于一点.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：.
【答案】证明见解析.
【详解】在三棱柱中，因平面，平面，则平面，
又平面，平面平面，
所以.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）
证明：因为四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
（2）
证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（3）
证明：平面，平面，平面平面，
.
角度4：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
1．（2021秋·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在多面体中，，且，，F在上，要使平面，则的值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】B
【详解】连接相较于点，连接，
因为，且，，所以，
因为平面，平面，平面平面，所以，
所以.
故选：B.
2．（2022春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．2
【答案】C
【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：C.
3．（2021秋·全国·高三校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点为上一点，.
(1)能否在边上找一点，使平面?若能，求出点的位置；若不能，说明理由；
(2)若点在上，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)存在点满足，使平面.
(2)
【详解】（1）能，在上取点使，
过作于点，连接，，如图所示.
由题设得：，又，，
，
，
，，
面，面，
面，同理面，又，
面面，又面，
面，
存在点满足，使平面.
（2）连接，如图所示，由题意知：面，面，即，
由，，且面，
面.
，则，
，
三棱锥的体积为.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记，若平面，求实数的值.
【答案】
【详解】证明：连接，并延长交于点，连接CD.
因为、分别是、的中点，所以点为重心，且为的中点，所以，
因为平面，平面平面，平面，所以，所以，又因为，所以；
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别在棱和上，，平面，求的值.
【答案】
【详解】在三棱柱中，过E点作EF//AA1交A1C于点F，连接DF，如图，
因BB1//AA1，则EF//BB1，即EF与BB1确定一个平面DBEF，
因BE//平面A1CD，平面平面，则BE//DF，
于是得四边形DBEF为平行四边形，即BD=EF，又，则，因此，，
所以.
角度5：由线面平行求线段长度
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（ ）
A．2B．
C．D．1
【答案】D
【详解】连结，交于点，连结和，，
因为平面，又平面，且平面平面，
所以，又点是的中点，所以是的中点，
所以
故选：D
2．（2022春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【答案】A
【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；
连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，
可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，
则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．
又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．
又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上．
在Rt△AA1M中，AM，
同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形．
当P在MN的中点时，AP最小为，
当P与M或N重合时，AP最大为．
∴线段AP长度的取值范围是．
故选：A．
3．（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为2，点P是正方形的中心，点Q是上一点，且平面，则线段PQ长为___________.
【答案】
【详解】提示：如图，连接､，
由正方体的性质，得，则P是的中点.
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故答案为：.
4．（2022·上海·高二专题练习）如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：四边形为平行四边形，；
平面，平面，
平面；
又平面，平面平面，
，同理可得；
设，，
，，
；
又，，，
，且；
四边形的周长为
，
；
四边形周长的取值范围是．
故答案为：
5．（2021·全国·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，与为正三角形，动点为侧面四边形内一点，若平面，则动点运动轨迹长度为______.
【答案】3
【详解】
取的中点，连接交于点，
连接，则，所以.
又由，得，所以，
所以.又平面，
平面，所以平面，
由此可知动点运动轨迹为线段.
由题意知，
所以.
故答案为：3.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
【答案】
【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：.
高频考点三：平面与平面平行
角度1：判断（证明）面面平行
1．（2021·高一课时练习）在如图的几何体中，三个侧面都是平行四边形，则平面与平面平行吗?_____.(填“是”或“否”)
【答案】是
【详解】由侧面是平行四边形，所以，
又由平面，平面，所以平面，
由为平行四边形，可得，
又由平面，平面，所以平面，
因为，且平面，平面，
所以平面平面.
故答案为：是.
2．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．
(1)求证：E、F、B、D共面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，
∵，，则为平行四边形，
∴，
则，故E、F、B、D共面.
（2）由题意可得：分别为的中点，则，
∵，则，且平面，平面，
∴平面，
连接，由题意可得：分别为的中点，则，，
∵，，则，，即为平行四边形，
∴，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
故平面平面.
3．（2023·高一课时练习）在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO．
【答案】证明见详解
【详解】由题意可得：分别为的中点，则，
平面，平面，
∴平面，
连接，由题意可得：分别为的中点，则，且，
∵，且，
则，且，
故为平行四边形，则，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
故平面平面PAO.
4．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在三棱柱中，分别为的中点，
，
平面平面，
平面．
（2）平面，平面，
平面．
分别为的中点，，
，且．
四边形是平行四边形．
．
又平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
5．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图：在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：设，接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
（2）证明：为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面平面，
由（1）知平面平面平面，
平面平面.
6．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【详解】（1）由于分别是的中点，所以，
根据三棱柱的性质可知，，
所以，所以四点共面.
（2）由于分别是的中点，所以，
由于平面，平面，所以平面.
根据三棱柱的性质可知，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于平面，所以平面平面.
角度2：补全面面平行的条件
1．（2022春·广东广州·高一海珠外国语实验中学校考期中）如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点.
(1)求证：E、M、B、D四点共面；
(2)是否存在过点E，M且与平面平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，图形见解析，证明见解析
【详解】（1）证明：连接、，在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又是的中点，是的中点，所以，
所以，所以、、、四点共面；
（2）解：取靠近的四等分点，连接、，则平面平面，平面即为所求，图形如下所示，
证明：取的中点，连接、，连接交于点，连接，
依题意可得且，所以为平行四边形，所以
又为的中点，为的中点，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面，
显然为靠近点的四等分点，
又，所以，因为平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面；
2．（2021春·重庆大渡口·高一重庆市第三十七中学校校考期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；
（1）求证：平面.
