广东省百校联考2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省百校联考2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知集合,,若,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．某班12名同学某次测试的数学成绩(单位:分)分别为62,57,72,85,95,69,74,91,83,65,78,89,则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是( )
A.74B.78C.83D.91
4．跃鲤桥,为单孔石拱桥,该石拱桥内侧曲线呈抛物线型,如图.当水面宽度为24米时,该石拱桥的拱顶离水面的高度为12米,若以该石拱桥的拱顶为坐标原点,桥面为轴（不考虑拱部顶端的厚度）,竖直向上为轴正方向建立直角坐标系,则该抛物线的焦点坐标是( )
A.B.C.D.
5．已知,;,.若p为假命题,q为真命题,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．如图,在直三棱柱中,所有棱长都相等,D,E,F分别是棱AB,,的中点,则异面直线DF与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
7．已知函数在上恰有两个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知,,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆,则下列结论正确的是( )
A.无论n为何值,圆都与轴相切
B.存在整数n,使得圆与直线相切
C.当时,圆上恰有11个整点(横,纵坐标都是整数的点)
D.若圆上恰有两个点到直线的距离为,则
10．如图,在长方体中,,,E是棱上的一点,点F在棱上,则下列结论正确的是( )
A.若,C,E,F四点共面,则
B.存在点E,使得平面
C.若,C,E,F四点共面,则四棱锥的体积为定值
D.若E为的中点,则三棱锥的外接球的表面积是
11．已知函数的定义域为R,且,,若,则( )
A.是周期为4的周期函数
B.的图像关于直线对称
C.是偶函数
D.
三、填空题
12．已知等差数列的前n项和是,且,则________.
13．某班元旦晚会准备了8个节目,其中歌曲节目有3个,舞蹈节目有2个,小品,相声,廆术节目各1个,要求小品,相声,魔术这3个节目不安排在第一个表演,这3个节目中最多有2个节目连续表演,且魔术在小品后面表演,则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种________.(用数字作答)
14．已知双曲线的左,右焦点分别为,,过点的直线l与双曲线C的两支分别交于A,B两点.若,且,则双曲线C的离心率是________.
四、解答题
15．在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.
（1）求角A的大小;
（2）若,,是边的中点,求的长.
16．如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面ABCD,E,F分别为棱AD,PC的中点,.
（1）证明:平面PAB.
（2）求平面BEF与平面CEF所成角的余弦值.
17．某校为庆祝元旦,举办了游园活动,活动中有一个填四字成语的游戏,游戏规则如下:该游戏共两关,第一关中四字成语给出其中三个字,参与游戏者需填对所缺的字,才能进入第二关;第二关中四字成语给出其中两个字,剩余两个字全部填对得10分,只填一个且填对得5分,只要填错一个或两个都不填得0分.
（1）已知小李知道该成语的概率是,且小李在不知道该成语的情况下,填对所缺的字的概率是,在小李通过第一关的情况下,求他知道该成语的概率.
（2）在过第二关时,小李每个字填与不填是等可能的,且每个字填对与填不对也是等可能的.记X表示小李在第二关中得到的分数,求X的分布列及数学期望.
18．已知椭圆的左,右顶点分别是A,B,点在椭圆C上,P是椭圆上异于点A,B的动点,且直线PA,PB的斜率之积为.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）过点的直线l与椭圆C交于,(异于A,B)两点,直线与交于点Q,试问点Q是否恒在一条直线上?若是,求出该直线方程;若不是,请说明理由.
19．已知函数(其中e为自然对数的底数).
（1）当时,求的最小值;
（2）若对定义域内的一切实数x,都有,求整数m的最小值.
(参考数据:)
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得复数,
故,
故选:B
2．答案：A
解析：解不等式,得或,
即,而,
若,则,,
即a的取值范围是,
故选:A
3．答案：C
解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为57,62,65,69,72,74,78,83,85,89,91,95.
因为,
所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.
故选:C.
4．答案：A
解析：如图,AB为水面宽,BC为拱顶离水面的高度,
故,,故.
设抛物线的方程为:,则即,
故焦点坐标为:.
故选:A.
5．答案：A
解析：由题意知,为假命题,
则,为真命题,
当时,的图象的对称轴为,
此时其最大值为,则;
又,为真命题,
即,即得,
综合可得a的取值范围为,
故选:A
6．答案：D
解析：连接BF,因为在直三棱柱中,E,F分别是棱BC,的中点,
故,,即四边形为平行四边形,
所以,则即为异面直线DF与所成角或其补角;
直三棱柱中,所有棱长都相等,设其棱长为2,
连接EF,DE,则,,而平面ABC,故平面ABC,
平面ABC,故,
D是棱AB的中点,故,则,
而,又,
故在中,,
由于异面直线所成角的范围为大于,小于等于,
故异面直线与所成角的余弦值是,
故选:D
7．答案：B
解析：由题意可得
.
