高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第2课时同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册8.2 一元线性回归模型及其应用第2课时同步训练题，共7页。试卷主要包含了下列说法错误的有等内容，欢迎下载使用。

A级——基础过关练
1．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
【答案】A 【解析】 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
2．在回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大B．越小
C．可能大也可能小D．以上均错
【答案】B 【解析】因为R2＝1－ eq \f(\i\su(i＝1,n, )(yi－\(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n, )(yi－\x\t(y))2)，所以当R2越大时， eq \i\su(i＝1,n, )(yi－ eq \(y,\s\up6(^))i)2越小，即残差平方和越小．
3．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表所示：
则建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】A 【解析】R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
4．在线性回归模型中，变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(1,2)上，则R2等于( )
A． eq \f(1,4)B． eq \f(1,2)
C．1D．2
【答案】C 【解析】 变量x与y的一组样本数据对应的点均在直线y＝ eq \f(1,4)x＋ eq \f(1,2)上，故残差平方和为0，所以R2＝1.
5．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和 eq \i\su(i＝1,n, )(yi－ eq \(y,\s\up6(^))i)2如下表所示：
试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
【答案】D 【解析】 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，则由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
6．(2022年信宜开学)色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批该产品测得如下数据：
已知该产品的色差和色度之间满足线性相关关系，且 eq \(y,\s\up6(^))＝0.25x＋ eq \(b,\s\up6(^))，现有一对测量数据为(32，21.25)，则该组数据的残差(测量值与预测值的差)为( )
A．0.65B．0.75
C．－0.75D．0.95
【答案】B 【解析】样本中心点坐标为(26，19)，代入经验回归方程得到 eq \(b,\s\up6(^))＝12.5，所以 eq \(y,\s\up6(^))＝0.25x＋12.5.将x＝32代入，求解得到对应的预估值为20.5，因而其残差为21.25－20.5＝0.75.故选B．
7．(多选)(2022年武安月考)下列说法错误的有( )
A．一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越小
B．线性回归方程对应的直线 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))至少经过其样本数据点中的一个点
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．在回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果差
【答案】ABD 【解析】对于A，一组数据的预测值与真实值之间的误差越大，残差越大，所以A错误；对于B，经验回归方程对应的直线 eq \(y,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^))可能不过任何一个样本数据点，所以B错误；对于C，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C正确；对于D，回归分析中，决定系数R2为0.98的模型比决定系数R2为0.80的模型拟合的效果好，所以D错误．故选ABD．
8．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表所示：
已知y关于x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.5x＋0.4，则当销售额为5千万元时，残差为________．
【答案】0.1 【解析】当x＝5时， eq \(y,\s\up6(^))＝0.5×5＋0.4＝2.9，表格中对应y＝3，于是残差为3－2.9＝0.1.
9．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程z＝0.3x＋4，则c＝________．
【答案】e4 【解析】由题意，得ln (cekx)＝0.3x＋4，所以ln c＋kx＝0.3x＋4，比较两边系数，得ln c＝4，所以c＝e4.
10．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(单位：万元)和销售量y(单位：万台)的数据如下表所示：
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋d eq \r(x)模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程 eq \(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99 eq \r(x)，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好．
解：(1)∵ eq \x\t(x)＝8， eq \(y,\s\up6(－))＝4.2， eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝279.4， eq \i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)＝708，
∴ eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝ eq \f(279.4－7×8×4.2,708－7×82)＝0.17，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \(y,\s\up6(－))－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝4.2－0.17×8＝2.84，
∴y关于x的经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝0.17x＋2.84.
(2)∵0.75＜0.88且R2越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好，
∴选用 eq \(y,\s\up6(^))＝1.63＋0.99 eq \r(x)更好．
B级——能力提升练
11．市人民医院对某种病毒引起的疾病，采用中西医结合方法治疗，取得了良好效果，每周治愈的患者人数如表所示：
由表格可得Y关于x的非线性经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝6x2＋a，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为( )
A．5B．－13
C．13D．0
【答案】C 【解析】因为 eq \x\t(x)2＝ eq \f(1,5)(1＋4＋9＋16＋25)＝11， eq \x\t(y)＝ eq \f(1,5)(2＋17＋36＋103＋142)＝60，所以a＝60－6×11＝－6，则Y关于x的非线性经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝6x2－6.取x＝4，得 eq \(y,\s\up6(^))＝6×42－6＝90，所以此回归模型第4周的预报值为90，则此回归模型第4周的残差为 103－90＝13.