（2）在上确定一点，使平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，点满足,证明见解析.
【详解】
（1）在线段上取一点，使得，因为是上靠近的三等分点，所以，所以，且，又因为是上靠近的三等分点，所以，又因为底面为平行四边形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）存在点，点满足,
证明：因为是上靠近的三等分点，所以，且,
所以，又因为平面，平面，所以平面，由（1）知平面，且平面，平面，所以平面平面.
3．（2021春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点．
（Ⅰ）在棱，上是否存在点，使得平面平面？请说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求几何体的体积．
【答案】（Ⅰ）存在，理由看解析；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）如图，连接交于点，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，
∴点为的中点．
∵平面平面，且平面平面，平面平面，
∴，同理，
∴，
又∵，∴，
即为的中点，为的中点．
故当、分别为棱，的中点时，平面平面；
（Ⅱ）∵，
，
∴．
4．（2021春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图，四棱柱中，是线段上异于点的一个动点，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】（1）连接，因为E,M为AD,DF的中点，所以，
又平面，平面，故平面.
（2）取中点，连接，，则，故平面，
又平面，且，是平面内两条相交直线，
故平面平面，
因此存在棱中点，即时满足题意.
5．（2022·高一课时练习）如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解．
【详解】证明：由四边形ABED为正方形可知，
连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故，
面ABC，面ABC，
面ABC；
当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，
证明：由点分别为中点可得：
面ABC，面ABC，
面ABC，
由可知，面ACD，
且，
故平面平面ABC．
角度3：实际问题画线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）一块三棱锥形木块如图所示，点是的重心，过点将木块锯开，使截面平行于侧面.
(1)画出截面与木块表面的交线，并说明理由；
(2)若为等边三角形，，求夹在截面与平面之间的几何体的体积.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交于，则平面平面，边所在直线即为所画线.理由如下：
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：因为为等边三角形，，
所以三棱锥为正三棱锥，
所以点在平面内的射影为的中心，则平面，如图2
连接，由为等边三角形，的中心为，
所以
所以三棱锥的高为
所以三棱锥的体积为，
连接并延长，交于点，
因为点是的重心，所以，所以
所以，
所以，，
所以，截面与平面之间的几何体的体积为
2．（2021春·山东枣庄·高一统考期末）如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行．
（1）问应当怎样画线，并说明理由；
（2）若三棱柱的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面之间部分的体积．
【答案】（1）答案见解析；（2）20.
【详解】解：（1）取线段的中点，连接，，，则平面平面．
，，即为应画的线．
证明如下：因为为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
连接，则，．
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
又，平面，平面，
故平面平面．
（2）设棱柱的底面积为，高为，则.
.
所以三棱柱夹在平面与平面之间部分的体积
.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
(2)若，均为其所在棱的中点，求点到平面的距离.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）
连接并延长交的延长线于点，连接交于，连接，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以.
（2）因为，为其所在棱的中点，，，
所以，可得，
故三棱锥，
此时，，为等腰三角形，
其底边上的高为，
设点到平面的距离为，
由，
解得：，所以点到平面的距离为.
角度4：面面平行的性质
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
【答案】证明见解析
【详解】由题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
而平面平面，平面平面，∴.
2．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折．
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．
（2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）证明：在平面图形中，连接，交于点G，连接．
∵四边形和四边形都是矩形，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴．又，则四边形是平行四边形
∴．
翻折之后，如图1所示．
∴，
又面，面，面，面
面，面，又
∴平面平面．
又平面，
∴平面．
∴当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．
（2）这个结论不对．
要使上述结论成立，M，N应分别为和的中点．
翻折后的图形如图2所示，连接．
∵M为的中点，
∴M也为的中点，与交于B，即与交于B．
∵，
∴确定一个平面，即F，M，D，N四点共面．
又平面平面，平面平面，平面平面，
∴．
3．（2020秋·湖南·高二校联考期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，点是的中点，过点作平行于平面的截面，与直线分别交于点.
（1）证明：.
（2）若四棱锥的体积为，求四边形的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，.所以,
同理，， 所以.
（2）由，得.
因为平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，同理,
又点E是的中点，可知分别为的中点，
所以，，,
又平面，平面，所以,所以，
所以四边形为直角梯形，所以四边形的面积为.
4．（2021·高一课时练习）如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当点为棱的中点时，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，所以.
（2）由点为棱的中点，可得为的中点，
取的中点，分别连接，和，
因为正三棱柱，所以，则，
取的中点，连接，
在等边中，因为，可得
在等腰梯形中，，可得，
连接，在直角中，，可得，
所以，可得，
因为，所以平面，
即四棱锥的高为，
又由梯形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
5．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)平行，证明见解析；
(2)
【详解】（1）如图，作中点，并连接,
分别为的中点,∥,
平面，平面,
∥平面,
又在直三棱柱中，∥,
平面，平面
∥平面,
且,平面，平面，
故平面∥平面，而平面，
故∥平面.
（2）则底面为等边三角形，
且为的中点，,
在直三棱柱中，,，
且∥平面,平面,
故,
又,
,，则中边上高，
故，
故，
∴点到平面的距离为.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，F，M，N分别为的中点，求证：//平面.
【答案】证明见解析.
