山东省潍坊市2024届高三下学期3月一模考试数学试卷（Word版附答案）

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数 学
2024.3
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知平面向量，若,则实数（ ）
A． B． C． D．2
2．已知抛物线上点M的纵坐标为1，则M到C的焦点的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．已知集合,集合,其中．若,则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知等差数列的前n项和为,则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．12世纪以前的某时期．盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
例如：，．依据此记数方法，（ ）
A．2025 B．2035 C．2050 D．2055
6．如图所示，在梭长为1的正方体中，点P为截面上的动点，若,则点P的轨迹长度是（ ）
A． B． C． D．1
7．已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知直三棱柱外接球的直径为6，且,则该棱柱体积的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如右图所示．已知这6人年龄的极差为14，则（ ）
A． B．6人年龄的平均数为35
C．6人年龄的75%分位数为36 D．6人年龄的方差为
10．函数的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若在上有且仅有两个零点，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为,记,且,,则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，若复数z满足,则____________．
13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有____________种．（结果用数值表示）
14．已知平面直角坐标系中，直线,点P为平面内一动点，过P作交于D,作,交于E,得到的平行四边形面积为1,记点P的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数t的取值范围是____________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求A；
（2）若为的中点，求．
16．（15分）已知椭圆中，点A,C分别是E的左、上顶点，，且E的焦距为．
（1）求E的方程和离心率；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于R,S两点，设直线的斜率分别为,若，求k的值．
17．（15分）
如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，,为的中点．
（1）求证：平面平面;
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
若是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为,记表示在中出现的概率，其中．
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用m,n表示）；
（2）称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
19．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：；
（3）若函数有三个不同的零点，求m的取值范围．