人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课时作业

这是一份人教A版 (2019)第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算课时作业，共6页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(2023年怀仁期末)已知向量a，b满足|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2，它们的夹角为 eq \f(π,6)，则|a＋b|＝( )
A．10B． eq \r(10)
C． eq \r(13)D．13
2．(2023年宁波期中)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且2a＋4b＝3c，则a·c＝( )
A．－ eq \f(1,4)B． eq \f(1,4)
C． eq \f(1,2)D．－ eq \f(1,2)
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(8,3)B． eq \f(4,3)
C．6D．4＋2 eq \r(3)
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的有( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c
5．(2023年宁波月考)已知△ABC中，D是BC的中点，且| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|，则向量 eq \(BA,\s\up6(→))在 eq \(BC,\s\up6(→))上的投影向量为( )
A． eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))B． eq \f(\r(3),4) eq \(BC,\s\up6(→))
C．－ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))D．－ eq \f(\r(3),4) eq \(BC,\s\up6(→))
6．已知平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝6且(2a－b)·(a＋2b)＝－4，则向量a，b的夹角θ为( )
A． eq \f(2π,3)B． eq \f(π,2)
C． eq \f(π,3)D． eq \f(π,6)
7．P是△ABC所在平面上一点，若 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))· eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( )
A．外心B．内心
C．重心D．垂心
8．已知e1，e2是夹角为 eq \f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为__________．
9．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ eq \r(10)，则|b|＝__________．
10．(2023年杭州模拟)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝ eq \f(1,2)．
(1)求(2a＋b)·(a－b)的值；
(2)求2a＋b与a－b的夹角的余弦值．
B级——能力提升练
11．(2023年贵州模拟)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3．若点P满足 eq \(BP,\s\up6(→))＝2 eq \(PA,\s\up6(→))，则 eq \(CP,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A．0B． eq \f(1,3)
C． eq \f(2,3) eq \r(13)D． eq \f(14,3)
12．(多选)(2023年武汉期中)蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，则下列说法正确的有( )
A． eq \(FB,\s\up6(→))－ eq \(FD,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))B． eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝| eq \(AF,\s\up6(→))|2
C． eq \(AD,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为 eq \(AB,\s\up6(→))D． eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→))
13．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__________．
14．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为__________；|2a－b|＝__________．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6， eq \(CP,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))．
(1)若四边形ABCD是矩形，求 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝6，求 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值．
答案
1【答案】C
【解析】因为|a|＝ eq \r(3)，|b|＝2，它们的夹角为 eq \f(π,6)，所以a·b＝|a||b|cs eq \f(π,6)＝3，所以|a＋b|＝ eq \r((a＋b)2)＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(3＋2×3＋4)＝ eq \r(13)．故选C．
2【答案】A
【解析】∵2a＋4b＝3c，∴4b＝3c－2a，∴16b2＝9c2＋4a2－12a·c．∵a，b，c均为单位向量，∴16＝9＋4－12a·b，∴a·b＝－ eq \f(1,4)．故选A．
3【答案】C
【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，∴ eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))·( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4)×4＋ eq \f(1,4)×4＋2×2× eq \f(1,2)＝6．故选C．
4【答案】ACD
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，故C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故D错．故只有选项B正确．故选ACD．
5【答案】A
【解析】| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→))|，则两边同时平方可得， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0，即∠A＝90°，D是BC的中点，令| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(AB,\s\up6(→))|＝m，则∠ACB＝30°，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝2m，即∠ABC＝60°，向量 eq \(BA,\s\up6(→))在 eq \(BC,\s\up6(→))上的投影向量为 eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)× eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(2m2×\f(1,2),4m2)× eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))．故选A．
6【答案】C
【解析】∵|a|＝4，|b|＝6，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝32－72＋3a·b＝－4．∴a·b＝12．∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(1,2)．又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3)．故选C．
7【答案】D
【解析】由 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PC,\s\up6(→))，得 eq \(PB,\s\up6(→))·( eq \(PA,\s\up6(→))－ eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
8【答案】 eq \f(5,4)
【解析】由a·b＝0，得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cs eq \f(2π,3)＝0，解得k＝ eq \f(5,4)．
9【答案】3 eq \r(2)
【解析】|2a－b|＝ eq \r(10)⇔(2a－b)2＝10⇔4＋|b|2－4|b|cs 45°＝10⇔|b|＝3 eq \r(2)．
10解：(1)根据题意，向量|a|＝2，|b|＝1，a·b＝ eq \f(1,2)，
则(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝8－ eq \f(1,2)－1＝ eq \f(13,2)．
(2)设2a＋b与a－b的夹角为θ，
(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝19，
则|2a＋b|＝ eq \r(19)，
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4，
则|a－b|＝2，
故cs θ＝ eq \f((2a＋b)·(a－b),|2a＋b||a－b|)＝ eq \f(13\r(19),76)．
11【答案】B
【解析】由题意，得 eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(CA,\s\up6(→))－ eq \(CB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))．∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴ eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))＝0，∴ eq \(CP,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))))·( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(CA,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)．故选B．
12【答案】BCD
【解析】对于A， eq \(FB,\s\up6(→))－ eq \(FD,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))，A错误；对于B，∠FAD＝60°，则 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))＝| eq \(AD,\s\up6(→))|×| eq \(AF,\s\up6(→))|×cs 60°＝| eq \(AF,\s\up6(→))|2，B正确；对于C， eq \(AD,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为| eq \(AD,\s\up6(→))|·cs 60° eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \(AB,\s\up6(→))，C正确；对于D， eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→))，D正确．故选BCD．
13【答案】－ eq \f(1,3)
【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b．∴a·b＝－|b|2．∴cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(－|b|2,3|b|·|b|)＝－ eq \f(1,3)．
14【答案】 eq \f(π,3) 2 eq \r(7)
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(1,2)．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝ eq \f(π,3)．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2 eq \r(7)．
15解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以 eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))＝0，由 eq \(CP,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))，得 eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))＝－ eq \f(2,3) eq \(DC,\s\up6(→))．
所以 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝( eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→)))·( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CP,\s\up6(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\(DC,\s\up6(→))))
＝ eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \(DC,\s\up6(→))2
＝36－ eq \f(2,9)×81＝18．
(2)由题意， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CP,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))，
所以 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))·
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \f(2,9) eq \(AB,\s\up6(→))2＝36－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－18＝18－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))．
又因为 eq \(AP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝6，所以18－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝6．
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝36．设 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))的夹角为θ，
又因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|cs θ＝9×6×cs θ＝54cs θ，所以54cs θ＝36，即cs θ＝ eq \f(2,3)．
所以 eq \(AB,\s\up6(→))与 eq \(AD,\s\up6(→))夹角的余弦值为 eq \f(2,3)．