【详解】取的中点G，连接，如图，
因M是的中点，则，平面，平面，因此平面，
又F为的中点，，即有，因N为的中点，G为的中点，则，
平面，平面，因此平面，又，平面，
于是得平面平面，而平面，
所以平面.
7．（2023·全国·高三专题练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，
由，得，而，，则有，
即，于是得，又平面，平面，则平面，
因，平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，
所以平面.
角度5：由面面平行的性质判断线段比例或点的位置
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【答案】
【详解】解：连接交于点，连接，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
2．（2022春·河南商丘·高一宁陵县高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，为的中点，理由见解析.
(1)
连结交于，连结．
∵为正方体，底面为正方形，
∴为的中点，
∵为的中点，在中，是的中位线，
所以，
又平面，平面，
∴∥平面；
(2)
上的中点即满足平面∥平面．
∵为的中点，为的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面；
由(1)知∥平面，
又∵，
∴平面∥平面．
3．（2022秋·上海·高二阶段练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.
(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；
(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以.
又平面，PQ不在平面内，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即，故，所以.
又平面，PR不在平面内，
所以平面，又，平面.
所以平面平面.
4．（2021秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.
（1）若线段AC上存在点D满足平面DEF//平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
【答案】（1）存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1，理由见解析；【详解】（1）若为的中点，连接，又E，F分别是棱BC，CC1的中点，
∴，又面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
由，则面DEF//面ABC1，
综上，存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，G为棱上的动点．
（1）当G是的中点时，判断平面与平面的位置关系，并加以证明；
【答案】（1）平面与平面平行，证明见解析；（2）
【详解】（1）依题意可以判断，平面与平面平行．
连结，
分别是的中点，，
又，且，
∴四边形是平行四边形
，
又平面，且平面，
平面．
同理可得BD//平面EFG，又，
平面，
故平面//平面.
高频考点四：平行的综合问题
1．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】直线与平面没有交点，所以平面，
取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，故 平面；
同理可得平面，，平面，
故平面平面，
故在上运动，当时，最小，最小值为，
此时的面积最小，求得.
故选：A
2．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，点P是的中点，动点Q在平面内（包括边界），若平面，则AQ的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示：分别为的中点，连接，
，，故，平面，平面，故平面；
易知四边形为平行四边形，，平面，平面，故平面；
，平面，故平面平面，
当平面时，面平面，故的轨迹为线段，
，，AQ的最小值是边上的高，为.
故选：D
3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则的长度的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,
∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，
，,
，四边形为平行四边形，
，而在平面中，易证，
∵平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面，∴平面平面，
∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
，，∴，
∴当P与O重合时，的长度取最小值，
故选：D．
4．（多选）（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）在正方体中,,G为CD的中点,点P在线段上运动,点Q在棱BC上运动,则( )
A．B．平面
C．异面直线与DP所成角的最大值为D．的最小值为
【答案】BCD
【详解】
因为CD与PG不垂直,而,所以AB与PG不垂直,故错.
因为平面平面平面,所以平面,故B对
因为是等边三角形,所以当为的中点,,又,所以当为的中点,,即异面直线与DP所成角的最大值为,故对.
在延长线上取一点,使得,则,所以.
所以,最小值为点到直线的距离.
由等面积法有,.
即,所以,所以的最小值为,故D对.
故选：BCD
5．（多选）（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．的最小值为
C．平面
D．当直线与AC所成的角最大时，四面体的外接球的体积为
【答案】ACD
【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以四面体的体积为，
所以四面体的体积为定值，故 A正确；
对于B，当与重合时，，
所以的最小值不为，故B错误；
对于C，
连接，
由正方体可得，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理可得平面
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故C正确；
对于D，因为，所以（或其补角）为直线与AC所成的角，
由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与AC所成的角最大，
所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球的直径为，即，
所以四面体的外接球的体积为，故D正确；
故选：ACD
6．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，线段上有动点，棱 上点满足．以下说法中，正确的有（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线平面
C．三棱锥的体积是1
D．三棱锥的体积是3
【答案】ABC
【详解】对A选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，
因为平面，平面，平面，直线，故直线与是异面直线.
对B选项：下面先证明面面，再证直线平面.
如图：连结与交于点，与交于点，
在正方形中，有，又，故，
又面， 面，
所以面，
又，面， 面，
所以 面，
面，面， ，
所以面面.
又面，故直线平面，所以B正确.
对选项C：，
，故C正确D不正确；
故选：ABC
7．（2023·高一单元测试）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【答案】①②③
【详解】图①：，，故，即四点共面，满足；
图②：，若为中点，则，故，即共面，
而，，故，即共面，
且三点不共线，故共面，满足；
图③：由题设，，故，则共面，满足；
图④：若为中点，则，故，即共面，
而面，面，则面，
又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足；
故答案为：①②③
8．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，
根据正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
，平面，所以平面平面，
又平面平面，且平面，平面，
点是侧面上的动点，所以在线段上，
又，所以，，，
所以，则，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：
9．（2023秋·山西晋城·高二校考期末）如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为__________．
【答案】
【详解】解：设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且
连接，，IH，，EG，BG，则，
所以，B，E，G四点共面，
由，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以F落在线段HI上，
因为正方体的棱长为3，所以，
即F在侧面上的轨迹的长度是．
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点．
(1)求证：四点共面
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD，
又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE，
所以，
所以四点共面；
（2）因为H是的中点，所以，
因为，所以，
因为，且，
所以，
所以，
所以HGFB，
因为HG平面，FB 平面，所以HG平面，
因为
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面， 平面，所以平面，
又平面
所以平面平面
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，
证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【详解】证明：在上取一点，使得，连接，
∵
∴，
，
又平面，平面，
平面；
，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
，平面，
平面平面，
平面，
平面.
