2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式a3,a+b7,1x−1,x9π,3x2−x中，分式有个．( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.若分式xx−1有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x≠0D. x<1
3.分式3x−yxy中的x和y都扩大为原来的2倍，分式的值( )
A. 不变B. 变为原来的2倍C. 变为原来的一半D. 变为原来的4倍
4.下列计算错误的是( )
A. x3y2x2y3=xyB. a−bb−a=−1C. 2a+ba+b=2D. 1c+2c=3c
5.若分式2x+1x2的值为正，则x的取值范围是( )
A. x>0B. x>−12C. x≠−12D. x>−12且x≠0
6.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 24xB. −1−xx−1C. x+1x2+1D. x−1x2−1
7.解关于x的方程x−6x−5+1=mx−5(其中m为常数)产生增根，则常数m的值等于( )
A. −2B. 2C. 1D. −1
8.若ab=32，则a+ba的值为( )
A. 53B. 35C. 25D. 52
9.2020年、2021年、2022年某地的森林面积(单位：km2)分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了( )
A. c−aaB. c−bbC. bc−acabD. ac−b2ab
10.若整数a使得关于x的不等式组x+1>3x+42x−4≤2(a−x)的解集为x<−2，且关于y的分式方程ay+1=2−yy+1+3的解为负数，则所有符合条件的整数a的和为( )
A. 0B. −3C. −5D. −8
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.2023年8月29日，华为mate60pr上市，搭载芯片为国产麒麟9000S，其厚度为0.000005mm，用科学记数法表示______．
12.请写出一个只含有字母x的分式，且当x=1时，此分式的值为0，这个分式可以是______．
13.分式方程mxx−2=4x−2+1无解，则m的值为______．
14.甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为______h.
15.若5x−7x2−4x−5=Ax+1+Bx−5，A，B为常数，则2A−B的值为______．
16.已知：xx2+1=14，则代数式x2+1x2的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.先化简(xx2+x−x−1)÷(x+2)，然后从−2，−1，0，1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题16分)
化简：
(1)2m3n⋅(3np)2÷mp2；
(2)(2x2y−3)3(−xy−2)−2；(结果中不出现负整数指数幂)
(3)2aa2−9+13−a；
(4)(aa−b−2ba−b)⋅aba−2b÷(1a+1b)．
19.(本小题8分)
解方程：
(1)1x−3−2=3x3−x；
(2)x+1x−1−4x2−1=1．
20.(本小题6分)
计算(−1)2022−38+(π−3.14)0−(−15)−1．
21.(本小题8分)
用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛.比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m.已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s.求“和谐号”的平均速度．
22.(本小题8分)
春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的43倍．
(1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
(2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%(不考虑其他因素)，那么每箱饮料的标价至少多少元？
23.(本小题10分)
某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作______天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
24.(本小题10分)
阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83=6+23=2+23=223．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，x−1x+1，x+1x−2，x2x+2，x2x−1这样的分式就是假分式；
再如：3x+1,1x−2,xx2−1,2xx2+1这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1；x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2，
再如：x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+1x−1=x+1+1x−1．
解决下列问题：
(1)分式2x是______分式(填“真”或“假”)；
(2)先将假分式2x−1x+1化为带分式______，再当2x−1x+1的值为整数，求x的整数值.(写出过程)
