人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理同步训练题

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1．设S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4B．x4＋1
C．(x－2)4D．x4＋4
【答案】A 【解析】S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C eq \\al(0,4)(x－1)4＋C eq \\al(1,4)(x－1)3＋C eq \\al(2,4)(x－1)2＋C eq \\al(3,4)(x－1)＋C eq \\al(4,4)＝[(x－1)＋1]4＝x4.故选A．
2．设i为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( )
A．－20iB．15i
C．20D．－15
【答案】D 【解析】(1＋i)6展开式中的第3项为C eq \\al(2,6)i2＝－15.
3．(x－ eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数是( )
A．－840B．840
C．210D．－210
【答案】B 【解析】在通项公式Tk＋1＝C eq \\al(k,10)(－ eq \r(2)y)kx10-k中，令k＝4，即得(x－ eq \r(2)y)10的展开式中x6y4的系数为C eq \\al(4,10)×(－ eq \r(2))4＝840.
4．在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(2,x))) eq \s\up12(n)的展开式中，若常数项为60，则n等于( )
A．3B．6
C．9D．12
【答案】B 【解析】Tk＋1＝C eq \\al(k,n)( eq \r(x))n－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x))) eq \s\up12(k)＝2kC eq \\al(k,n)x eq \s\up6(\f(n－3k,2)).令 eq \f(n－3k,2)＝0，得n＝3k.根据题意有2kC eq \\al(k,3k)＝60，验证知k＝2，故n＝6.
5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( )
A．4B．27
C．36D．108
【答案】D 【解析】Tk＋1＝C eq \\al(k,n)(3x)k，由C eq \\al(2,n)＝6，得n＝4，从而T4＝C eq \\al(3,4)·(3x)3，故第4项的系数为C eq \\al(3,4)·33＝108.
6．(多选)下列关于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x)) eq \s\up12(4)的展开式的说法中正确的有( )
A．第1项为x-4
B．第3项的二次项系数为6
C．第5项的系数为16
D．常数项为－24
【答案】ABC 【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－2x)) eq \s\up12(4)展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,4)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) eq \s\up12(4－k)·(－2x)k＝(－2)kC eq \\al(k,4)·x2k-4.T1＝x-4，A正确；第3项的二次项系数为C eq \\al(2,4)＝6，B正确；T5＝(－2)4C eq \\al(4,4)x4＝16x4，C正确；令2k－4＝0，解得k＝2，∴常数项为(－2)2C eq \\al(2,4)＝24，D错误．
7．(2022年长沙月考)(2x－ eq \f(a,\r(x)))5的展开式中x2的系数为20，则常数a＝( )
A．± eq \f(1,2)B． eq \f(1,2)
C．± eq \r(2)D． eq \r(2)
【答案】A 【解析】由题意得二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(r,5)25-r(－a)rx5- eq \s\up6(\f(3,2))r，依题意，令5－ eq \f(3r,2)＝2，则r＝2，C eq \\al(2,5)23·(－a)2＝20，解得a＝± eq \f(1,2).故选A．
8. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x2))) eq \s\up12(7)的展开式中倒数第三项为________．
【答案】 eq \f(84,x8) 【解析】由于n＝7，可知展开式中共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T6＝C eq \\al(5,7)(2x)2· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2))) eq \s\up12(5)＝C eq \\al(5,7)·22 eq \f(1,x8)＝ eq \f(84,x8).
9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
【答案】11 【解析】a＝C eq \\al(n-3,n)，b＝C eq \\al(n-2,n).∵a∶b＝3∶1，∴ eq \f(C eq \\al(n-3,n),C eq \\al(n-2,n))＝ eq \f(C eq \\al(3,n),C eq \\al(2,n))＝ eq \f(3,1)，即 eq \f(n(n－1)(n－2)·2,6n(n－1))＝3，解得n＝11或n＝0(舍去).
10．已知在( eq \f(1,2)x2－ eq \f(1,\r(x)))n的展开式中，第9项为常数项，求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解：已知二项展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2)) eq \s\up12(n－k) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(k)＝(－1)k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(n－k)C eq \\al(k,n)x2n－ eq \s\up6(\f(5,2))k.
(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－ eq \f(5,2)k＝0，
解得n＝10.
(2)令2×10－ eq \f(5,2)k＝5，得k＝ eq \f(2,5)(20－5)＝6.
所以x5的系数为(－1)6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up12(4)C eq \\al(6,10)＝ eq \f(105,8).
(3)要使20－ eq \f(5,2)k，即 eq \f(40－5k,2)为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
B级——能力提升练
11．(2023年荆州模拟)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,x)))(1＋x)6展开式中，含x3项的系数为( )
A．30B．45
C．60D．75
【答案】D 【解析】(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(r,6)xr，则T3＝C eq \\al(2,6)x2＝15x2，T5＝C eq \\al(4,6)x4＝15x4，因此 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3,x)))(1＋x)6展开式中含x3项的系数是2×15＋3×15＝75.
12．(多选)(2023年青岛期末)对于 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(6)的展开式，下列说法正确的有( )
A．展开式有7项B．有理项有3项
C．第4项的系数为－160D．常数项为－160
【答案】ACD 【解析】因为Tr＋1＝C eq \\al(r,6)·26-r·(－1)r·x3-r，所以展开式共有7项，全部为有理项，A正确，B错误；第4项的系数为－C eq \\al(3,6)·8＝－160，C正确；令3－r＝0，得r＝3，所以常数项为－160，D正确．
13．在(x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为________(用数字填写答案).
【答案】－40 【解析】(x2－x－2)4＝(x＋1)4(x－2)4，(x＋1)4的展开式通项为Tr＋1＝C eq \\al(r,4)x4-r，(x－2)4的展开式通项为Tk＋1＝C eq \\al(k,4)x4-k(－2)k，所以(x2－r－2)4的展开式中，x3的系数为C eq \\al(1,4)·C eq \\al(4,4)(－2)4＋C eq \\al(2,4)·C eq \\al(3,4)·(－2)3＋C eq \\al(3,4)·C eq \\al(2,4)(－2)2＋C eq \\al(4,4)·C eq \\al(1,4)(－2)＝－40.
14．(2022年嘉兴期末)已知多项式(x＋1)n＋(x＋2)m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＝5，a2＝16，则m＝________，n＝________．
【答案】2 6 【解析】由题意，a0＝C eq \\al(n,n)＋C eq \\al(m,m)×2m＝1＋2m＝5⇒m＝2，则a2＝C eq \\al(n-2,n)＋C eq \\al(0,2)＝C eq \\al(2,n)＋1＝ eq \f(n(n－1),2)＋1＝16⇒n＝6(负值舍去).
15．已知( eq \r(x)＋ eq \r(3,x))n(其中n