12．（2023秋·四川内江·高二统考期末）直四棱柱，底面是平行四边形，，分别是棱的中点.
(1)求证：平面：
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连结，
在中，分别为的中点，
所以且，
底面是平行四边形，是棱的中点，
所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以平面平面，
所以平面；
（2）在中，，
由余弦定理有，
解得，
则，
因为为的中点，
所以，
由已知直四棱柱，可得，
可得，
.
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
线面平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
面面平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与直线平行
高频考点二：直线与平面平行
角度1：判断（证明）线面平行
角度2：补全线面平行的条件
角度3：线面平行的性质
角度4：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
角度5：由线面平行求线段长度
高频考点三：平面与平面平行
角度1：判断（证明）面面平行
角度2：补全面面平行的条件
角度3：实际问题画线问题
角度4：面面平行的性质
角度5：由面面平行的性质判断线段比例或点的位置
高频考点四：平行的综合问题
一、基本概念回归
1、平面基本性质即三条公理
公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
2、直线与直线的位置关系
共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
3、直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 ． 符号
相交——有且只有一个公共点 符号
平行——没有公共点 符号
说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用来表示
4、平行线的传递公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：
5、等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
6、线面，面面平行的判定和性质定理
二重点例题（高频考点）
高频考点一：直线与直线平行
1．（2023·高一课时练习）在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别边上的中点，则直线EG和FH的位置关系是______．
【答案】相交
【详解】∵E、F、G、H分别是四边上的中点，
∴，即，
同理可得：，
故E、F、G、H四点共面，且为平行四边形，则直线EG和FH的位置关系是相交.
故答案为：相交.
2．（2022·高一课时练习）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
【答案】平行
【详解】由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
3．（2023·高一课时练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行．
【答案】证明见详解
【详解】∵E、H分别是AB、CD的中点，则，
又∵F、G分别是BC、CD上的点，且，则，
∴，
故直线EH与直线FG平行．
4．（2021秋·陕西延安·高一校考阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是A1B1C1的中位线，
∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，
∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面.
5．（2022·高一课时练习）长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
6．（2021·高一课时练习）如图1所示，在梯形中，，，分别为，的中点，将平面沿翻折起来，使到达的位置（如图2），，分别为，的中点，求证:四边形为平行四边形.
图1 图2
【答案】证明见详解.
【详解】在题图1中，∵四边形为梯形，，
分别为的中点，
∴且.
在题图2中，易知.
∵分别为，的中点，
∴且，
∴，，
∴四边形为平行四边形.即证.
7．（2021·高一课时练习）在三棱锥中，分别是边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）∵分别是边的中点．
∴,
,
∴四边形是平行四边形；
（2）若，则，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．
高频考点二：直线与平面平行
角度1：判断（证明）线面平行
1．（2006·湖南·高考真题）过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ）
A．4条B．6条C．8条D．12条
【答案】D
【详解】如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有12条.
故选：D.
2．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，
.
为的中点，，
即四边形为平行四边形，.
平面平面平面.
3．（2022·广西梧州·校考一模）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：连结．
因为，分别为，的中点，
所以，且．
又因为为的中点，所以．
可得，因此四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）如图，直四棱柱中，底面为菱形，P为的中点，M为的中点，
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）方法一：取的中点N，连接，
因为M为的中点，所以，
而，所以，
又,
所以平面，
又因为P为中点，
所以，
则四边形为平行四边形，
则，又
所以平面，且，
所以平面平面，
则平面．
方法二：连接，交于点O，连接，
因为M为中点，所以，
又因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
则，又,平面
所以平面
角度2：补全线面平行的条件
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
【答案】点P是的中点，理由见解析．
【详解】解：当点P是的中点时，平面．
理由如下：如下图，取的中点O，连接、、，则且，
因为平面，平面，所以．
又，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
所以当点P是的中点时，平面．
2．（2020·全国·高三专题练习）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
【答案】存在，证明见解析.
【详解】存在点M为线段AB的中点，使DE∥平面A1MC，证明如下：
如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C与AC1的交点，由已知，O为AC1、A1C的中点．
连接MD，OE，OM，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以，，
所以.
所以四边形MDEO为平行四边形，
所以DE∥MO.
因为DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，
所以DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使DE∥平面A1MC.
3．（2022·高一课时练习）如图，在三棱柱中，点，分别是棱，上的点，点是棱上的动点，，当点在什么位置时，平面？
【答案】当是的中点时，平面.
【详解】证明：过，，作平面交于点，连接，，
易知平面，又平面，
平面平面，所以.
又平面，平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以.
而，，
所以，，
故是的中位线.
所以当是的中点时，平面.
4．（2017秋·浙江·高二统考期中）如图，长方体中，，是 上一点，，平面交棱于点，的长为_______，是上一点，且平面，则的长为_______．
【答案】
【详解】
第一空：如图，延长交于，连接，交于，由，，
可得，所以；
第二空：是上一点，且平面，作，交于，连接，则，
四边形为平行四边形，，则.
故答案为：；.
角度3：线面平行的性质
1．（2021秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________．
【答案】1
【详解】，且平面平面，
，
四边形是菱形，
为的中点，
为的中点，
即.