(3)将假分式−x4−6x2+8−x2+1化为带分式，当−1答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：是分式的有1x−1,3x2−x，
故选：B．
根据分式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵分式xx−1有意义，
∴x−1≠0，
∴实数x的取值范围是x≠1，
故选：A．
分式有意义的条件是分母不等于零，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：分式3x−yxy中的x和y都扩大为原来的2倍，变形为：6x−2y2x×2y=3x−y2xy，
所以变为原来的一半，
故选：C．
根据分式的基本性质进行解答即可．
考查了分式的基本性质，在分式的变形中，注意分式的分子、分母的变化．
4.【答案】C
【解析】解：A、分式的分子分母都除以(x2y2)，分式的值不变，故A正确；
B、分式的分子分母都除以(a−b)，故B正确；
C、分子分母除以不同的数，分式的值变化，故C错误；
D、同分母分式相加，分子相加分母不变，故D正确；
故选：C．
根据分式的性质，可判断A、B、C；根据分式的加法，可判断D．
本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不为零的数，分式的值不变，注意同分母分式相加分子相加，分母不变．
5.【答案】D
【解析】解：由分式的性质可得2x+1>0x2≠0，解得x>−12且x≠0，
故选：D．
根据分式的性质列出不等式组解此不等式组即可．
本题考查不等式的解法和分式的取值，注意分式的分母不能为0，比较简单．
6.【答案】C
【解析】解：A、24x=2x，不是最简分式，不符合题意；
B、−1−xx−1=−1，不是最简分式，不符合题意；
C、x+1x2+1是最简分式，符合题意；
D、x−1x2−1=x+1，不是最简分式，不符合题意．
故选：C．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，关键是记忆一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
7.【答案】D
【解析】解：去分母得：x−6+x−5=m，
由分式方程有增根，得到x−5=0，即x=5，
把x=5代入整式方程得：m=−1，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x−5=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8.【答案】A
【解析】解：∵ab=32，
∴b=2a3，
则a+ba=a+2a3a=53．
故答案为：A．
先将ab=32化成b=2a3，再代入式子求值即可．
本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：2021年的增长率是：b−aa，
2022年的增长率是：c−bb，
则2022年与2021年相比，森林面积的增长率提高了：c−bb−b−aa=ac−ab−b2+abab=ac−b2ab，
故选：D．
分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
此题主要考查了列代数式，分式加减运算，正确表示出增长率和掌握分式加减运算法则是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：x+1>3x+42①x−4≤2(a−x)②，
解不等式①得x<−2，
解不等式②得x≤2a+43，
∵不等式组的解集为x<−2，
∴2a+43≥−2，
解得a≥−5，
解关于y的分式方程ay+1=2−yy+1+3得y=a−52，
∵关于y的分式方程ay+1=2−yy+1+3的解为负数，
∴a−52<0，
∴a<5，
∵y+1≠0，
∴y≠−1，
即a−52≠−1，
解得a≠3，
∴−5≤a<5且a≠3，
∵a为整数，
∴a=−5或±4或−3或±2或±1或0，
∴−5+4−4−3+2−2+1−1+0=−8，
故所有符合条件的整数a的和为−8．
故选：D．
先解不等式组中的两个不等式，由不等式组的解集可得a≥−5，再解分式方程，由分式方程的解为负数可得：a<5，且a≠3，结合a为整数，从而可得答案．
本题主要考查分式方程的解及解分式方程，一元一次不等式组的解及解一元一次不等式组，通过解不等式组及分式方程求解a的取值范围是解题的关键．
11.【答案】5×10−6mm
【解析】解：0.000005mm=5×10−6mm，
故答案为：5×10−6mm．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
12.【答案】x−1x(答案不唯一)
【解析】解：根据题意得x−1x，
故答案为：x−1x(答案不唯一)．
根据只含有字母x的分式，且当x=1时，此分式的值为0，求解即可．
本题考查了分式的值，分式的定义，熟练掌握这些知识是解题的关键．
13.【答案】1或2．
【解析】解：整理分式方程mxx−2=4x−2+1，得(m−1)x=2．
当m−1=0时，即当m=1时，方程(m−1)x=2无解；
当x=2时，m−1=1，即当m=2时，原分式方程无意义．
∴当m=1或2时，原分式方程无解．
故答案为：1或2．
将原分式方程去分母整理化简，当化简结果x的系数为0时和当x=2时，求出对应m的值即可．
本题考查分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是本题的关键．
14.【答案】sa−2x
【解析】解：∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h，
∴逆水航行的速度为(a−2x)km/h，
∴返回时的时间为：sa−2xh.
