高中数学6.2 排列与组合习题

这是一份高中数学6.2 排列与组合习题，共5页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．计算：C eq \\al(2,8)＋C eq \\al(3,8)＋C eq \\al(2,9)＝( )
A．120B．240
C．60D．480
【答案】A 【解析】C eq \\al(2,8)＋C eq \\al(3,8)＋C eq \\al(2,9)＝C eq \\al(3,9)＋C eq \\al(2,9)＝C eq \\al(3,10)＝120.
2．有10个一模一样的小球，现分给甲、乙、丙3人，若甲至少得1球，乙至少得2球，丙至少得3球，则他们所得的球数的不同情形有( )
A．15种B．12种
C．9种D．6种
【答案】A 【解析】首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩4个球．
①4个球分给1个人，有C eq \\al(1,3)＝3(种)分法；
②4个球分给2个人，有3C eq \\al(2,3)＝9(种)分法；
③4个球分给3个人，有3(种)分法．
共有3＋9＋3＝15种分法．
3．方程C eq \\al(x,14)＝C eq \\al(2x-4,14)的解集为( )
A．{4}B．{14}
C．{4，6}D．{14，2}
【答案】C 【解析】由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝14－(2x－4)，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或x＝6.
4．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种B．70种
C．75种D．150种
【答案】C 【解析】由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C eq \\al(2,6)C eq \\al(1,5)＝75(种).
5．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加学校组织的活动，若按性别比例采用分层随机抽样的方法，则不同的抽取方法数为( )
A．224B．112
C．56D．28
【答案】B 【解析】由分层随机抽样知，应从8名女生中抽取2名，从4名男生中抽取1名，所以抽取2名女生和1名男生的方法数为C eq \\al(2,8)C eq \\al(1,4)＝112.
6．(2023年长春模拟)基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2023年的强基计划报名时间集中在4月12日～30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名三所大学的强基计划，若每所大学至少有一名学生报名，每名学生只报名一所大学，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有不同的报名方式的种数为( )
A．28B．32
C．36D．40
【答案】C 【解析】根据题意，把甲、乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有C eq \\al(2,4)A eq \\al(3,3)＝36(种)不同的方法．
7．(多选)若1 eq \f(27,4).又因为0≤m－1≤8，0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，所以m＝7或m＝8.
9．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．
【答案】60 【解析】根据题意，所有可能的决赛结果有C eq \\al(1,6)C eq \\al(2,5)C eq \\al(3,3)＝6× eq \f(5×4,2)×1＝60(种).
10．有10个运动员名额，分给班号分别为1，2，3的3个班．
(1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？
(2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？
(3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？
解：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对应一种分法，共有C eq \\al(2,9)＝36(种)分法．
(2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C eq \\al(2,6)＝15(种)分法．
(3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问的方法，可得有C eq \\al(2,12)＝66(种)分法．
B级——能力提升练
11．(多选)众所周知，组合数C eq \\al(m,n)＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，这里m，n∈N*，并且m≤n.牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C eq \\al(m,n)中的下标n推广到任意实数，规定广义组合数C eq \\al(m,x)＝ eq \f(x(x－1)…(x－m＋1),m！)是组合数的一种推广，其中(m∈N*，x∈R)，且定义C eq \\al(0,x)＝1，比如C eq \\al(5,2)＝ eq \f(2(2－1)(2－2)(2－3)(2－4),5！)＝0.下列命题是真命题的有( )
A．C eq \\al(4,－7)＝－210
B．当m，n为正整数且m>n时，C eq \\al(m,n)＝0
C．当m为正奇数时，C eq \\al(m,－1)＝－1
D．当n为正整数时，C eq \\al(m,－n)＝(－1)mC eq \\al(m,n＋m－1)
【答案】BCD 【解析】由题意，C eq \\al(4,－7)＝ eq \f(－7(－7－1)(－7－2)(－7－3),4！)＝210，A不正确．由C eq \\al(m,n)＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)，当m，n为正整数且m>n时，n－m≤－1，所以n－m＋1≤0，所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，一定有某个数为0，所以C eq \\al(m,n)＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)＝0，B正确．当m为正奇数时，C eq \\al(m,－1)＝ eq \f(－1×(－2)…(－1－m＋1),m！)＝ eq \f(－1×(－2)…(－m),m！)＝－1，C正确．当n为正整数时，C eq \\al(m,－n)＝ eq \f(－n(－n－1)(－n－2)…(－n－m＋1),m！)＝(－1)m eq \f(n(n＋1)(n＋2)…(n＋m－1),m！)，C eq \\al(m,n＋m－1)＝ eq \f((n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋m－1－m＋1),m！)＝ eq \f((n＋m－1)(n＋m－2)…(n＋1)n,m！)，所以C eq \\al(m,－n)＝(－1)mC eq \\al(m,n＋m－1)，D正确．
12．口袋里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15只，白色手套10只．现从中随机抽取出两只手套，若两只是同色手套，则甲获胜，若两只手套颜色不同，则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是( )
A．甲多B．乙多
C．一样多D．不确定
【答案】C 【解析】两只是同色手套的取法有C eq \\al(2,15)＋C eq \\al(2,10)＝150(种).两只不是同色手套的取法有C eq \\al(1,15)·C eq \\al(1,10)＝150(种).
13．如图，某区有7条南北向街道，5条东西向街道．图中有______个矩形； 从A点走向B点最短的走法有______种．
【答案】210 210 【解析】在7条东西向街道中任选2条，5条南北向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形C eq \\al(2,7)C eq \\al(2,5)＝210(个)；每条东西向的街道被分成6段，每条南北向的街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C eq \\al(6,10)C eq \\al(4,4)＝210(种)走法．
14．(2023年福建模拟)福厦高速铁路，正线全长300.483千米，2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米．为了加快推动福厦高速铁路重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设，项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有________种(用数字作答).
【答案】72 【解析】把6人分成3组，共有 eq \f(C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2),A eq \\al(3,3))＝15(种)不同的分法，其中甲、乙在同一组中有 eq \f(C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))＝3(种)分法，所以甲、乙不在同一组中有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12A eq \\al(3,3)＝72(种)不同的方案．
15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有次品为止．
(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次测试才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A eq \\al(4,6)种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C eq \\al(2,4)·A eq \\al(2,2)＝A eq \\al(2,4)种测法，再排余下4件的测试位置，有A eq \\al(4,4)种测法．所以共有不同的测试方法A eq \\al(4,6)·A eq \\al(2,4)·A eq \\al(4,4)＝103 680(种).
(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同的测试方法C eq \\al(1,4)·(C eq \\al(1,6)·C eq \\al(3,3))A eq \\al(4,4)＝576(种).