2．（2022秋·青海海东·高二校考期中）如图，在棱长为4的正方体中，E、F分别是AB、的中点，点P是上一点，且平面CEF，则四棱锥外接球的表面积为________．
【答案】
【详解】连接BD交CE于O，连接OF，则，
因为平面，平面，平面平面，
所以，．
∵F是的中点，，
所以，
∴三棱锥外接球直径为，
所以所求表面积为．
故答案为：．
3．（2023·高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．
【答案】证明见详解
【详解】证明：连结，交于点，连结.
因为四边形为平行四边形，所以是的中点.
又是中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
又平面平面，平面，
所以．
4．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于
(1)证明：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）由题：，
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，且平面平面，
所以.
5．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）如图，为空间四边形的边上的点（除端点外），且
(1)求证：；
(2)若为的中点，点满足，求证：必交于一点.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）在空间四边形中，因为为上的点，即平面，
而，平面，则平面，又平面，平面平面，
所以.
（2）由（1）知，，且为的中点，则，又，则有，
因此，即四边形为梯形，与必相交，令，
显然，平面，即平面，，平面，即平面，
则为平面和平面的公共点，而平面平面，因此，
所以必交于一点.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，是边的中点，过作截面交于点．求证：.
【答案】证明见解析.
【详解】在三棱柱中，因平面，平面，则平面，
又平面，平面平面，
所以.
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）
证明：因为四边形为平行四边形，则，
平面，平面，因此，平面.
（2）
证明：连接交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面.
（3）
证明：平面，平面，平面平面，
.
角度4：由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
1．（2021秋·青海西宁·高二校考阶段练习）如图，在多面体中，，且，，F在上，要使平面，则的值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】B
【详解】连接相较于点，连接，
因为，且，，所以，
因为平面，平面，平面平面，所以，
所以.
故选：B.
2．（2022春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于点O，E为的中点，F在上，，∥平面，则的值为（ ）
A．1B．C．3D．2
【答案】C
【详解】解：设与交于点，连接，如图所示，因为为的中点，则，
由四边形是菱形，可得，则，
所以，所以，
又因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故选：C.
3．（2021秋·全国·高三校联考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点为上一点，.
(1)能否在边上找一点，使平面?若能，求出点的位置；若不能，说明理由；
(2)若点在上，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)存在点满足，使平面.
(2)
【详解】（1）能，在上取点使，
过作于点，连接，，如图所示.
由题设得：，又，，
，
，
，，
面，面，
面，同理面，又，
面面，又面，
面，
存在点满足，使平面.
（2）连接，如图所示，由题意知：面，面，即，
由，，且面，
面.
，则，
，
三棱锥的体积为.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记，若平面，求实数的值.
【答案】
【详解】证明：连接，并延长交于点，连接CD.
因为、分别是、的中点，所以点为重心，且为的中点，所以，
因为平面，平面平面，平面，所以，所以，又因为，所以；
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，点，分别在棱和上，，平面，求的值.
【答案】
【详解】在三棱柱中，过E点作EF//AA1交A1C于点F，连接DF，如图，
因BB1//AA1，则EF//BB1，即EF与BB1确定一个平面DBEF，
因BE//平面A1CD，平面平面，则BE//DF，
于是得四边形DBEF为平行四边形，即BD=EF，又，则，因此，，
所以.
角度5：由线面平行求线段长度
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（ ）
A．2B．
C．D．1
【答案】D
【详解】连结，交于点，连结和，，
因为平面，又平面，且平面平面，
所以，又点是的中点，所以是的中点，
所以
故选：D
2．（2022春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【答案】A
【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；
连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，
可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，
则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．
又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．
又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上．
在Rt△AA1M中，AM，
同理，在Rt△AA1N中，求得AN，则△AMN为等腰三角形．
当P在MN的中点时，AP最小为，
当P与M或N重合时，AP最大为．
∴线段AP长度的取值范围是．
故选：A．
3．（2022·高二课时练习）已知正方体的棱长为2，点P是正方形的中心，点Q是上一点，且平面，则线段PQ长为___________.
【答案】
【详解】提示：如图，连接､，
由正方体的性质，得，则P是的中点.
因为平面，平面，平面平面，
所以，所以.
故答案为：.
4．（2022·上海·高二专题练习）如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.
【答案】
【详解】解：四边形为平行四边形，；
平面，平面，
平面；
又平面，平面平面，
，同理可得；
设，，
，，
；
又，，，
，且；
四边形的周长为
，
；
四边形周长的取值范围是．
故答案为：
5．（2021·全国·模拟预测）如图，在三棱柱中，，，与为正三角形，动点为侧面四边形内一点，若平面，则动点运动轨迹长度为______.
【答案】3
【详解】
取的中点，连接交于点，
连接，则，所以.
又由，得，所以，
所以.又平面，
平面，所以平面，
由此可知动点运动轨迹为线段.
由题意知，
所以.
故答案为：3.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
【答案】
【详解】如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：.
高频考点三：平面与平面平行
角度1：判断（证明）面面平行
1．（2021·高一课时练习）在如图的几何体中，三个侧面都是平行四边形，则平面与平面平行吗?_____.(填“是”或“否”)
【答案】是
【详解】由侧面是平行四边形，所以，
又由平面，平面，所以平面，
由为平行四边形，可得，
又由平面，平面，所以平面，
因为，且平面，平面，
所以平面平面.
