2023-2024学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市江岸区七一华源中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若am=5，an=3，则am+n的值为( )
A. 8B. 11C. 15D. 45
3.下列运算正确的是( )
A. 2a2b⋅3ab2=5a3b2B. (−2m3n)2=4m5n2
C. 3ab2c÷ab=3bcD. 2m3n+m3n=2m6n2
4.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1B. −7ab2c3=−abc⋅7bc2
C. m(m+3)=m2+3mD. 2x2−5x=x(2x−5)
5.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( )
A. (a−1)(1−a)B. (−a+2)(−a−2)
C. (a+2)(2+a)D. (a−b)(−a+b)
6.以下说法错误的是( )
A. 等边三角形有3条对称轴
B. 直角三角形的三边中斜边一定最长
C. 点(−1,3)关于x轴的对称点是(1,3)
D. 等腰三角形底边上的高就是顶角的角平分线
7.如图，将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中b>a)拼接在一起，则四边形ABCD的面积为( )
A. a2+2ab
B. a2+b2
C. (b+a)2
D. (b−a)2+b2
8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=2∠A，CD⊥AB于D，BD=1，则AD=( )
A. 2
B. 3
C. 2.5
D. 1.5
9.在正方形网格中每个小正方形的边长都是1，已知线段AB，以AB为腰画等腰△ABC，则顶点C共有( )
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
10.设x为实数，已知实数x满足x2=3x+1.则x3−x+3x2−32的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.(−12)0= ______．
12.计算：0.2510×(−4)10= ______．
13.若x2−mx+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为______．
14.计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=______．
15.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是______．
16.如图，CD为等腰△ABC的高，其中∠CAB=58°，AC=AB，E，F分别为线段CD，AC上的动点，且AF=CE，当BF+AE取最小值时，∠CFB的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)2a3⋅a5+(−a2)4−3a8．
(2)(x−3)(x+4)−x(x+1)．
18.(本小题8分)
因式分解：
(1)a2m−4m；
(2)3x2−6xy+3y2．
19.(本小题8分)
已知a−b=5，ab=6．
(1)求a2+b2的值；
(2)求a2b−ab2的值．
20.(本小题8分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．
21.(本小题8分)
如图，网格由若干个边长为单位1的小正方形组成.网格线的交点叫做格点，O为坐标系原点.A(1,−2)、B(4,2)、C(4,−2)、D(2,2)、E(2,1)都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹.(画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示)
(1)△ABC的面积为______；
(2)C点关于直线OD的对称点坐标为______；
(3)过D作DT⊥AB于T，画出DT；
(4)已知BA=5，在三角形ABC内画一点P，使得P到AB，BC的距离相等，且PA=PE．
22.(本小题10分)
先阅读下列材料，再解答后面的问题．
一般地，若an=b(a>0且a≠1，b>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为lgab(即lgab=n)．
例如：34=81，记为lg381(即lg381=4)，则4叫做以3为底81的对数.92=81可以记为lg981=2．
(1)①计算以下各对数的值：lg24= ______，lg216= ______，lg264= ______；
②lg24、lg216、lg264之间的数量关系是______；
(2)猜想一般性的结论：lgaM+lgaN= ______(结果用含a，M，N的式子表示)(a>0且a≠1，M>0，N>0)，并写出证明过程．
23.(本小题10分)
如图，点D是等边△ABC的边AC上一动点，且始终满足△BDE中∠DEB=60°，∠BDE=90°．

(1)如图1，当C、D重合时，求证：EA=EC；
(2)如图2，当D运动时，∠DBC=α(0°<α<30°).若O是BE上一点，且OE=OD，连OA，求证：OD=OA；
(3)在D的运动过程中探究∠EAD的大小，请直接写出你的答案．
24.(本小题12分)
在x轴正半轴上有一定点A，A(a,0)．

(1)若多项式x2+4x+a恰好是某个整式的平方，那么点A的坐标为______；
