2高一数学必修第二册期末模拟试卷（新高考版基础卷2）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023·福建南平·统考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以.
故选：B
2．（2023春·河南·高一洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，是的直观图，则是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．以上都有可能
【答案】C
【详解】因为，则线段与轴必相交，令交点为，如图（1）所以，
在直角坐标系中，点在轴上，可得，点C在y轴上，可得，
如图（2）所示，因此点必在线段的延长线上，所以，
所以是钝角三角形．
故选：C．
3．（2023·全国·高二专题练习）珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录．算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】总共14颗算珠，其中上珠4颗，故从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为.
故选：C
4．（2023·江苏·统考模拟预测）在中，，点P在CD上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
所以，
又P，C，D三点共线，所以，得.
故选：D.

5．（2023·山东滨州·统考二模）某组样本数据的频率分布直方图如图所示，设该组样本数据的众数、平均数、第一四分位数分别为，，，则，，的大小关系是（注：同一组中数据用该组区间中点值近似代替）（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由频率分布直方图可知众数为，即，
平均数，
显然第一四分位数位于之间，则，解得，
所以.
故选：A
6．（2023春·吉林·高一校联考期中）在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：如图所示
设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，
因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，
所以，
在中，，即，
解得，所以外接球的体积为，
故选：C
7．（2023春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确D．甲、乙都不正确
【答案】B
【详解】可得，，
，
又，
由正弦定理得，
则，
解得，.
若条件为，
则由正弦定理得：，解得，
或，答案不唯一，不符合题意，
若条件为，
则由正弦定理得：，解得，
或，
，，答案唯一，符合题意，
故答案为，
故选：B.
8．（2023春·福建厦门·高一厦门一中校考期中）如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有，如图，

当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：,
所以，即,
在三角形中，，，
由勾股定理可得：,且.
同理可求：，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得：.
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·全国·高一专题练习）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界．港珠澳大桥为中国内地前往中国香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄段统计了港珠澳大桥落地以后，由港珠澳大桥实现中国内地前往中国香港的老、中、青旅客的人数比为5：2：3，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则下列说法正确的是（ ）
A．老年旅客抽到150人B．中年旅客抽到40人
C．D．被抽到的老年旅客和中年旅客人数之和超过200
【答案】BC
【详解】因为老、中、青旅客的人数比为5：2：3，青年旅客抽到60人，
所以，解得，
所以老年旅客抽到（人），
中年旅客抽到（人），100+40=140＜200．
故选：BC．
10．（2023·全国·高一专题练习）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（ ）
A．事件发生的概率为B．事件发生的概率为
C．事件是互斥事件D．事件相互独立
【答案】ABC
【详解】A选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种情况，
其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：，共3种情况，
故，A正确；
B选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：，共7种情况，
故中共有种情况，故，B正确；
C选项，由于事件中无相同情况，故，所以件是互斥事件，C正确；
D选项，因为，事件不互相独立，D错误.
故选：ABC
11．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在中，关于的值，以下说法正确的是（ ）
A．当半径为定值，弦越长，的值就越大
B．当弦长度为定值，半径越大，的值就越大
C．的值与弦的长度无关
D．的值与半径的大小无关
【答案】AD
【详解】设的半径为，的长度为，取的中点，连接，则
在中，
∴
只与弦的长度有关，且弦越长，的值越大，与半径无关.
故选:AD.
12．（2023春·广西柳州·高一柳州地区高中校考期中）如图，正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ）

A．平面
B．
C．直线与平面所成角为
D．点到平面的距离为
【答案】ABD
【详解】在正方体中，取棱中点，连接，

因为M，N分别为AC，的中点，则，
因此四边形为平行四边形，则平面，
平面，所以平面，A正确；
因为平面，平面，则，所以，B正确；
显然平面，则是与平面所成的角，又，
有，由于，所以直线MN与平面ABCD所成的角为，C错误；
等边三角形的面积为，设到平面的距离为，
由得，解得 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的第75百分位数是______．
【答案】39
【详解】依题意，数据由小到大排列为：12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50，
由，得所求第75百分位数是39.
故答案为：39.
14．（2023春·天津武清·高一天津英华国际学校校考阶段练习）已知，，与的夹角为，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围___________ .
【答案】
【详解】∵向量与的夹角是锐角，
∴且向量与向量不共线，
由得，
∴，
∴，即，解得或，
若向量与向量共线，则，无解，
∴向量与向量不共线，
∴实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为______.
【答案】/
【详解】连接，
平面，即为直线与平面所成角，
在中，，，
.
故答案为：.
16．（2023春·江苏南京·高一校考期中）已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若∠BAC=，D为边BC上一点，且AD=1， BD：DC=2c：b，，则tan=___________则b+2c的最小值为 ___________.
【答案】 / /
【详解】设，则，
∵AD=1，BD：DC=2c：b，
∴，
即，
化简得，即，
故，
又，
所以，
即，
∴，
当且仅当时取等号，即2b+c的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023·全国·高一专题练习）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；
(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.（以每组中点作为该组数据的代表）
【答案】(1)，中位数为82.5
(2)，有520名学生获奖
【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，
从而可得，由得：，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.
（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，，
此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.
18．（2023·河南郑州·模拟预测）2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在，的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．
【答案】(1)平均数73，中位数
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩
.
设中位数为，则，
解得.
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人，
记抽取成绩在的4人为：，抽取成绩在的2人为：，
从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，，共15种，
抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是，，只有9种，
故做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在的概率
19．（2023春·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考期中）如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在正方形中，，
因为，所以，
又因为侧面是正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
而平面，则，而，
∴，而，
又平面，
∴平面
（2）连接，如图所示：
∵为正方形，，
∴，
而平面，
∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
∵，
∴，
所以直线与平面所成的角为.
20．（2023春·上海虹口·高一上外附中校考期中）在平行四边形中，是的中点，交于点．
(1)若，求实数与的值；
(2)若，，且，则当点在边上运动时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）
，，；
，，，
，
，.
（2）
设，则，
，
，，即的取值范围为.
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点．
(1)若，棱上是否存在点，使得平面平面？并说明理由；
(2)若，，，异面直线与成角，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】(1)存在，理由见解析
(2)
【详解】（1）棱上存在点，且时，平面平面，
理由如下：
连，，
因为，，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，所以，又，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，所以平面，
又平面，平面，且，
所以平面平面.
（2）由（1）可知，，又，所以，
因为异面直线与成角，所以，
因为，且，平面，
所以平面，因为平面，所以，
在上取点，且，因为，所以，
又由（1）知，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角，
，，所以，
，，
，
在中，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
22．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，满足，.
(1)证明：外接圆的半径为；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由，得，
由正弦定理得:
，
化简得.
因为，所以.
又，所以，
所以外接圆的半径为.
（2）要使恒成立，
即恒成立，
即求的最大值.
由余弦定理得，
所以
因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.