2023-2024学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市开福区长雅中学九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
3.已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是( )
A. 点A在圆上B. 点A在圆外C. 点A在圆内D. 不确定
4.如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD=40°，则∠B=( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
5.已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2−4x−12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是( )
A. 80°B. 100°C. 140°D. 160°
7.如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.若∠ADE=36°，则∠C的度数是( )
A. 18°
B. 28°
C. 36°
D. 45°
8.如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A顺时针旋转度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )
A. 1.6
B. 1.8
C. 2
D. 2.6
9.在以下所给的命题中，正确的个数为( )
①直径是弦；②平分弦的直径一定垂直这条弦；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④三角形的外心是它的三条角平分线的交点；⑤长度相等的弧是等弧．
A. 1B. 2C. 3D. 4
10.在⊙O中，圆心角AOB=56°，弦AB所对的圆周角等于( )
A. 28°B. 112°C. 28°或152°D. 124°或56°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系中，点A(a,2)与点B(6,b)关于原点对称，则ab=______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是______．
13.用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A>∠B+∠C，则∠A>90°”时，应先假设______．
14.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．
15.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(0,1)，AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则点C的坐标是______．
16.如图所示，在△ABC中，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，连接DE，若∠ABC=45°，则∠EDB= ______°.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：−|−1|+38−(13)−1+1 2−1．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−1x)+x2−1x2+2x+1，其中x=−2．
19.(本小题6分)
已知：如图，直线l，和直线外一点P．
求作：过点P作直线PC，使得PC/​/l，
作法：①在直线l上取点O，以点O为圆心，OP长为半径画圆，交直线l于A，B两点；
②连接AP，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；
③作直线PC．
直线PC即为所求作．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明：
证明：连接BP．
∵BC=AP，
∴BC= ______．
∴∠ABP=∠BPC(______)(填推理依据)．
∴直线PC//直线l．
20.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：
①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1：
②画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB2C2：
③△A1B1C1的面积为______．
21.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC= 5，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E，F．
(1)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(2)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
22.(本小题9分)
中秋节吃月饼是中华民族的传统习俗．市场上豆沙月饼的进价比五仁月饼的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的五仁月饼和用6000元购进的豆沙月饼盒数相同．在销售中，该商家发现五仁月饼每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
(1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价；
(2)设五仁月饼每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售五仁月饼的利润(单位：元)，求y关于x的函数解析式并求最大利润．
23.(本小题9分)
如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，∠EAC=60°，求AD的长．
24.(本小题10分)
如图1，在正方形ABCD中，AB=1，已知E、F分别是边BC、CD上的动点，且满足∠EAF=45°．
(1)如图1，若AE=AF，求∠FEC的值；
(2)如图2，无论E、F如何运动，求证：△CEF的周长为定值；
(3)求EF的最小值．
25.(本小题10分)
如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(1,0)，B(−5,0)两点，且与y轴交于点C．
(1)求b，c的值．
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点E为线段BC上一个动点(不与B，C重合)，经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.原图是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．
根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．
【解答】
解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为的14，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵⊙O的半径为3，OA=5，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点A在圆外，
故选：B．
由⊙O的半径为3，OA=5知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔dr，
∴直线l与圆相离．
故选C．
首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线l的距离为d，若dr，则直线与圆相离，从而得出答案．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠AOC=160°，
∴∠ADC=12∠AOC=80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−80°=100°，
故选：B．
先根据圆周角定理求得∠D的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ABC的度数即可．
此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接OA，DE，
∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠ADE=36°，
∴∠AOE=2∠ADE=72°，
∴∠C=90°−∠AOE=90°−72°=18°，
故选：A．
连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可．