令,解得,
因为,所以.
因为在上恰有两个零点,
所以,解得.
故选:B.
8．答案：B
解析：令,,
则,故在上为增函数,故,
,其中,故,即,故;
而,
故,故;
又,故在上为增函数,
故,,其中,
故,即则,故;
故.
故选:B.
9．答案：AD
解析：对A,由题意可知圆的圆心坐标为,半径为n,
则圆心到轴的距离等于圆的半径,则A正确.
对B,由圆与直线相切,得,解得,则B错误.
对C,当时,圆,
则上的整点有,,,,,,,,,,,,共12个,则C错误.
对D,圆心到直线的距离,则,解得,故D正确.
故选:AD.
10．答案：BCD
解析：对A,由,C,E,F四点共面,得,则,
若E不是棱的中点,则,故A错误.
对B,当E是棱的中点时,取的中点G,连接GE,,则G为的中点.
因为E为的中点,则.
因为平面,平面,所以平面,则B正确.
根据长方体性质知,且平面,平面,
所以平面,同理可得平面,
则点E,F到平面的距离为定值,
又因为的面积为定值,所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值,
则四棱锥的体积为定值,故C正确.
取棱的中点,由题中数据可得,
则,所以为等腰直角三角形,所以是外接圆的圆心,
外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为O,
半径为R,设,则,
即,解得,则,此时O点位于中点,
从而三棱锥的外接球的表面积是,故D正确.
故选:BCD.
11．答案：ABD
解析：对A,因为,所以,
所以,即,所以是周期为4的周期函数,则A正确.
对B,因为,所以,所以的图象关于直线对称,则B正确.
对C,因为,所以.令,得,则.
因为的图象关于直线对称,所以,则,从而不是偶函数,则C错误.
对D,由的对称性与周期性可得,
则,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：75
解析：等差数列中,,则.
故答案为:75
13．答案：10800
解析：先将歌曲和舞蹈节目排好,有种,
再将小品,相声,魔术这3个节目排好,有种,
则该班元旦晚会的节目表演不同的安排方式有种.
故答案为:10800.
14．答案：
解析：设,则.
由双曲线的定义可得,.
因为,所以,所以,
则,,.
在中,由余弦定理可得,
即,即,
在中,由余弦定理可得,
则,即,
从而,即,即,故.
故答案为:.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）在中,由正弦定理及,得,
而,则,由,知,
因此,解得,
所以角A的大小为.
（2）由（1）知,由D是边BC的中点,得,
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取棱PB的中点H,连接AH,FH.
因为H,F分别是棱PB,PC的中点,所以,.
因为E是棱AD的中点,所以,,
所以,,
所以四边形AEFH为平行四边形,所以.
因为平面PAB,平面PAB,所以平面PAB.
（2）以A为坐标原点,分别以,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,,,
故,,.
设平面BEF的法向量为,则,令,得.
设平面CEF的法向量为,
则,令,得.
设平面BEF与平面CEF所成的角为,
则,即平面BEF与平面CEF所成角的余弦值为.
17．答案：（1）
（2）分布列见解析,数学期望为.
解析：（1）记事件A为“小李通过第一关”,事件B为“小李知道该成语”,
则,,,
由全概率公式可得,
则所求概率为.
（2）设事件表示小明填了个字,,2,C表示填到的字都是正确的.
X的可能取值为0,5,10,
,
,
.
随机变量X的分布列为
故.
18．答案：（1）
（2）Q恒在一条直线上,
解析：（1）由题意知P是椭圆C上的动点,设,,
即,
又,,直线PA,PB的斜率之积为,
故,
点在椭圆上,故,
联立,解得,
故椭圆C的标准方程为;
（2）由题意可知,,设,,
由于M,N异于A,B,故直线AM的方程为,
直线BN的方程为,
联立,整理得,
由题意知直线l的斜率不为0,设为,
则,
联立,整理得,,
则,,则,
故,
即点Q恒在直线上.
19．答案：（1）1
（2）1
解析：（1）时,,故,
因为在上均为增函数,故在上为增函数,
而,故当时,,当时,,
所以在上为减函数,在上为增函数,
故.
（2）由的定义域为,,
因为在上均为增函数,故在上为增函数,
而,
当(从m的右侧)时,,故在上存在一个零点,
且时,;时,;
故在上为减函数,在上为增函数,
故,
而,故,且,
故,故,故,
故,故.
若,则即,
因为在均为增函数,
故在为增函数,
而,但,故,即,
故,但,即成立
故时,恒成立,故整数m的最小值为1.
X
0
P