2023-2024学年福建省厦门市双十中八年级（上）段考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门市双十中八年级（上）段考数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式x+1x−1有意义，则x应满足的条件是( )
A. x≠−1B. x≠1C. x>−1D. x>1
2.如果把5xyx+y中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值( )
A. 不变B. 扩大为原来的10倍C. 缩小为原来的15D. 扩大为原来的5倍
3.下列运算正确的是( )
A. (a+b)(a−b)=a2−b2B. (ab2)2=ab4
C. x6÷x2=x3D. (a+b)2=a2+b2
4.下列因式分解正确的是( )
A. ax+y=a(x+y)B. x2−4x+4=(x+2)2
C. 2x2−x=x(2x−1)D. x2−16=(x−4)2
5.如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，AC/​/DF，AC=DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是( )
A. AE=DB
B. ∠C=∠F
C. BC=EF
D. ∠ABC=∠DEF
6.如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕1，若∠B=50°，∠C=70°，则∠1=( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
7.若x2+px+q=(x+3)(x−5)，则p、q的值分别为( )
A. −15，−2B. −2，−15C. 15，−2D. 2，−15
8.在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a−b)2+4ab的图形是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，共32分。
9.计算(π−3)0=______．
10.计算：a2⋅a3= ______；(2y−3x)3= ______．
11.因式分解：x2−3x= ______；4a2−b2= ______；a2−2a+1= ______．
12.六边形的内角和为______．
13.若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是 ．
14.已知x−y=12，xy=43，则x2y−xy2的值是______．
15.若xy=12，则x−yx+y的值为______．
16.如图，AB=AC=a，BD=b，BC=c，∠BAC=110°，AD是△BAC内的一条射线，且∠BAD=25°，P为AD上一动点，则|PB−PC|的最大值是______.(结果表示根据需要可以含a，b，c)
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题16分)
(1)计算：2m3⋅3m−(3m2)2+m6÷m2；
(2)计算：(2x+5)(2x−5)−x(4x−3)；
(3)因式分解：4xy2−4x2y−y3；
(4)计算：3x−2yx−y+xy−x．
18.(本小题5分)
先化简，再求值：2a2−8aa+2⋅a2+4a+4a−4，其中a=2．
19.(本小题6分)
已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，判断△ABC的形状并证明．
20.(本小题7分)
如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口.已知AE=BE，∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD=150米，BC=350米，求两个排污口之间的水平距离DC．
21.(本小题8分)
如图，已知点A、C分别是∠B两边上的定点．
(1)求作：线段CD，使得DC/​/AB，且CD=AB，点D在点C的右侧；(要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．)
(2)M是BC的中点，求证：点A，M，D三点在同一直线上．
22.(本小题10分)
借助乘法公式解决以下问题．

(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy= ______；
(2)若(4−x)(5−x)=8，则(4−x)2+(5−x)2= ______；
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和S1+S2=18，求图中阴影部分面积．
23.(本小题10分)
在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．
(1)求证AC=BD．
(2)连接OM，判断OM是否平分∠BOC，并证明你的结论．
24.(本小题12分)
如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
(1)依题意补全图形；
(2)若∠ACN=α，求∠BDC的大小(用含α的式子表示)；
(3)用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
25.(本小题12分)
对于一个各个数位不为0的三位数，从它的百位、十位、个位上任取两个数字可生成一个两位数，那么这个三位数可以生成6个两位数，称这6个两位数为原来三位数的“次生数”.例如：三位数123的6个“次生数”为12，13，21，23，31，32.将一个两位数m的十位数字乘以8，再加上m的个位数字，得到的结果称为m的“八一数”，记作F(m).例如：m=23，因为2×8+3=19，所以23的“八一数”是19，记作F(23)=19，将一个三位数n的所有“次生数”的“八一数”的和记为H(n)，例如：H(123)=F(12)+F(13)+F(21)+F(23)+F(31)+F(32)=10+11+17+19+25+26=108．