故答案为：是.
2．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．
(1)求证：E、F、B、D共面；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【详解】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，
∵，，则为平行四边形，
∴，
则，故E、F、B、D共面.
（2）由题意可得：分别为的中点，则，
∵，则，且平面，平面，
∴平面，
连接，由题意可得：分别为的中点，则，，
∵，，则，，即为平行四边形，
∴，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
故平面平面.
3．（2023·高一课时练习）在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO．
【答案】证明见详解
【详解】由题意可得：分别为的中点，则，
平面，平面，
∴平面，
连接，由题意可得：分别为的中点，则，且，
∵，且，
则，且，
故为平行四边形，则，
平面，平面，
∴平面，
，平面，
故平面平面PAO.
4．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在三棱柱中，分别为的中点，
，
平面平面，
平面．
（2）平面，平面，
平面．
分别为的中点，，
，且．
四边形是平行四边形．
．
又平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
5．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图：在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：设，接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
（2）证明：为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面平面，
由（1）知平面平面平面，
平面平面.
6．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
(1)，，，四点共面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明详见解析
(2)证明详见解析
【详解】（1）由于分别是的中点，所以，
根据三棱柱的性质可知，，
所以，所以四点共面.
（2）由于分别是的中点，所以，
由于平面，平面，所以平面.
根据三棱柱的性质可知，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于平面，所以平面平面.
角度2：补全面面平行的条件
1．（2022春·广东广州·高一海珠外国语实验中学校考期中）如图，在正方体中，点E，F，M分别是棱的中点.
(1)求证：E、M、B、D四点共面；
(2)是否存在过点E，M且与平面平行的平面?若存在，请作出这个平面并证明，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，图形见解析，证明见解析
【详解】（1）证明：连接、，在正方体中，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又是的中点，是的中点，所以，
所以，所以、、、四点共面；
（2）解：取靠近的四等分点，连接、，则平面平面，平面即为所求，图形如下所示，
证明：取的中点，连接、，连接交于点，连接，
依题意可得且，所以为平行四边形，所以
又为的中点，为的中点，所以，
所以，因为平面，平面，所以平面，
显然为靠近点的四等分点，
又，所以，因为平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面；
2．（2021春·重庆大渡口·高一重庆市第三十七中学校校考期中）如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）；
（1）求证：平面.
（2）在上确定一点，使平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点，点满足,证明见解析.
【详解】
（1）在线段上取一点，使得，因为是上靠近的三等分点，所以，所以，且，又因为是上靠近的三等分点，所以，又因为底面为平行四边形，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；
（2）存在点，点满足,
证明：因为是上靠近的三等分点，所以，且,
所以，又因为平面，平面，所以平面，由（1）知平面，且平面，平面，所以平面平面.
3．（2021春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校考期中）如图，正三棱柱的高为，底面边长为2，点，分别为，上的点．
（Ⅰ）在棱，上是否存在点，使得平面平面？请说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求几何体的体积．
【答案】（Ⅰ）存在，理由看解析；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）如图，连接交于点，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，
∴点为的中点．
∵平面平面，且平面平面，平面平面，
∴，同理，
∴，
又∵，∴，
即为的中点，为的中点．
故当、分别为棱，的中点时，平面平面；
（Ⅱ）∵，
，
∴．
4．（2021春·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图，四棱柱中，是线段上异于点的一个动点，，分别是，的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【详解】（1）连接，因为E,M为AD,DF的中点，所以，
又平面，平面，故平面.
（2）取中点，连接，，则，故平面，
又平面，且，是平面内两条相交直线，
故平面平面，
因此存在棱中点，即时满足题意.
5．（2022·高一课时练习）如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由.
【答案】（1）证明见详解；（2）P为线段CD中点，理由见详解．
【详解】证明：由四边形ABED为正方形可知，
连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故，
面ABC，面ABC，
面ABC；
当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，
证明：由点分别为中点可得：
面ABC，面ABC，
面ABC，
由可知，面ACD，
且，
故平面平面ABC．
角度3：实际问题画线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）一块三棱锥形木块如图所示，点是的重心，过点将木块锯开，使截面平行于侧面.
(1)画出截面与木块表面的交线，并说明理由；
(2)若为等边三角形，，求夹在截面与平面之间的几何体的体积.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）解：过点作交于点，过点作交于，则平面平面，边所在直线即为所画线.理由如下：
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）解：因为为等边三角形，，
所以三棱锥为正三棱锥，
所以点在平面内的射影为的中心，则平面，如图2
连接，由为等边三角形，的中心为，
所以
所以三棱锥的高为
所以三棱锥的体积为，
连接并延长，交于点，
因为点是的重心，所以，所以
所以，
所以，，
所以，截面与平面之间的几何体的体积为
2．（2021春·山东枣庄·高一统考期末）如图，在三棱柱中，点是的中点，欲过点作一截面与平面平行．
（1）问应当怎样画线，并说明理由；
（2）若三棱柱的体积为30，求该棱柱在所作截面与平面之间部分的体积．
【答案】（1）答案见解析；（2）20.
【详解】解：（1）取线段的中点，连接，，，则平面平面．
，，即为应画的线．
证明如下：因为为的中点，为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
连接，则，．
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又平面，平面，
所以平面．
又，平面，平面，
故平面平面．
（2）设棱柱的底面积为，高为，则.
.
