广西部分学校2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份广西部分学校2024届高三下学期开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．一个样本容量为10的样本数据,它们组成一个公差为2的等差数列,若,,成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是( )
A.12,13B.13,13C.13,12D.12,14
2．如果椭圆的离心率为,则( )
A.4B.4或C.D.4或
3．已知等差数列,若,则( )
A.-2B.0C.2D.4
4．设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
5．用2个0,2个1和1个2组成一个五位数,则这样的五位数有( )
A.8个B.12个C.18个D.24个
6．已知,,.若,,则( )
A.B.C.D.
7．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学学习和研究中,常用函数的图象来研究函数性质,也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征,函数的大致图象是( )
A.B.
C.D.
8．设双曲线的焦距为,离心率为e,且a,c,成等比数列,A是E的一个顶点,F是与A不在y轴同侧的焦点,B是E的虚轴的一个端点,PQ为E的任意一条不过原点且斜率为的弦,M为PQ中点,O为坐标原点,则下列判断错误的是( )
A.E的一条渐近线的斜率为
B.
C.（,分别为直线OM,PQ的斜率）
D.若,则恒成立
二、多项选择题
9．关于函数有下述四个结论,其中结论正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于直线对称
C.的图象关于点对称
D.在上单调递增
10．已知,为复数,i是虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若,则的虚部为
B.若,满足,则的最大值为
C.若,则
D.若,且,则
11．已知为定义在R上的偶函数且不是常函数,,若是奇函数,则( )
A.的图象关于对称B.
C.是奇函数D.与关于原点对称
三、填空题
12．已知集合,,则______________.
13．已知的三边长分别为3,4,5,且A,B,C均在球O的球面上,球心O到平面ABC的距离为,则球O的表面积等于______________.
14．如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延长CD至E,使得.动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,.则的取值范围为_______________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若过点作直线与函数的图象相切,判断切线的条数.
16．随着寒冷冬季的到来,羽绒服进入了销售旺季,某调查机构随机调查了400人,询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计,得到以下的列联表：
(1)是否有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异？
(2)若从这400人中按男女比例用分层抽样的方法抽取5人进行采访,再从这5人中任选2人赠送羽线服,记X为抽取的2人中女生的人数,求X的分布列和数学期望.
附：.
17．如图,在矩形ABCD中,,,E为CD的中点,将沿AE折起,使点D到点P处,平面平面ABCE.
(1)证明：平面平面PBE;
(2)求二面角的余弦值.
18．设抛物线的焦点为F,抛物线C上一点A的横坐标为,过点A作抛物线C的切线,与x轴交于点D,与y轴交于点E,与直线交于点M.当时,.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点,过B作抛物线C的切线,与直线交于点P,与直线l交于点N,求面积的最小值,并求取到最小值时的值.
19．已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,,,
(1)求数列和的通项公式;
(2)表示不超过x的最大整数,表示数列的前项和,集合共有4个元素,求范围;
(3),数列的前项和为,求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意,解得,
故是首项,公差的等差数列,
所以此样本的平均数为,中位数为.
故选：B.
2．答案：B
解析：因为椭圆的离心率为,
当时,椭圆焦点在x轴上,
可得：,,
,,
解得,
当时,椭圆焦点在y轴上,
可得：,,
,
解得.
或.
故选：B.
3．答案：B
解析：设等差数列的公差为d,由,得,整理得,
所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：对于A,若,,则或者或者m,相交,故A错误,
对于B,若,,则或者或者m,相交,故B错误,
对于C,若,,,则或者或者m,相交,故C错误,
对于D,若,,则,又,所以,故D正确,
故选：D.
5．答案：C
解析：当首位为2时,这样的五位数有个;
当首位为1时,这样的五位数有个.
综上,这样的五位数共有个.
故选：C.
6．答案：B
解析：由题意可得,
因为,,则,
可得,即,
则,
令,
则,整理得,解得或（舍去）,
即,解得.
故选：B.
7．答案：B
解析：由,得,解得,
函数的定义域为,
,
函数是奇函数,图象关于原点对称,故排除CD;
,故排除A,从而B正确.
故选：B.