(2)如图1，点P为第三象限角平分线上一动点，连接AP，将射线AP绕点A逆时针旋转30°交y轴于点Q，连接PQ，在点P运动的过程中，当∠APQ=45°时，求∠OQA的度数；
(3)如图2，已知点B、点C分别为y轴正半轴，x轴正半轴上的点，C在A右侧，在线段OB上取点E(0,m)，AC=n，且∠BCE=45°，过点A做AD⊥x轴，且AD=OC，求DF的长.(结果用m，n表示)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判定．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】C
【解析】解：∵am=5，an=3，
∴am+n=am×an=5×3=15；
故选：C．
直接利用同底数幂的乘方运算法则将原式变形求出即可．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.2a2b⋅3ab2=6a3b3，故此选项不合题意；
B.(−2m3n)2=4m6n2，故此选项不合题意；
C.3ab2c÷ab=3bc，故此选项符合题意；
D.2m3n+m3n=3m3n，故此选项不合题意．
故选：C．
直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算、单项式乘单项式、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．
本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
【解答】
解：A.等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故A不符合题意；
B.−7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；
C.m(m+3)=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；
D.2x2−5x=x(2x−5)是因式分解，故D符合题意；
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：(a−1)(1−a)=−(a−1)2，它可以用完全平方公式计算，则A不符合题意；
(−a+2)(−a−2)可以用平方差公式计算，则B符合题意；
(a+2)(2+a))=(a+2)2，它可以用完全平方公式计算，则C不符合题意；
(a−b)(−a+b)=−(a−b)2，它可以用完全平方公式计算，则D不符合题意；
故选：B．
根据平方差公式及完全平方公式进行判断即可．
本题考查平方差公式及完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6.【答案】C
【解析】解：A、等边三角形有3条对称轴，说法正确，本选项不符合题意；
B、直角三角形的三边中斜边一定最长，说法正确，本选项不符合题意；
C、点(−1,3)关于x轴的对称点是(−1,−3)，原说法错误，本选项符合题意；
D、等腰三角形底边上的高就是顶角的角平分线，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
根据等边三角形、直角三角形和等腰三角形的性质，轴对称的性质解答即可．
本题考查了等边三角形、直角三角形和等腰三角形的性质，轴对称的性质．
7.【答案】D
【解析】解：∵DE=b−a，AE=b，
∴S四边形ABCD=4S△ADE+a2=4×12×(b−a)⋅b+a2=b2+(b−a)2．
故选：D．
先求出AE和DE的长，再根据面积和求解即可．
本题考查的是完全平方公式的几何背景，正确识图是关键，掌握完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2．
8.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=2∠A，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠ADC=90°．
在Rt△DBC中，∵∠B=60°，
∴∠BCD=30°，
又BD=1，
∴BC=2BD=2，
∴CD= BC2−BD2= 3．
在Rt△DAC中，
∵∠A=30°，CD= 3，
∴AC=2 3，
∴AD= AC2−CD2=3．
故选：B．
利用直角三角形的两锐角互余，求出∠A、∠B的度数，利用直角三角形中含30°角的边间关系，求出BC、AC的长，利用勾股定理求出AD．
本题考查了直角三角形中含30°角的边间关系，勾股定理等知识．含30°角的直角三角形的边间关系：在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．解决本题亦可通过相似或者锐角三角函数．
9.【答案】A
【解析】解：如图．
当AB为腰，A为顶角顶点，则C可能为C1、C2、C3；
当AB为腰，B为顶角顶点，则C可能为C4、C5．
综上：C共有5点．
故选：A．
根据等腰三角形的定义，根据当AB为腰，A为顶角顶点或当AB为腰，B为顶角顶点这两种情况进行分类讨论．
本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握分类讨论的思想是解决本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵x2=3x+1，
∴x2−1=3x，x=3+1x，
∴x−1x=3，
∴(x−1x)2=x2+1x2−2=9，
∴x2+1x2=11，
∴x3−x+3x2−32
=x(x2−1)+3x2−32
=3x2+3x2−32
=3(x2+1x2)−32
=3×11−32
=1，
故选：B．
根据已知式子得出x2−1=3x，x−1x=3，进而利用完全平方公式求出x2+1x2的值，即可求解．
