2023-2024学年安徽省合肥市部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则csA的值为( )
A. 32B. 33C. 3D. 12
2.如果a2=b3，那么下列各式中不成立的是( )
A. a+1b+1=34B. b−ab=13C. ab=23D. a+bb=53
3.点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=k−1x(k≠1)图象上的两点，当0A. k>1B. k<1C. k>0D. k<0
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE平分∠ACB交BD于点E，若AD=5 5−5，则BE=( )
A. 4
B. 5 5−7
C. 15−5 5
D. 10 5−20
5.已知锐角α满足tan(α+25°)=1，则锐角α的度数为( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
6.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE/​/AB交AC于点E，如果AEEC=35，那么ACAB等于( )
A. 35B. 53C. 85D. 32
7.一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是( )
A. 10mB. 8mC. 6mD. 5m
8.如图，在▱ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为2，则△FBC的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则函数y=a+bx与函数y=bx+c的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC边上的中线，过点B作BD⊥AE于点H，交AC于点D，则AD的长为( )
A. 2
B. 43 2
C. 2 2
D. 43 3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知ab=cd=ef=85，且3b−2d+5f≠0，则3a−2c+5e3b−2d+5f= ______．
12.如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为______．
13.如图，反比例函数图象上一点C，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接OC，S△OCD=3，那么此反比例函数的表达式为______．
14.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，CE平分外角∠ACF，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若CD=12AD，则CEBC=______；BE=______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.计算：(−12)−1+|1− 3|−2sin60°+3tan45°．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
(1)填空：∠ABC=______，BC=______；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．
17.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，若点E、F分别为边BC、CD上的两点，且∠EAF=∠CAD.求证：△ADF∽△ACE．
18.(本小题8分)
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点O．
(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A2B2C2，画出△A2B2C2．
19.(本小题10分)
如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=100m，DE=20m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
20.(本小题10分)
如图，直线y1=2x+2与坐标轴交于点A、B，与双曲线y2=kx交于C、D两点，并且DA=AB=BC．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当y1≥y2时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围；
21.(本小题12分)
如图.在△ABC中，AB=AC，中线AE与高线CD相交于点P，连接DE．
(1)求证：PA⋅PE=PC⋅PD；
(2)过点E作EF上AC于点F，求EFCD的值．
22.(本小题12分)
如图，直线y=−x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=−12x2+bx+c过点B，C两点，与x轴的另一个交点为A.在第一象限内，抛物线上有一动点D，连接OD交BC于点E．
(1)求b，c的值；
(2)求OE：DE的最小值．
23.(本小题14分)
【问题背景】(1)如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BH⊥AC于H，求证：△AHB∽△BHC；
【变式迁移】(2)如图2，已知∠ABC=∠D=90°，E为BD上一点，且AE=AB，若ABBC=45，求BECD的值；
【拓展创新】(3)如图3，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E为边CD上一点，且AE=AB，BE⊥CD，直接写出DECE的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中；
∵∠B=30°；