8．答案：D
解析：A选项,因为成等比数列,所以,所以且,解得（负根舍）,所以,所以,即E的一条渐近线的斜率为,故正确;
B选项,不妨设F为左焦点,B为虚轴的上端点,则A为右顶点,
则BF的斜率,AB的斜率,所以,
所以,故B正确;
C选项,设,,,则,
作差后整理得,即,
所以,故C正确;
D选项,设直线,则直线,将代入双曲线方程,得,则,
,
将k换成得,
则与b的值有关,故D错误.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：,
对于A,的最小正周期为,故A错误,
对于B, ,故的图象关于直线对称,B正确,
对于C,,故的图象关于点对称,C正确,
对于D,时,,故在上单调递增,D正确,
故选：BCD.
10．答案：BD
解析：对于A,的虚部为2,故A错误;
对于B,设,a,,由,得,
其表示为圆心为,半径为的圆,,
其表示为圆上的点到原点的距离,
设圆心到原点的距离为d,则,
则圆上的点到原点的距离的最大值为,则的最大值为,故B正确;
对于C,当,时,,此时,故C错误;
对于D,,则,,故D正确.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于选项A,因为是奇函数,所以,
即,整理得2,
所以的图象关于对称,故A正确;
对于选项B,因为为偶函数,所以,
所以,所以,故B正确;
对于选项C,,故C正确;
对于选项D,因为,所以与关于y轴对称,不关于原点对称,故D错误.
故选：ABC.
12．答案：
解析：根据题意可知,
所以.
故答案为：.
13．答案：
解析：的三边长分别为3,4,5,则为直角三角形,其外接圆半径为,
则球O的半径,
则球O的表面积.
故答案为：.
14．答案：
解析：建立如图所示的坐标系,正方形的边长为1,则,,
.
当时,有且, ,,
当时,有且,,
当时,有且,,
当时,有且,,
综上,,
故答案为：.
15．答案：(1)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)三条
解析：（1）因为,
所以.
令,得;令,得.
所以的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）,则,
设切点为,
则,,
所以切线方程为.
将点代入得,
整理得.
因为方程有两个不相等正根,
所以方程共有三个不相等正根.
故过点可以作出三条直线与曲线相切.
16．答案：(1)没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异
(2)分布列见解析,
解析：（1）因为,
因为,所以没有的把握认为男性和女性在选购羽线服时的关注点有差异.
（2）选出的男性人数为,选出的女性人数为,
由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,
,
,
故X的分布列为
所以X的数学期望.
17．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）由,,得,得,即,
又平面平面ABCE,平面平面,平面ABCE,
所以平面PAE,又平面PAE,故,
又,,BE,平面PBE,所以平面PBE,
而平面PAB,所以平面平面PBE;
（2）取AE中点O,连接OP,则,又平面平面ABCE,
平面平面,平面PAE,所以平面ABCE,
以O为原点,,,方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
如图,
则,,,,
设平面CPA的法向量为,由,,
则,即,取,则,
设平面PAB的法向量为,由,,
则,即,取,则,
故.
故二面角的余弦值为.
18．答案：(1)
(2),
解析：（1）由题知,,
所以,,切点,
切线方程为：,
令,,
所以D为AE的中点,
因为根据焦半径公式得：,.
所以,,
因为,
所以,即,
所以抛物线C的方程为;
（2）设,由（1）得方程：①
同理方程②,联立①②,
所以,
因为直线l的方程为：,
所以,,
所以,
所以,
,
令,
,
令,,
当,单调递减,,单调递增,
,当且仅当时取“=”,此时.
所以面积的最小值为,此时的值为.
19．答案：(1),
(2)
(3)证明见解析
解析：（1）设数列首项,设公比,设数列首项,设公差d,
,即,
,（舍去）,,
,;
（2）,
其中,
,
集合,设,
,
所以当时,,当时,.
计算可得,,,,,
因为集合有4个元素,.
（3）,
,
设①,
②,
上式①-②得,
,
所以,
当n为奇数时,,
则
,
.
更关注保暖性能
更关注款式设计
合计
女性
160
80
240
男性
120
40
160
合计
280
120
400
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
P