本题考查分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
11.【答案】1
【解析】解：(−12)0=1．
故答案为：1．
根据零指数幂的定义求出答案即可．
本题考查了零指数幂，能熟记a0=1(a≠0)是解此题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：0.2510×(−4)10
=[0.25×(−4)]10
=(−1)10
=1，
故答案为：1．
根据积的乘方法则计算即可．
本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键．
13.【答案】±10
【解析】解：∵x2−mx+25可以用完全平方式来分解因式，
∴m=±10．
故答案为：±10．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
14.【答案】216
【解析】解：原式=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24−1)(24+1)(28+1)+1
=(28−1)(28+1)+1
=216−1+1
=216，
故答案为：216．
根据平方差公式变形计算即可．
本题主要考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
15.【答案】60
【解析】解：如图：
设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是2，
所以其它等边三角形的边长分别x+2，x+4，x+6，
由图形得，x+6=2x，解得x=6，
所以这个六边形的周长=2x+2(x+2)+2(x+4)+x+6
=7x+18
=7×6+18
=60．
故答案为：60．
设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是2，根据等边三角形的三边都相等可得到其它等边三角形的边长分别x+2，x+4，x+6，并且x+6=2x，解得x=6，又这个六边形的周长=2x+2(x+2)+2(x+4)+x+6=7x+18，把x=6代入计算即可．
本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角都等于60°．
16.【答案】103°
【解析】解：如图，作AH⊥AB，使AH=AB，连接BH，FH，

∵△ABC是等腰三角形，CD⊥AB，AC=AB，∠CAB=58°，
∴∠ACD=90°−58°=32°=∠CAH，AC=AH，
∵AF=CE，
∴△AEC≌△HFA(SAS)，
∴AE=FH，BF+AE=BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图，BF+AE的值最小，
此时∠FBA=45°，∠CAB=58°，
∴∠CFB=103°，
故答案为：103°．
作AH⊥AB，使AH=AB，证明△AEC≌△HFA(SAS)，得到AE=FH，BF+AE=BF+FH，当F为AC与BH的交点时，BF+AE取最小值，据此求解即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2a3⋅a5+(−a2)4−3a8
=2a8+a8−3a8
=0；
(2)(x−3)(x+4)−x(x+1)
=x2+4x−3x−12−(x2+x)
=x2+4x−3x−12−x2−x
=−12．
【解析】(1)先计算同底数幂乘法、幂的乘方，再合并同类项；
(2)先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项．
本题考查整式的混合运算，正确记忆运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)原式=m(a2−4)
=m(a+2)(a−2)；
(2)原式=3(x2−2xy+y2)
=3(x−y)2．
【解析】(1)提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
(2)提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
本题考查利用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵a−b=5，ab=6．
∴a2+b2=(a−b)2+2ab=52−2×6=13；
(2)∵a−b=5，ab=6．
∴a2b−ab2=ab(a−b)=6×5=30．
【解析】(1)根据完全平方公式得出a2+b2=(a−b)2+2ab，再代入求出即可；
(2)提公因式得出a2b−ab2=ab(a−b)，再代入求出即可．
本题考查了完全平方公式以及提公因式法分解因式，求代数式的值，完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
20.【答案】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF．
∵AD是△ABC的角平分线
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【解析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
21.【答案】6 (−2,4)
【解析】解：(1)S△ABC=12AC⋅BC=12×3×4=6，
故答案为：6；
(2)由图可知，直线OD为第一象限的角平分线，
因此C(4,−2)关于直线OD的对称点坐标为(−2,4)，
故答案为：(−2,4)；
(3)如图，DT即为所求；
(4)如图，点P即为所求．
(1)△ABC为直角三角形，利用三角形面积公式求解；