所以三棱柱夹在平面与平面之间部分的体积
.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
(1)作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则；
(2)若，均为其所在棱的中点，求点到平面的距离.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【详解】（1）
连接并延长交的延长线于点，连接交于，连接，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以.
（2）因为，为其所在棱的中点，，，
所以，可得，
故三棱锥，
此时，，为等腰三角形，
其底边上的高为，
设点到平面的距离为，
由，
解得：，所以点到平面的距离为.
角度4：面面平行的性质
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，平面，平面，，求证：
【答案】证明见解析
【详解】由题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
而平面平面，平面平面，∴.
2．（2022·全国·高一假期作业）如图所示，矩形和矩形中，，点M，N分别位于上，且，矩形可沿任意翻折．
（1）求证：当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．
（2）“不管怎样翻折矩形，线段总和线段平行，”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【详解】（1）证明：在平面图形中，连接，交于点G，连接．
∵四边形和四边形都是矩形，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴．又，则四边形是平行四边形
∴．
翻折之后，如图1所示．
∴，
又面，面，面，面
面，面，又
∴平面平面．
又平面，
∴平面．
∴当F，A，D不共线时，线段总平行于平面．
（2）这个结论不对．
要使上述结论成立，M，N应分别为和的中点．
翻折后的图形如图2所示，连接．
∵M为的中点，
∴M也为的中点，与交于B，即与交于B．
∵，
∴确定一个平面，即F，M，D，N四点共面．
又平面平面，平面平面，平面平面，
∴．
3．（2020秋·湖南·高二校联考期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，点是的中点，过点作平行于平面的截面，与直线分别交于点.
（1）证明：.
（2）若四棱锥的体积为，求四边形的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面，
又平面平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，.所以,
同理，， 所以.
（2）由，得.
因为平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，同理,
又点E是的中点，可知分别为的中点，
所以，，,
又平面，平面，所以,所以，
所以四边形为直角梯形，所以四边形的面积为.
4．（2021·高一课时练习）如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）当点为棱的中点时，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析； （2）.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
又因为，所以.
（2）由点为棱的中点，可得为的中点，
取的中点，分别连接，和，
因为正三棱柱，所以，则，
取的中点，连接，
在等边中，因为，可得
在等腰梯形中，，可得，
连接，在直角中，，可得，
所以，可得，
因为，所以平面，
即四棱锥的高为，
又由梯形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
5．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)平行，证明见解析；
(2)
【详解】（1）如图，作中点，并连接,
分别为的中点,∥,
平面，平面,
∥平面,
又在直三棱柱中，∥,
平面，平面
∥平面,
且,平面，平面，
故平面∥平面，而平面，
故∥平面.
（2）则底面为等边三角形，
且为的中点，,
在直三棱柱中，,，
且∥平面,平面,
故,
又,
,，则中边上高，
故，
故，
∴点到平面的距离为.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，，F，M，N分别为的中点，求证：//平面.
【答案】证明见解析.
【详解】取的中点G，连接，如图，
因M是的中点，则，平面，平面，因此平面，
又F为的中点，，即有，因N为的中点，G为的中点，则，
平面，平面，因此平面，又，平面，
于是得平面平面，而平面，
所以平面.
7．（2023·全国·高三专题练习）两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，过M作于H，求证：
(1)平面平面BCE；
(2)平面BCE.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）在正方形ABCD中，，，则，又平面，平面，因此平面，
由，得，而，，则有，
即，于是得，又平面，平面，则平面，
因，平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知：平面平面，而平面，
所以平面.
角度5：由面面平行的性质判断线段比例或点的位置
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱柱中，点、分别是、上的点，且平面平面，试求的值.
【答案】
【详解】解：连接交于点，连接，如下图所示：
由棱柱的性质可知，四边形为平行四边形，所以，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
，则为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因为，所以，四边形为平行四边形，
所以，，因此，.
2．（2022春·河南商丘·高一宁陵县高级中学校考阶段练习）如图，在正方体中，E为的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)上是否存在一点，使得平面∥平面，若存在请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，为的中点，理由见解析.
(1)
连结交于，连结．
∵为正方体，底面为正方形，
∴为的中点，
∵为的中点，在中，是的中位线，
所以，
又平面，平面，
∴∥平面；
(2)
上的中点即满足平面∥平面．
∵为的中点，为的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面；
由(1)知∥平面，
又∵，
∴平面∥平面．
3．（2022秋·上海·高二阶段练习）已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.
(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；
(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.
【答案】(1)答案见解析
(2)，证明见解析
【详解】（1）连结CP并延长与DA的延长线交于M点，则平面PQC和平面的线为，
因为四边形ABCD为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以.
又平面，PQ不在平面内，
故平面.
（2）当的值为时，能使平面平面.
证明：因为，即，故，所以.
又平面，PR不在平面内，
所以平面，又，平面.
所以平面平面.
4．（2021秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.
（1）若线段AC上存在点D满足平面DEF//平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；
【答案】（1）存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1，理由见解析；【详解】（1）若为的中点，连接，又E，F分别是棱BC，CC1的中点，
∴，又面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
面ABC1，面ABC1，则面ABC1，
由，则面DEF//面ABC1，
综上，存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图，棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，G为棱上的动点．
（1）当G是的中点时，判断平面与平面的位置关系，并加以证明；
【答案】（1）平面与平面平行，证明见解析；（2）
【详解】（1）依题意可以判断，平面与平面平行．
连结，
分别是的中点，，
又，且，
∴四边形是平行四边形
，
又平面，且平面，
平面．
同理可得BD//平面EFG，又，
平面，
故平面//平面.
