高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后作业题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后作业题，共4页。
1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是( )
A．第(n－k)项B．第(n－k－1)项
C．第(n－k＋1)项D．第(n－k＋2)项
【答案】D 【解析】第k项的二项式系数是C eq \\al(k-1,n)，由于C eq \\al(k-1,n)＝C eq \\al(n－k+1,n)，而第(n－k＋2)项的二项式系数为C eq \\al(n－k+1,n)，所以D正确．
2．设二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)＋\f(1,x))) eq \s\up12(n)的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )
A．第9项B．第8项
C．第9项和第10项D．第8项和第9项
【答案】A 【解析】因为展开式的第5项为T5＝C eq \\al(4,n)x eq \s\up6(\f(n－4,3))-4，所以令 eq \f(n－4,3)－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．
3．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数的和为64，则n等于( )
A．4B．5
C．6D．7
【答案】C 【解析】由2n＝64，得n＝6.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3B．6
C．9D．12
【答案】B 【解析】x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C eq \\al(2,3)·2＝6.
5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2B．1
C．2D．2×39
【答案】A 【解析】令x＝－1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
6．设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于( )
A．0B．1
C．11D．12
【答案】B 【解析】因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512023＋a＝(52－1)2023＋a＝C eq \\al(0,2 023)522023－C eq \\al(1,2 023)522022＋C eq \\al(2,2 023)522021－…＋C eq \\al(2 022,2 023)52－C eq \\al(2 023,2 023)＋a.因为512023＋a能被13整除，所以－C eq \\al(2 023,2 023)＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，得a＝1.
7．(多选)(2022年龙岩期末)关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x)) eq \s\up12(5)的展开式，下列结论正确的有( )
A．各项二项式系数之和为32
B．各项系数之和为－1
C．存在常数项
D．x3项的系数为80
【答案】ABD 【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x))eq \s\up12(5)的展开式的所有二项式系数和为25＝32，故A正确；取x＝1，可得所有项的系数和为－1，故B正确；展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(5－r)·(－2x)r＝(－2)r·Ceq \\al(r,5)·x2r-5，由2r－5＝0，得r＝eq \f(5,2)(舍去)，故不存在常数项，C错误；由2r－5＝3，得r＝4，∴含x3项的系数为(－2)4Ceq \\al(4,5)＝80，故D正确．故选ABD．
8．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
【答案】5 【解析】(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,10)＋Ceq \\al(1,10)＋…＋Ceq \\al(10,10)＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
9．(1＋eq \r(x))n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
【答案】6x 【解析】因为8＜Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝Ceq \\al(2,4)(eq \r(x))2＝6x.
10．设(2－eq \r(3)x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)求a0；
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解：(1)令x＝0，则a0＝2100.
(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq \r(3))100①，
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－eq \r(3))100－2100.
(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋eq \r(3))100②.
①－②，可得a1＋a3＋…＋a99＝eq \f((2－\r(3))100－(2＋\r(3))100,2).
(4)由①②，可得(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－eq \r(3))100·(2＋eq \r(3))100＝1.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋eq \r(3)x)100的展开式中各项系数的和，在(2＋eq \r(3)x)100的展开式中，令x＝1，可得各项系数的和为(2＋eq \r(3))100.
B级——能力提升练
11．(多选)(2023年邢台期末)已知(2－ eq \r(3)x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则( )
A．a3＝－360
B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝(2－ eq \r(3))6
D．展开式中系数最大的为a2
【答案】BD 【解析】(2－ eq \r(3)x)6展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,6)·26-k·(－ eq \r(3)x)k＝C eq \\al(k,6)·(－ eq \r(3))k·26-k·xk.令k＝3，则a3＝C eq \\al(3,6)×(－ eq \r(3))3×23＝－480 eq \r(3)，A错误；令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝(2－ eq \r(3))6，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋ eq \r(3))6，∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)＝[(2－ eq \r(3))×(2＋ eq \r(3))]6＝1，B正确；令x＝0，得a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－ eq \r(3))6－26，C错误；∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，且a0＝26＝64，a2＝C eq \\al(2,6)×24×3＝720，a4＝C eq \\al(4,6)×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中系数最大的为a2，D正确．
12．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )
A．第11项B．第13项
C．第18项D．第20项
【答案】D 【解析】在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数为C eq \\al(4,5)＋C eq \\al(4,6)＋C eq \\al(4,7)＝C eq \\al(1,5)＋C eq \\al(2,6)＋C eq \\al(3,7)＝55.以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，令an＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.
13．(2022年威海期末)在(x－ eq \f(1,\r(x)))n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含x3项的系数为________．
【答案】15 【解析】由题知n＝6，则Tr＋1＝C eq \\al(r,6)·x6-r· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(r)＝C eq \\al(r,6)·(－1)r·x6- eq \s\up6(\f(3,2)) eq \s\up12(r)，令6－ eq \f(3r,2)＝3，得r＝2，所以展开式中x3的系数为C eq \\al(2,6)·(－1)2＝15.
14．(2023年丽水期末)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________．
【答案】－4 31 【解析】因为x·C eq \\al(0,3)·23·x0－C eq \\al(1,3)·22·x1＝－4x，所以a1＝－4，对所给等式，两边对x求导，得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3.令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
15．已知( eq \r(x)＋ eq \f(1,\r(3,x)))n的展开式中偶数项的二项式系数和比(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数和小120，求第一个展开式中的第3项．
解：因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x)))) eq \s\up12(n)的展开式中的偶数项的二项式系数和为2n-1，而(a＋b)2n的展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1，所以有2n-1＝22n-1－120，解得n＝4，故第一个展开式中第3项为T3＝C eq \\al(2,4)( eq \r(x))2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x)))) eq \s\up12(2)＝6 eq\r(3,x).