(2)直线OD为第一象限的角平分线，坐标为(a,b)的点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b,a)，由此可直接得出答案；
(3)利用格点构造△ABC的全等三角形，两条斜边的交点即为点T；
(4)根据等腰三角形三线合一的性质作出∠ABC的角平分线，根据角平分线的性质可知角平分线上的点到AB，BC的距离相等，再利用格点在该角平分线上找到与点A和点E距离相等的点即可．
本题考查无刻度直尺作图，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形变化——轴对称，等腰三角形的性质：
22.【答案】2 4 6 lg24+lg216=lg264 lga(MN)
【解析】解：(1)①∵22=4，24=16，26=64，
∴lg24=2，lg216=4，lg264=6；
故答案为：2，4，6；
②∵2+4=6，
∴lg24+lg216=lg264；
故答案为：lg24+lg216=lg264；
(2)猜想lgaM+lgaN=lga(MN)．
证明：设lgaM=b，lgaN=c，则ab=M，ac=N，
故可得MN=ab⋅ac=ab+c，b+c=lga(MN)，
即lgaM+lgaN=lga(MN)．
故答案为：lga(MN)．
(1)①根据材料叙述，结合22=4，24=16，26=64即可得出答案；
②根据①的答案可得出lg24、lg216、lg264之间满足的关系式；
(2)设lgaM=b，lgaN=c，则ab=M，ac=N，分别表示出MN及b+c的值，即可得出猜想．
本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=BA，∠ACB=60°，
∵∠BDE=90°，
∴∠ECM=90°−60°=30°，
∵∠DEB=60°，
∴∠CME=90°，
即BE⊥AC，
∵BC=BA，
∴BE垂直平分AC，
∴EC=EA；
(2)证明：在等边△ABC中，∠CAB=60°，
∵∠DBC=α(0°<α<30°)，
∴E不在直线AC上，
在△BAD和△BED中，BD边重合，∠BED=∠BAD=60°，
∴B、D、E、A四点共圆，BD为共圆的弦，
∵△OED为等边三角形，∠ODE=60°，
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，∠BDO=∠BDE−∠ODE=90°−60°=30°，
∴∠OBD=∠ODB，
即OB=OD=OE，
可知O为圆的圆心，如图2，

∴OD=OA；
(3)解：∠EAD=∠EBD=30°，理由如下：
由(2)可知，B、D、E、A四点共圆，且圆心为O，
∴∠EAD=∠EBD=30°．
【解析】(1)证明BE是AC的垂直平分线即可求证；
(2)在△BAD和△BED中，BD边重合，推导出∠BED=∠BAD=60°，从而得到B、D、E、A四点共圆，BD为共圆的弦，进一步推导出O为圆的圆心，进而得证；
(3)由B、D、E、A四点共圆，且圆心为O，直接推导出答案即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键．
24.【答案】(4,0)
【解析】解：(1)∵多项式x2+4x+a恰好是某个整式的平方，
∴x2+4x+a=(x+2)2=x2+4x+4，
∴a=4，
∴A(4,0)，
故答案为：(4,0)；
(2)如图1，连接OP，过P作PG⊥PQ交x轴于G，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，则∠PMG=∠PNQ=90°=∠GPQ=∠MPN，
∴∠MPG+∠GPN=90°=∠GPN+∠QPN，
∴∠MPG=∠QPN，
∵OP平分∠MOQ，PM⊥x，PN⊥y，
∴PM=PN，∠POM=∠PON=45°=∠OPM=∠OPN=∠APQ，
∴△MPG≌△NPQ(ASA)，
∴PG=PQ，∠MPG=∠QPN，
∴∠MPG=∠QPN=∠APO，∠GPO=∠APN，
∴∠APG=∠APQ，
∵AP=AP，
∴△APG≌△APQ(SAS)，
而∠PAQ=30°，
∴∠PAQ=∠PAG=30°，
∴∠OAQ=60°，
∴∠OQA=90°−60°=30°；
(3)如图2，过C作CG⊥CD交y轴于G，连接CF，而∠BCE=45°，
∴∠GCF=∠DCF=45°，∠DCA+∠OCG=90°，
∵AD⊥x轴，
∴∠DCA+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠OCG，
∵AD=OC，∠DAC=∠COG=90°，
∴△COG≌△DAC(ASA)，
∴OG=AC=n，∠DFC=∠GFC，CD=CG，而E(0,m)，
∴EG=m+n，∠DFE=∠GFE，
∵AD⊥x轴，则AD/​/OB，
∴∠DFE=∠GEF，
∴GE=GF=m+n，
∵CD=CG，∠DCF=∠GCF=45°，CF=CF，
∴△DCF≌△GCF(SAS)，
∴DF=GF=m+n．
(1)由x2+4x+a=(x+2)2=x2+4x+4，从而可得答案；
(2)如图，连接OP，过P作PG⊥PQ交x轴于G，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，证明△MPG≌△NPQ，可得PG=PQ，∠MPG=∠QPN，再证明△APG≌△APQ，而∠PAQ=30°，可得∠PAQ=∠PAG=30°，从而可得答案；
(3)如图，过C作CG⊥CD交y轴于G，连接CF，而∠BCE=45°，证明△COG≌△DAC，可得EG=m+n，∠DFE=∠GFE，证明GE=GF=m+n，证明△DCF≌△GCF，从而可得答案．
本题考查的坐标与图形，利用完全平方公式分解因式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键．