(1)计算H(857)；
(2)证明：任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被18整除；
(3)已知一个三位数n=100a+20+3c，其中1≤a≤5，1≤c≤5且a，c是整数，H(n)是完全平方数，求出所有满足条件的三位数n．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意可得：x−1≠0，
解得：x≠1，
故选：B．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不为零)是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：由题意得：5⋅5x⋅5y5x+5y=125xy5x+5y=25xyx+y，
∴如果把5xyx+y中的x与y都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值扩大为原来的5倍，
故选：D．
根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A、(a+b)(a−b)=a2−b2，正确，符合题意；
B、(ab2)2=a2b4，故原式错误，不合题意；
C、x6÷x2=x4，故原式错误，不合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故原式错误，不合题意；
故选：A．
直接利用乘法公式结合整式的除法运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关乘法公式是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：ax+y不能因式分解，故A不符合题意；
x2−4x+4=(x−2)2，故B不符合题意；
2x2−x=x(2x−1)，故C符合题意；
x2−16=(x−4)(x+4)，故D不符合题意；
故选：C．
ax+y不能因式分解，x2−4x+4=(x−2)2，2x2−x=x(2x−1)，x2−16=(x−4)(x+4)，再结合题意求解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提取公因司法，公式法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AC/​/DF，
∴∠A=∠D，
A、∵AE=DB，∴AE+EB=DB+EB，∴△ABC≌△DEF能判断△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠C=∠F，利用AAS可以判断△ABC≌△DEF，不选项符合题意；
C、BC=EF，不能判断△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠ABC=∠D，能判断△ABC≌△DEF，不符合题意．
故选：C．
先证明∠A=∠D，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS、HL判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：设折痕l与BC边交于点D，如图所示：
∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(50°+70°)=60°，
∵∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∴∠1=180°−(∠C+∠CAD)=180°−(70°+30°)=80°．
故选：D．
设折痕l与BC边交于点D，先根据三角形的内角和定理求出∠BAC=60°，再根据折叠的性质得∠BAD=∠CAD=30°，然后在△ACD中，由三角形的内角和定理可求出∠1的度数．
此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵(x+3)(x−5)=x2−2x−15，且(x+3)(x−5)=x2+px+q，
∴p=−2，q=−15，
故选：B．
由(x+3)(x−5)=x2−2x−15结合(x+3)(x−5)=x2+px+q，即可得出p、q的值．
本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
8.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了乘法公式几何意义，关键是能根据图形准确列出整式．根据图形进行列式表示图形的面积即可．
【解答】
解：∵由选项A可得a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得(a−b)2=a2−2ab+b2．
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选D．
9.【答案】1
【解析】解：(π−3)0=1，
故答案为：1．
根据零指数幂的性质即可得出答案．
本题主要考查了零指数幂的性质，比较简单．
10.【答案】a5 −8y327x3
【解析】解：a2⋅a3=a5；
(2y−3x)3=−8y327x3．
故答案为：a5；−8y327x3．
利用同底数幂的乘法和积的乘方运算法则分别进行计算即可．
本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
11.【答案】x(x−3) (2a+b)(2a−b) (a−1)2
【解析】解：x2−3x=x(x−3)；
4a2−b2=(2a+b)(2a−b)；