12．(多选)某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2014年到2022年共9年“年货节”期间的销售额(单位：亿元)并作出散点图，将销售额y看成以年份序号x(2014年作为第1年)的函数．运用excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如图，则下列说法正确的有( )
A．销售额y与年份序号x呈正相关关系
B．三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和
C．三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果
D．根据三次函数回归曲线可以预测2023年“年货节”期间的销售额约为2125.78亿元
【答案】AC 【解析】由散点图的变化趋势可知，销售额y与年份序号x呈正相关关系，故选项A正确；由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，故选项B错误；因为0.999>0.936，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果，故选项C正确；因为三次函数为y＝0.168x3＋28.141x2－29.027x＋6.889，则当x＝10时，y＝2 698.719亿元，故选项D错误．故选AC．
13．对两个具有非线性相关关系的变量x，y进行回归分析，设μ＝ln y，υ＝(x－4)2，利用二乘法得到μ关于υ的经验回归方程为 eq \(μ,\s\up6(^))＝－0.5υ＋2，则 eq \(y,\s\up6(^))的最大值是________．
【答案】e2 【解析】将μ＝ln y，υ＝(x－4)2代入经验回归方程 eq \(μ,\s\up6(^))＝－0.5υ＋2，得 eq \(y,\s\up6(^))＝e－0.5(x－4)2＋2.
当x＝4时， eq \(y,\s\up6(^))＝e－0.5(4－4)2＋2＝e2，故 eq \(y,\s\up6(^))最大值为e2.
14．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据，绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适．令z＝ln y，得到 eq \(z,\s\up6(^))＝1.3x＋ eq \(a,\s\up6(^))，经计算发现x，z满足下表，则k＝________，c＝________．
【答案】1.3 e-0.2 【解析】由表知， eq \x\t(x)＝ eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4， eq \x\t(z)＝ eq \f(1,5)×(1.5＋4.5＋5.5＋6.5＋7)＝5，
由经验回归直线 eq \(z,\s\up6(^))＝1.3x＋ eq \(a,\s\up6(^))恒过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\x\t(x)，\x\t(z)))，知5＝1.3×4＋ eq \(a,\s\up6(^))，解得 eq \(a,\s\up6(^))＝－0.2，∴ eq \(z,\s\up6(^))＝1.3x－0.2，即ln y＝1.3x－0.2，∴y＝e1.3x-0.2＝e-0.2·e1.3x，∴k＝1.3，c＝e-0.2.
15．(2023年葫芦岛模拟)全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨．数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (百万元)与收益y (百万元)的数据统计如下表所示：
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线y＝2bx＋a的周围，据此他对数据进行了一些初步处理．如下表所示：
其中zi＝lg2yi， eq \(z,\s\up6(－))＝ eq \f(1,7) eq \i\su(i＝1,7,z)i.
(1)请根据表中数据，建立y关于x的非线性回归方程．(系数精确到0.1)
(2)①乙认为样本点分布在直线y＝mx＋n的周围，并计算得经验回归方程为 eq \(y,\s\up6(^))＝8.25x＋3，以及该回归模型的决定系数R eq \\al(2,乙)＝0.893，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1)
参考数据：lg25≈2.3.
解：(1)将y＝2bx＋a两边取对数得lg2y＝bx＋a，
令z＝lg2y，则 eq \(z,\s\up6(^))＝ eq \(b,\s\up6(^))x＋ eq \(a,\s\up6(^)).
∵ eq \x\t(x)＝4，
∴ eq \(b,\s\up6(^))＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,x)izi－7\x\t(x)\x\t(z),\i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)－7\x\t(x)2)＝ eq \f(149－7×4×5,140－7×42)≈0.32，
eq \(a,\s\up6(^))＝ eq \x\t(z)－ eq \(b,\s\up6(^)) eq \x\t(x)＝5－0.32×4＝3.72≈3.7，
∴经验回归方程为 eq \(z,\s\up6(^))＝0.3x＋3.7，即 eq \(y,\s\up6(^))＝20.3x+3.7.
(2)①甲建立的回归模型的R eq \\al(2,甲)＝1－ eq \f(130,2 134)≈0.939>0.893＝R eq \\al(2,乙).
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设20.3x+3.7≥100，得0.3x＋3.7≥lg2100＝2＋2lg25，解得x≥9.9.
∴科技投入的费用至少要9.9百万元，下一年的收益才能达到1亿元．学生
甲
乙
丙
丁
R2
0.95
0.50
0.85
0.77
学生
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
色差x
21
23
25
27
29
31
色度y
15
16
17
21
22
23
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x/千万元
3
5
6
7
9
利润额y/百万元
2
3
3
4
5
年份
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
广告费支出x
1
2
4
6
11
13
19
销售量y
1.9
3.2
4.0
4.4
5.2
5.3
5.4
周数(x)
1
2
3
4
5
治愈人数(Y)
2
17
36
103
142
天数x
2
3
4
5
6
z
1.5
4.5
5.5
6.5
7
科技投入x
1
2
3
4
5
6
7
收益y
19
20
22
31
40
50
70
eq \(z,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,7,x) eq \\al(2,i)
eq \i\su(i＝1,7,x)iyi
eq \i\su(i＝1,7,x)izi
eq \i\su(i＝1,7, )(yi－ eq \(y,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,7, )(yi－yi)2
5
140
1 239
149
2 134
130