∴∠A=90°−30°=60°；
∴csA=cs60°；
即csA=12；
故选：D．
直接在直角三角形，利用两角互余可求∠A的度数，直接求余弦值即可．
本题主要考查求特殊角的三角函数值，掌握在直角三角形，利用两角互余可求∠A的度数是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：设a2=b3=k，则a=2k，b=3k，
A. a+1b+1不能运算，故不能成立，符合题意；
B. b−ab=3k−2k3k=13，故成立，不符合题意；
C. ab=2k3k=23，故成立，不符合题意；
D. a+bb=2k+3k3k=53，故成立，不符合题意；
故选：A．
根据比例得性质解答即可．
本题主要考查比例和分式的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵点A(x1,y1)和点B(x2,y2)是反比例函数y=k−1x(k≠1)图象上的两点，当0∴k−1<0，
∴k<1，
故选：B．
根据已知条件可知，函数y=k−1x(k≠1)在第四象限内y随x的增大而增大，得k−1<0，即得k的取值范围．
本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠DCE=36°，
∴BD=AD=5 5−5，BE=CE，∠CDE=∠CED=∠BCD=72°，
∴BC=BD=5 5−5，CD=CE=BE，
∵∠CED=∠BCD，∠CDE=∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴DEDC=DCBD，即5 5−5−BEBE=BE5 5−5，
解得：BE1=15−5 5，BE2=−10(舍去)，
故选：C．
根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得出BC=BD=5 5−5，CD=CE=BE，证明△CDE∽△BDC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵tan(α+25°)=1，
∴α+25°=45°，
∴α=20°，
故选：B．
利用整体思想，一个锐角的正切值等于1，那么这个角等于45°，直接计算即可求解．
本题主要考查的是特殊角的三角函数值，熟记各三角函数值是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质；由AD为△ABC的角平分线，DE/​/AB，易得AE=DE，△CDE∽△CBA，又由AEEC=35，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】
解：∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠BAD，
∴∠ADE=∠DAE，
∴AE=DE，
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=ECAC，
∴ACAB=ECDE，
∵AE=DE，
∴ACAB=ECDE=ECAE=53;
故选B．
7.【答案】A
【解析】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=a(x−6)2+3(a≠0)，
将(0,0)代入解析式得a=−112，
∴抛物线解析式为y=−112(x−6)2+3，
当x=10时，y=53，53<2.44，满足题意，
故选：A．
建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，代入选项的x值找到符合y<2.44对应的x的值．
本题考查二次函数的实际应用，建立直角坐标系构建二次函数模型是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD/​/CB，
∵E为AD的中点，
∴AE=12AD=12CB，
∴AECB=12，
∵△FEA∽△FBC，
∴S△FEAS△FBC=(AECB)2=(12)2=14，
∴S△FBC=4S△FEA=4×2=8，
故选：D．
先证明AD=CB，AD/​/CB，则AE=12AD=12CB，所以AECB=12，再证明△FEA∽△FBC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△FBC的面积即可．
此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FEA∽△FBC，且AECB=12是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a、b同号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
∴c>0，
∴a+b<0，
则函数y=a+bx的图象分布在第二、四象限，
函数y=bx+c的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
直接利用抛物线图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，正确记忆相关图象的分布是解题关键．
10.【答案】B
【解析】解：作CF⊥BC交BD的延长线于点F，则∠BCF=90°，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC= AB2+BC2= 22+22=2 2，∠BCF=∠ABE，
∵BD⊥AE于点H，
∴∠AHB=90°，
∴∠CBF=∠BAE=90°−∠ABF，
在△CBF和△BAE中，
∠CBF=∠BAEBC=AB∠BCF=∠ABE，
∴△CBF≌△BAE(ASA)，
∵AE是BC边上的中线，
∴CF=BE=12BC=12AB，
∵CF⊥BC，AB⊥BC，
∴CF//AB，
∴△CFD∽△ABD，
∴CDAD=CFAB=12，
∴AD=21+2AC=23AC=23×2 2=43 2，
故选：B．
作CF⊥BC交BD的延长线于点F，由∠ABC=90°，AB=BC=2，求得AC= AB2+BC2=2 2，再证明△CBF≌△BAE，得CF=BE=12BC=12AB，再证明△CFD∽△ABD，得CDAD=CFAB=12，所以AD=23AC=43 2，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】85