故答案是：sa−2x．
用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间．
本题考查了列代数式的知识，熟练掌握顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：∵Ax+1+Bx−5=A(x−5)+B(x+1)(x+1)(x−5)=(A+B)x−5A+B(x+1)(x−5)，5x−7x2−4x−5=5x−7(x+1)(x−5)，
∴5x−7=(A+B)x−5A+B，
∴A+B=5−5A+B=−7，
解得A=2B=3，
∴2A−B=4−3=1．
故答案为：1．
将5x−7x2−4x−5转化为5x−7(x+1)(x−5)，将Ax+1+Bx−5转化为(A+B)x−5A+B(x+1)(x−5)，进而可得5x−7=(A+B)x−5A+B，则A+B=5−5A+B=−7，求出A，B的值，从而可得答案．
本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
16.【答案】14
【解析】解：∵xx2+1=14，
∴x2+1=4x，
∵x≠0，
∴x+1x=4，
∴(x+1x)2=42，
∴x2+2+1x2=16，
∴x2+1x2=14，
故答案为：14．
根据等式的性质把xx2+1=14化为x2+1=4x，根据完全平方公式计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
17.【答案】解：(xx2+x−x−1)÷(x+2)
=[xx(x+1)−(x+1)]⋅1x+2
=[1x+1−(x+1)]⋅1x+2
=1−(x+1)2x+1⋅1x+2
=1−x2−2x−1x+1⋅1x+2
=−x(x+2)x+1⋅1x+2
=−xx+1，
当x=1时，原式=−11+1=−12．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从−2，−1，0，1中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
18.【答案】解：(1)2m3n⋅(3np)2÷mp2=2m⋅9n2⋅p23n⋅p2⋅m=6n；
(2)(2x2y−3)3(−xy−2)−2=8x6y−9⋅x−2y4=8x4y−5=8x4y5；
(3)2aa2−9+13−a=2a(a+3)(a−3)−a+3(a+3)(a−3)=a−3(a+3)(a−3)=1a+3；
(4)(aa−b−2ba−b)⋅aba−2b÷(1a+1b)=a−2ba−b⋅aba−2b÷b+aab=aba−b⋅aba+b=a2b2a2−b2．
【解析】(1)先将分式进行相乘，再进行约分，化简出结果；
(2)先对积的乘方进行计算，再进行幂的乘方的计算，即可计算出结果；
(3)先对分式进行通分，再进行化简即可；
(4)根据分式的约分进行计算即可．
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算顺序和计算法则进行计算．
19.【答案】解：(1)方程两边同时乘(x−3)，得：1−2(x−3)=−3x，
去括号，得：1−2x+6=−3x，
移项合并同类项，得x=−7，
检验：当x=−7时，x−3=−10≠0，
∴x=−7是原方程的解；
(2)去分母得：(x+1)2−4=x2−1，
整理得：x2+2x+1−4=x2−1，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，
则分式方程无解．
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.【答案】解：(−1)2022−38+(π−3.14)0−(−15)−1
=1−2+1−(−5)
=1−2+1+5
=5．
【解析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂和开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
21.【答案】解：(1)设“和谐号”的平均速度为x m/s，
由题意得，502.5=50−3x
解得：x=2.35，
经检验x=2.35是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度2.35m/s．
【解析】设“和谐号”的平均速度为x，根据，“畅想号”运动50m与“和谐号”运动47m所用时间相等，可得方程，解出即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，建立方程，难度一般．
22.【答案】解：(1)设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，
根据题意，得6000x×43=8800x+20
解得：x=200．
经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元．
(2)第一批饮料共6000÷200=30(箱)，第二批饮料共8800÷(200+20)=40(箱)．
设每箱饮料的标价为y元，根据题意，
得(30+40−10)y+0.8×10y≥(1+36%)×(6000+8800)
解得：y≥296
答：每箱饮料的标价至少为296元．
【解析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
(1)该第一批箱装饮料每箱的进价是x元，则第二批购进(x+20)元，根据第二批购进数量是第一批箱数的43倍，列方程求解；
(2)设每箱饮料的标价为y元，根据两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%，列出不等式，求解即可．
23.【答案】(1)设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，
202x+20x=1，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解．
∴x+30=60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
(2)(20−a3)
(3)设甲单独做了y天，
y+(20−y3)×(1+2.5)≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
【解析】解：(1)见答案
(2)(1−a60)÷(160+130)=(20−a3)天；
故答案为：(20−a3)；
(3)见答案
【分析】
(1)关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1；
(2)算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
(3)关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用(2)得到的代数式求解．
本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
24.【答案】真 2−2x+3
【解析】解：(1)由题意可得，分式2x是真分式；
故答案为：真；
(2)∵2x−1x+1=2(x+1)−3x+1=2−2x+3，
∵2x−1x+1的值为整数，且x为整数，
∴x+1的值为1或−1或3或−3，
∴x的值为0或−2或2或−4；
故答案为：2−2x+3；
(3)∵−x4−6x2+8−x2+1=x2(−x2+1)+7(−x2+1)+1−x2+1=x2+7+1−x2+1，
∴当x=0时，这两个式子的和有最小值．最小值为8，
则−x4−6x2+8−x2+1的最小值为8．
(1)根据题中阅读材料中的真假分式定义判断即可；
(2)根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式，再根据结果为整数求出整数x的值即可；
(3)把假分式化为带分式，确定出最小值即可．
此题考查了分式的加减法，分式的定义，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．