高频考点四：平行的综合问题
1．（2023春·江西·高二校联考开学考试）如图，长方体中，，，为的中点，为底面上一点，若直线与平面没有交点，则面积的最小值为（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【详解】直线与平面没有交点，所以平面，
取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，故 平面；
同理可得平面，，平面，
故平面平面，
故在上运动，当时，最小，最小值为，
此时的面积最小，求得.
故选：A
2．（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，点P是的中点，动点Q在平面内（包括边界），若平面，则AQ的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】如图所示：分别为的中点，连接，
，，故，平面，平面，故平面；
易知四边形为平行四边形，，平面，平面，故平面；
，平面，故平面平面，
当平面时，面平面，故的轨迹为线段，
，，AQ的最小值是边上的高，为.
故选：D
3．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）点，分别是棱长为的正方体中棱，的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则的长度的最小值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【详解】取的中点，的中点F，连结，，，取EF中点O，连结，,
∵点M，N分别是棱长为2的正方体中棱BC，的中点，
，,
，四边形为平行四边形，
，而在平面中，易证，
∵平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
又，平面，∴平面平面，
∵动点P在正方形（包括边界）内运动，且平面AMN，
∴点P的轨迹是线段EF，
，，∴，
∴当P与O重合时，的长度取最小值，
故选：D．
4．（多选）（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）在正方体中,,G为CD的中点,点P在线段上运动,点Q在棱BC上运动,则( )
A．B．平面
C．异面直线与DP所成角的最大值为D．的最小值为
【答案】BCD
【详解】
因为CD与PG不垂直,而,所以AB与PG不垂直,故错.
因为平面平面平面,所以平面,故B对
因为是等边三角形,所以当为的中点,,又,所以当为的中点,,即异面直线与DP所成角的最大值为,故对.
在延长线上取一点,使得,则,所以.
所以,最小值为点到直线的距离.
由等面积法有,.
即,所以,所以的最小值为,故D对.
故选：BCD
5．（多选）（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．的最小值为
C．平面
D．当直线与AC所成的角最大时，四面体的外接球的体积为
【答案】ACD
【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以四面体的体积为，
所以四面体的体积为定值，故 A正确；
对于B，当与重合时，，
所以的最小值不为，故B错误；
对于C，
连接，
由正方体可得，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理可得平面
因为，平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故C正确；
对于D，因为，所以（或其补角）为直线与AC所成的角，
由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与AC所成的角最大，
所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以外接球的直径为，即，
所以四面体的外接球的体积为，故D正确；
故选：ACD
6．（多选）（2023·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，线段上有动点，棱 上点满足．以下说法中，正确的有（ ）
A．直线与是异面直线
B．直线平面
C．三棱锥的体积是1
D．三棱锥的体积是3
【答案】ABC
【详解】对A选项：异面直线的判断方法：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，
因为平面，平面，平面，直线，故直线与是异面直线.
对B选项：下面先证明面面，再证直线平面.
如图：连结与交于点，与交于点，
在正方形中，有，又，故，
又面， 面，
所以面，
又，面， 面，
所以 面，
面，面， ，
所以面面.
又面，故直线平面，所以B正确.
对选项C：，
，故C正确D不正确；
故选：ABC
7．（2023·高一单元测试）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【答案】①②③
【详解】图①：，，故，即四点共面，满足；
图②：，若为中点，则，故，即共面，
而，，故，即共面，
且三点不共线，故共面，满足；
图③：由题设，，故，则共面，满足；
图④：若为中点，则，故，即共面，
而面，面，则面，
又，且三点不共线，故面即为面，故面，即不共面，不满足；
故答案为：①②③
8．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，
根据正方体的性质可得，平面，平面，
所以平面，
同理可证平面，
，平面，所以平面平面，
又平面平面，且平面，平面，
点是侧面上的动点，所以在线段上，
又，所以，，，
所以，则，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：
9．（2023秋·山西晋城·高二校考期末）如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为__________．
【答案】
【详解】解：设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且
连接，，IH，，EG，BG，则，
所以，B，E，G四点共面，
由，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以F落在线段HI上，
因为正方体的棱长为3，所以，
即F在侧面上的轨迹的长度是．
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点．
(1)求证：四点共面
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD，
又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE，
所以，
所以四点共面；
（2）因为H是的中点，所以，
因为，所以，
因为，且，
所以，
所以，
所以HGFB，
因为HG平面，FB 平面，所以HG平面，
因为
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面， 平面，所以平面，
又平面
所以平面平面
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，且．点在棱上，点为中点，
证明：若，则直线平面
【答案】证明见解析
【详解】证明：在上取一点，使得，连接，
∵
∴，
，
又平面，平面，
平面；
，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
，平面，
平面平面，
平面，
平面.
12．（2023秋·四川内江·高二统考期末）直四棱柱，底面是平行四边形，，分别是棱的中点.
(1)求证：平面：
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连结，
在中，分别为的中点，
所以且，
底面是平行四边形，是棱的中点，
所以且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以平面平面，
所以平面；
（2）在中，，
由余弦定理有，
解得，
则，
因为为的中点，
所以，
由已知直四棱柱，可得，
可得，
.
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
作用
判断线在面内
确定一个平面
证明多点共线
线面平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
面面平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
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