【解析】解：∵ab=cd=ef=85，
∴3a3b=−2c−2d=5e5f=85，
∴3a−2c+5e3b−2d+5f=85，
故答案为：85．
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
12.【答案】34
【解析】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，
设小正方形的边长为1，
则AE=3，BE=4，
所以tan∠ABC=AEBE=34，
故答案为：34．
过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键．
13.【答案】y=−6x
【解析】解：∵CD⊥y轴，S△OCD=3，而S△OAB=12|k|，
∴12|k|=3，
∵k<0，
∴k=−6．
∴反比例函数为y=−6x
故答案为：y=−6x．
根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到12|k|=3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14.【答案】12 3 7
【解析】解：如图，过点E作EG⊥CF于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=BC=6；
∴∠ACF=120°，
又∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=∠ECG=60°，∠A=∠ACE，
∴AB//CE，
∴△CED∽△ABD，
∴CEAB=CDAD，
∵CD=12AD，AB=BC，
∴CEBC=12；
∵AB=6，
∴CE=3，
又∵∠ECG=60°，
∴∠CEG=30°，CG=12CE=1.5，EG=3 32，
∴BG=7.5；
由勾股定理得：BE2=BG2+EG2，
∴BE= BG2+EG2=3 7，
故答案为：12；3 7．
证明AB//CE，得到△CED∽△ABD，进而得出CEAB=CDAD=12，结合AD=2CD，AB=6，求出CE=3；求出EG、CG的长度，运用勾股定理即可解决问题．
本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是证明△CED∽△ABD．
15.【答案】解：(−12)−1+|1− 3|−2sin60°+3tan45°
=−2+ 3−1−2× 32+3×1
=−2+ 3−1− 3+3
=0．
【解析】先计算负整数指数幂、绝对值和三角函数，再进行实数的加减运算．
此题考查了实数混合运算的能力，关键是能确定正确的计算顺序，并进行准确的计算．
16.【答案】(1)135°；2 2 ；
(2) △ABC∽△DEF．
证明：∵在4×4的正方形方格中，
∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，
∴∠ABC=∠DEF．
∵AB=2，BC=2 2，FE=2，DE= 2，
∴ABDE=2 2= 2，BCFE=2 22= 2，
∴ABDE=BCFE，
∴△ABC∽△DEF．
【解析】【分析】
此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
(1)根据已知条件，结合正方形网格的特征可以求出∠ABC的度数，利用勾股定理即可求出线段BC的长；
(2)根据相似三角形的判定定理，对应边成比例且夹角相等即可证明△ABC与△DEF相似．
【解答】
(1)解：∠ABC=90°+45°=135°，
BC= 22+22= 8=2 2；
故答案为135°；2 2 ；
(2)见答案．
17.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠CAD=∠ACB，
∴∠D=∠ACB，
∵AC=CD，
∴∠D=∠CAD，
∵∠EAF=∠CAD，
∴∠DAF=∠CAE，
∴△ADF∽△ACE．
【解析】根据等腰三角形的性质求出∠D=∠CAD，根据平行四边形的性质、平行线的性质求出∠CAD=∠ACB，则∠D=∠ACB，根据角的和差求出∠DAF=∠CAE，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解．
此题考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
【解析】【分析】
(1)利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
本题考查作图−旋转变换，位似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则BF=CH=DE=20m，
在Rt△ADF中，
∵AF=100−20=80(m)，∠ADF=45°，
∴DF=AF=80m，
在Rt△CDE中，
∵DE=20m，∠DCE=30°，
∴CE=DEtan30∘=20 33=20 3(m)，
∴BC=BE−CE=DF−CE=80−20 3≈80−34.64≈45.4(m)．
答：障碍物B，C两点间的距离约为45.4m．
【解析】本题主要考查的是解直角三角形的应用，属于中档题．
过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H，则DE=BF=CH=20m，根据BC=BE−CE即可得出结论．
20.【答案】解：(1)在直线y1=2x+2中，当x=0时，y1=2，
∴点A的坐标为(0,2)，
当y1=0时，2x+2=0，
解得：x=−1，
∴点B的坐标为(−1,0)，
∵DA=AB=BC，且A、B、C、D四点共线，
∴点A是线段BD的中点，
设点D的坐标为(x,y)，
则x+(−1)2=0y+02=2，
解得：x=1y=4，
∴点D的坐标为(1,4)，
将点D的坐标(1,4)代入反比例函数解析式得：4=k1，
解得：k=4，
∴反比例函数解析式为：y2=4x；
(2)联立y=4xy=2x+2，