a2−2a+1=(a−1)2．
故答案为：x(x−3)；(2a+b)(2a−b)；(a−1)2．
根据提公因式法及公式法进行因式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键．
12.【答案】720°
【解析】解：(6−2)×180°=720°，
即六边形的内角和为720°，
故答案为：720°．
利用多边形的内角和公式计算即可．
本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
13.【答案】±6
【解析】【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【解答】
解：因为x2+mx+9是一个完全平方式，
所以x2+mx+9=(x±3)2，
所以m=±6，
故答案为：±6．
14.【答案】23
【解析】解：x2y−xy2=xy(x−y)．
∵x−y=12，xy=43，
∴原式=43×12=23．
故答案为：23．
将多项式因式分解，利用整体代入可得．
本题主要考查了因式分解的应用，正确因式分解是解答本题的关键．
15.【答案】−13
【解析】解：∵xy=12，
∴y=2x，
∴x−yx+y=x−2xx+2x=−x3x=−13．
故答案为−13．
若xy=12，则y=2x，把这个式子代入所要求的式子化简就可以得到值．
对已知的式子进行正确的变形是解题的关键．
16.【答案】a
【解析】解：如图，
作点B关于射线AD的对称点B′，连接AB′、CB′，B′P．
则AB=AB′，PB′=PB，∠B′AD=∠BAD=25°，∠B′AC=∠BAC−∠BAB′=110°−25°−25°=60°．
∵AB=AC=a，
∴AB′=AC=a，
∴△AB′C是等边三角形，
∴B′C=a，
在△PB′C中，|PB′−PC|≤B′C，
当P、B′、C在同一直线上时，|PB′−PC|取最大值B′C，即为a．
∴|PB′−PC|的最大值是a．
故答案为：a．
作点B关于射线AD的对称点B′，连接AB′、CB′、B′P.则AB=AB′，PB′=PB，△AB′C是等边三角形，在△PB′C中，|PB′−PC|≤B′C，当P、B′、C在同一直线上时，|PB′−PC|取最大值B′C，即可求解．
本题考查了线段之差的最小值问题，正确作出点B的对称点是解题的关键．
17.【答案】解：(1)2m3⋅3m−(3m2)2+m6÷m2
=6m4−9m4+m4
=−2m4；
(2)(2x+5)(2x−5)−x(4x−3)
=4x2−25−4x2+3x
=3x−25；
(3)4xy2−4x2y−y3
=−y(4x2−4xy+y2)
=−y(2x−y)2；
(4)3x−2yx−y+xy−x
=3x−2yx−y−xx−y
=3x−2y−xx−y
=2x−2yx−y
=2．
【解析】(1)先计算积的乘方运算，同底数幂的乘法及除法，然后合并同类项即可；
(2)运用平方差公式计算，然后合并同类项即可；
(3)先提取公因式，然后利用公式法进行因式分解即可；
(4)先通分，然后计算加减法即可．
本题主要考查整式和分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：2a2−8aa+2⋅a2+4a+4a−4
=2a(a−4)a+2⋅(a+2)2a−4
=2a(a+2)
=2a2+4a，
当a=2时，
原式=2×22+4×2=16．
【解析】利用分式进行约分化简，然后将a的值代入化简后的式子计算即可，
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：△ABC是等腰三角形，证明如下：
∵a2+bc=b2+ac，
∴a2−b2−ac+bc=0，
(a2−b2)−c(a−b)=0，
(a+b)(a−b)−c(a−b)=0，
(a−b)(a+b−c)=0，
a−b=0或a+b−c=0(不符合三角形三边关系舍去)，
解得：a=b，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】先把已知条件中的等式的所有项移到等号左边，然后进行分解因式，得到两个关于a，b，c的方程，解方程求出a，b，c之间的关系式进行判断即可．
本题主要考查了因式分解及其应用，解题根据是熟练掌握常见的几种分解因式的方法和等腰三角形的判定．
20.【答案】解：∵∠AEB=90°，AD⊥DC，BC⊥DC，
∴∠AEB=∠ADE=∠BCE=90°，
∴∠AED+∠DAE=90°，∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠DAE=∠CEB，∠AED=∠EBC，
又∵AE=BE，
∴△ADE≌△ECB(ASA)，
∴AD=CE，DE=BC，
又∵AD=150米，BC=350米，
∴DC=DE+CE=BC+AD=350+150=500(米)．
答：两个排污口之间的水平距离DC为500米．
【解析】根据ASA证明△ADE与△ECB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的应用，关键是根据ASA证明△ADE与△ECB全等．
21.【答案】(1)解：如图，线段CD即为所求作．

(2)证明：连接AM，DM．
∵CD//AB，
∴∠DCM=∠B，
在△DCM和△ABM中，
CD=BA∠DCM=∠BCM=BM，
∴△DCM≌△ABM(SAS)，
∴∠CMD=∠BMA，
∵∠CMD+∠BMD=180°，
∴∠AMB+∠BMD=180°，
∴点A，M，D三点在同一直线上．
【解析】(1)根据要求作出图形即可．
(2)连接AM，DM.证明△DCM≌△ABM(SAS)，推出∠CMD=∠BMA，由∠CMD+∠BMD=180°，推出∠AMB+∠BMD=180°，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】12 17
【解析】解：(1)∵x+y=8，
∴(x+y)2=82，
∴x2+2xy+y2=64，
∵x2+y2=40，