本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式，切线的性质和勾股定理等知识点，能求出∠OAC和∠AOC的度数是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由旋转的性质可知，AD=AB，
∵∠B=60°，
∴△ADB为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴CD=CB−BD=1.6，
故选A．
根据旋转变换的性质得到AD=AB，根据等边三角形的性质解答即可．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质，掌握旋转前、后的图形全等是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：①直径是弦；符合题意；
②平分弦(不是直径)的直径一定垂直这条弦；不符合题意；
③半圆是弧，但弧不一定是半圆；符合题意；
④三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点；不符合题意；
⑤在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，不符合题意．
故选：B．
根据弦的定义、弧的定义、三角形外心的性质以及等弧的定义即可解决．
本题考查命题与定理，解题的关键是理解弧，半圆，垂径定理，等弧的定义，三角形的外接圆与外心属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：当弦AB所对的圆周角所对的弧为劣弧时，此时圆周角=12∠AOB=28°；
当弦AB所对的圆周角所对的弧为优弧时，此时圆周角=180°−28°=152°．
所以弦AB所对的圆周角为28°或152°．
故选：C．
分类讨论：当弦AB所对的圆周角所对的弧为劣弧时，根据圆周角定理求解；当弦AB所对的圆周角所对的弧为优弧时，根据圆内接四边形的性质求解．
本题考查了圆周角：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11.【答案】12
【解析】解：∵点A(a,2)与点B(6,b)关于原点对称，
∴a=−6，b=−2，
∴ab=12．
故答案为12．
根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标均互为相反数，即可得到a，b的值，进而得出ab的值．
本题主要考查中心对称中的坐标变化．
12.【答案】5
【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴BA= AC2+BC2=10，
△ABC的外接圆的圆心在其斜边AB的中点处，
∴其外接圆的半径为5．
故答案为：5．
首先根据勾股定理，得其斜边是5，再根据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，得其半径是2.5．
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的斜边就是外接圆的直径．
13.【答案】∠A≤60°
【解析】解：∠A与60°的大小关系有∠A>60°，∠A=60°，∠A60°的反面是∠A≤60°.因此用反证法证明“∠A>60°”时，
应先假设∠A≤60°．
故答案为：∠A≤60°．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A>60°的反面有多种情况，应一一否定．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14.【答案】26
【解析】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC=12AB=10(厘米)，
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2=102+(x−2)2，
∴x=26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
15.【答案】(3,2)
【解析】解：∵A(2,0)，B(0,1)
∴OA=2，OB=1，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则易知△ACD≌△BAO(AAS)
∴AD=OB=1，CD=OA=2
∴C(3,2)，
故答案为：(3,2)．
过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO(AAS)，已知A(2,0)，B(0,1)，从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
16.【答案】45
【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△BCE和△BDC都是直角三角形，
如图，取BC的中点M，连接EM，DM，
∴BM=CM=EM，BM=CM=DM，
∴BM=CM=EM=DM，
∴点B、C、D、E在以点M为圆心，BM为半径的圆上，
∵∠ABC=45°，
∴∠BCE=45°，
∴∠EDB=∠BCE=45°．
故答案为：45°．
取BC的中点M，连接EM，DM，得出BM=CM=EM=DM，可知点B、C、D、E在以点M为圆心，BM为半径的圆上，根据∠ABC=45°，得出∠BCE=45°，再根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠EDB=∠BCE=45．
本题主要考查三角形内角和定理及圆周角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
17.【答案】解：−|−1|+38−(13)−1+1 2−1
=−1+2−3+ 2+1
=−1+ 2．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了负整数指数幂，绝对值，立方根，实数的运算，二次根式的性质与化简，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：(1−1x)+x2−1x2+2x+1
=x−1x+(x+1)(x−1)(x+1)2
=x−1x+x−1x+1
=(x−1)(x+1)+x(x−1)x+1
=x2−1+x2−xx+1
=2x2−x−1x+1，
当x=−2时，
原式=2×(−2)2+2−1−2+1=−9．
【解析】根据分式计算过程进行化简，再代入值计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，直线PC即为所求作．
(2)PA，同弧或等弧所对的圆周角相等．
【解析】解：(1)见答案；
(2)证明：连接PB．
∵BC=AP，
∴BC=AP，
∴∠ABP=∠BPC(同弧或等弧所对的圆周角相等)，
∴直线PC//直线l．
故答案为：PA，同弧或等弧所对的圆周角相等．
(1)根据要求画出图形即可．
(2)连接PB，只要证明∠ABP=∠CPB即可．
本题考查作图−复杂作图，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】72
【解析】解：①如图，△A1B1C1即为所求．
②如图，△AB2C2即为所求．
③△A1B1C1的面积为3×3−12×2×1−12×1×3−12×3×2=72．
故答案为：72．
①根据中心对称的性质作图即可．
②根据旋转的性质作图即可．
③利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE(ASA)．
∴AF=CE．
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
(2)解：AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF可以是菱形．
理由：如图，连接BF，DE，

∵由(1)知△DOF≌△BOE，
∴OF=OE，
∴当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形．
在Rt△ABC中，
∵AB=1，BC= 5，
∴AC= BC2−AB2= 5−1=2，
∴OA=OC=1，
∴OA=AB，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=90°−45°=45°，
∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF是菱形．
【解析】(1)根据ASA定理得出△AOF≌△COE(ASA)，由此可得出结论；
(2)连接BF，DE，EF与BD互相平分可知，当EF⊥BD时四边形BEDF是菱形，再由勾股定理求出AC的长，根据等腰直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设五仁月饼每盒进价a元，则豆沙月饼每盒进价(a−10)元，
则8000a=6000a−10，
解得：a=40，经检验a=40是方程的解，
∴五仁月饼每盒进价40元，豆沙月饼每盒进价30元；
(2)由题意得，当x=50时，每天可售出100盒，
当五仁月饼每盒售价x元(50≤x≤65)时，每天可售[100−2(x−50)]盒，
∴y=x[100−2(x−50)]−40×[100−2(x−50)]=−2x2+280x−8000，
配方，得：y=−2(x−70)2+1800，
∵x