解得：x=1y=4或x=−2y=−2，
∴C(−2,−2)，
观察图象可得：当y1≥y2时，x的取值范围为−2≤x<0或x≥1．
【解析】(1)先求得点A、B的坐标，再根据DA=AB=BC，且A、B、C、D四点共线，得到点A是线段BD的中点，从而求出点D的坐标为(1,4)，再将点D的坐标代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；
(2)联立y=4xy=2x+2，求出点C的坐标，再由图象即可得到答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，BE=CE；
∴AE⊥BC；
∴∠ADP=∠CEP=90°；
∵∠APD=∠CPE；
∴△ADP∽△CEP；
∴PAPC=PDPE；
即PA⋅PE=PC⋅PD．

(2)如图所示，过点E作AC的垂线，垂足为F；
∴EF⊥AC；
∵CD⊥AB；
∴∠CDB=∠EFC=90°；
∵AB=AC；
∴∠B=∠ACE；
∴△CDB∽△EFC；
∴EFCD=CEBC；
∵CE=12CB；
∴EFCD=12；
∴EFCD的值为12．

【解析】(1)直接利用两个角相等可以证明△ADP∽△CEP，再利用比例式可以证明等式成立．
(2)直接证明△BDC∽△CFE就可以利用对应边成比例，可求求出EFCD的值．
本题主要考查相似三角形的判定和性质的综合，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质综合，正确记忆相关内容是解题关键．
22.【答案】解：(1)对于直线y=−x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，
∴B(4,0)，C(0,4)，
∵抛物线y=−12x2+bx+c过B，C两点，
∴−12×42+4b+c=0c=4，
解得：b=1c=4，
即：b=1，c=4；
(2)由(1)可知y=−12x2+x+4，

过点D作DG⊥x轴，交BC于F，则DF/​/OC，
∴∠COE=∠FDE，∠OCE=∠DFE，
∴△COE∽△FDE，
∴OEDE=OCDF，
∵C(0,4)，
∴OC=4，则OEDE=4DF，
设点D的横坐标为t，则纵坐标为−12t2+t+4，0∴F(t,−t+4)，
∴DF=yD−yF=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t，
即：DF=−12t2+2t=−12(t−2)2+2，0∵−12<0，
∴当t=2时，DF取最大值，最大值为2，
要使得OE：DE的值最小，则只需要4DF的值最小即可，亦即DF的值最大即可，
∴OE：DE的取最小值时，DF=2，
即：OE：DE的最小值为2．
【解析】(1)先由y=−x+4求出B，C坐标，再把B，C坐标代入抛物线解析式即可；
(2)过点D作DG⊥x轴，交BC于F，则DF/​/OC，易得△COE∽△FDE，可得OEDE=4DF，
设点D的横坐标为t，则纵坐标为−12t2+t+4，可知F(t,−t+4)，得DF=−12t2+2t=−12(t−2)2+2，0本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质，二次函数的最值，相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数表达式等知识．解决问题的关键在于求出二次函数的解析式，设出点坐标，表示出相应边的长度．
23.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，BH⊥AC，
∴∠AHB=∠BHC=90°，
∠A+∠C=90°，∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠C，
∴△AHB∽△BHC；
(2)如图，过点A作AF⊥BE于点F，

则∠AFB=90°，
∵AE=AB，AF⊥BE，
∴BF=EF=12BE，
∵∠ABC=∠D=90°，∠AFB=90°，
∴∠AFB=∠D=90°，
∠ABF+∠CBD=90°，
∠C+∠CBD=90°，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△BCD，
∴BFCD=ABBC，
又∵ABBC=45，
∴12BECD=45，
∴BECD=85；
(3)如图，过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，

∵AE=AB，AH⊥BE，
∴BH=EH=12BE，
设BH=x(x>0)，则EH=x，BE=2x，
∵AH⊥BE，∠ABC=90°，BE⊥CD，
∴∠AHB=∠BEC=90°，
∠ABH+∠CBE=90°，
∠C+∠CBE=90°，
∴∠ABH=∠C，
在△AHB与△BEC中，
∠AHB=∠BEC∠ABH=∠CAB=BC，
∴△AHB≌△BEC(AAS)，
∴AH=BE=2x，BH=CE=x，
∵AH⊥BE，∠DAB=90°，
∴∠AHB=∠NHA=90°，
∠ABH+∠N=90°，∠N+∠NAH=90°，
∴∠ABH=∠NAH，
∴△AHB∽△NHA，
∴AHNH=BHAH，
∴2xNH=x2x，
∴NH=4x，
∴NE=NH−EH=4x−x=3x，
∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AN/​/BC，
∴∠N=∠CBE，
又∵∠NED=∠BEC，
∴△NED∽△BEC，
∴DECE=NEBE=3x2x=32．
【解析】(1)利用同角的余角相等得∠ABH=∠C，即可证明结论；
(2)过点A作AF⊥BE于点F，利用两个角相等证明△ABF∽△BCD，得BFCD=ABBC，从而得出答案；
(3)过点A作AH⊥BE于点H，延长BE，AD相交于点N，设BH=x(x>0)，则EH=x，BE=2x，首先利用AAS证明△AHB≌△BEC，得AH=BE=2x，BH=CE=x，再根据△AHB∽△NHA，得NH=4x，NE=NH−EH=4x−x=3x，最后根据△NED∽△BEC，进而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用前面探索的结论和方法解决新问题是解题的关键．