∴40+2xy=64，
∴2xy=24，
∴xy=12，
故答案为：12；
(2)∵[(4−x)−(5−x)]2=12=1，
∴(4−x)2−2(4−x)(5−x)+(5−x)2=1，
∵(4−x)(5−x)=8，
∴(4−x)2−2×8+(5−x)2=1，
∴(4−x)2+(5−x)2=17，
故答案为：17；
(3)设AC=a，BC=b，
∴a2=S1,b2=S2，
∵S1+S2=18，
∴a2+b2=18，
∵AB=6，即a+b=6，
∴(a+b)2=62，
∴a2+2ab+b2=36，
∴2ab=18，
∴12ab=4.5，
∴图中阴影部分面积为4.5．
(1)根据(x+y)2=x2+2xy+y2，代入计算即可．
(2)由[(4−x)−(5−x)]2=1代入计算即可．
(3)设AC=a，BC=b，可得a2=S1,b2=S2，由AB=6，即a+b=6，再根据完全平方公式可得出(a+b)2=62，展开可得出2ab=18，即可得出．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形推导是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)
∴AC=BD；
(2)OM不平分∠BOC，理由如下，
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：

则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与OA>OC矛盾，
∴假设不成立，即OM不平分∠BOC．
【解析】(1)证明△AOC≌△BOD，即可得证；
(2)作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，则OM不平分∠BOC，据此即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识；掌握全等三角形的判定与性质是关键．
24.【答案】(1)如右图所示，
(2)解：∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA=CD．
∵∠ACN=α，
∴∠ACD=2∠ACN=2α．
∵等边△ABC，
∴CA=CB=CD，∠ACB=60°．
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．
∴∠BDC=∠DBC=12(180°−∠BCD)=60°−α．
(3)结论：PB=PC+2PE．
本题证法不唯一，如：
证明：在PB上截取PF使PF=PC，如右图，连接CF．
∵CA=CD，∠ACD=2α
∴∠CDA=∠CAD=90°−α．
∵∠BDC=60°−α，
∴∠PDE=∠CDA−∠BDC=30°．
∴PD=2PE．
∵∠CPF=∠DPE=90°−∠PDE=60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF=∠CFP=60°．
∴∠BFC=∠DPC=120°．
∴在△BFC和△DPC中，
∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDPCB=CD
∴△BFC≌△DPC．
∴BF=PD=2PE．
∴PB=PF+BF=PC+2PE．
【解析】(1)正确画图；
(2)根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA=CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形可得结论；
(3)作辅助线，在PB上截取PF使PF=PC，如右图，连接CF.先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF=PD=2PE.根据线段的和可得结论．
此题是三角形综合题，主要考查了对称的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，三角形全等的性质和判定，第三问作出辅助线构建等边三角形是解本题的关键．
25.【答案】(1)解：H(857)=F(85)+F(87)+F(58)+F(57)+F(78)+F(75)
=69+71+48+47+64+61
=360；
(2)证明：设三位数的百位为a、十位为b、个位为c，
它的“次生数”为ab，ac，ba，bc，ca，cb，
相应的“八一数”为8a+b，8a+c，8b+a，8b+c，8c+a，8c+b，
和为8a+b+8a+c+8b+a+8b+c+8c+a+8c+b
=18a+18b+18c
=18(a+b+c)，
故任意一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和能被18整除；
(3)分两种情况：
当1≤c≤3时，
H(n)=18(a+2+3c)，
∵H(n)是完全平方数，6≤a+2+3c≤16且a，c是整数，
∴a+2+3c=8，
∴a=3，c=1，
∴n=100×3+20+3×1=323；
当4≤c≤5时，
H(n)=18(a+3+3c−10)=18(a−7+3c)，
∵H(n)是完全平方数，6≤a−7+3c≤13且a，c是整数，
∴a−7+3c=8，
∴a=3，c=4，
∴n=100×3+20+3×4=332．
故所有满足条件的三位数n是323或332．
【解析】(1)根据“次生数”和“八一数”的定义列出算式计算即可求解；
(2)可设三位数的百位为a、十位为b、个位为c，根据“次生数”和“八一数”的定义可得一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的和为18(a+b+c)，依此即可求解；
(3)分两种情况：1≤c≤3；4≤c≤5，根据“次生数”和“八一数”的定义可得H(n)，再根据完全平方数的定义即可求解．
本题考查了数的整除性，新定义，解决本题的关键是要读懂一个三位数的所有“次生数”的“八一数”的定义．