河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省承德县第一中学等校2023-2024学年高二下学期开学联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,集合,,则( ).
A.B.
C.D.
2．若复数z满足,则z的虚部为( ).
A.B.C.D.
3．下列函数中,表示同一函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
4．若是抛物线位于第一象限的点,F是抛物线的焦点,,则直线MF的斜率为( )
A.B.C.D.
5．已知等差数列的公差和首项都不为0,且,,成等比数列,则( )
A.1B.2C.3D.5
6．如图,在四面体中,点E,F分别是AB,CD的中点,点G是线段EF上靠近点E的一个三等分点,令,,,则( )
A.B.C.D.
7．甲,乙两人独立地破译一份密码,破译的概率分别为,,则密码被破译的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知F为双曲线的一个焦点,C上的A,B两点关于原点对称,且,,则C的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,且,则( )
A.B.
C.D.
10．已知等差数列的首项,公差,在中每相邻两项之间都插入个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列,以下说法正确的是( )
A.
B.当时,
C.当时,不是数列中的项
D.若是数列中的项,则k的值可能为7
11．在正方体中,点P满足,则( )
A.若,则AP与BD所成角为B.若,则
C.平面D.
三、填空题
12．函数的值域为________.
13．已知数列满足,,则________,________.
14．二面角为,A,B是棱l上的两点,AC,BD分别在半平面,内,,,且,,则CD的长为________.
四、解答题
15．某学校高一名学生参加数学考试,成绩均在40分到100分之间,学生成绩的频率分布直方图如下图:
（1）估计这名学生分数的中位数与平均数;(精确到0.1)
（2）某老师抽取了10名学生的分数:,,,…,,已知这10个分数的平均数,标准差,若剔除其中的100和80两个分数,求剩余8个分数的平均数与标准差.
(参考公式:)
16．已知点,点P在圆上运动.
（1）求过点B且与圆E相切的直线方程;
（2）已知,,求的最值.
17．如图,在棱长为4的正方体中,点M是BC的中点.
（1）求证:;
（2）求二面角的大小.
18．已知数列,满足,,,.
（1）证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
（2）记数列的前n项和为,求,并证明:.
19．已知,B,M是椭圆C上的三点,其中A,B两点关于原点O对称,直线MA和MB的斜率满足.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点,过点Q作斜率不为0的直线l,l与椭圆的两个交点分别为P,N,若为定值,则称点Q为“稳定点”,问:是否存在这样的稳定点?若有,试求出所有的“稳定点”,并说明理由;若没有,也请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,或,
所以A不是B的子集,故A错误;
,故B错误;
或,故C错误;
,故D正确;
故选:D
2．答案：C
解析：因为,
所以,
所以复数z的虚部为,
故选:C.
3．答案：C
解析：对于A项,,与的对应法则不同,故不是同一函数,A项错误;
对于B项,的定义域为,的定义域为,
故两函数定义域不同,故与不是同一函数,B项错误;
对于C项,与的定义域相同,对应法则也相同,C项正确;
对于项,,,与的对应法则不同,故不是同一函数,D项错误.
故选:C.
4．答案：C
解析：由题知,,抛物线的准线方程为,设,
由抛物线的定义知,,即,所以,
所以,
又因为M位于第一象限,所以,
所以,
所以.
故选:C.
5．答案：C
解析：设等差数列的首项为,公差为,
由,,成等比数列得,即:,
解得:,.
故选:C.
6．答案：A
解析：连接EC,ED,
.
故选:A.
7．答案：B
解析：设“甲独立地破译一份密码”为事件A,“乙独立地破译一份密码”为事件B,
则,,,,
设“密码被破译”为事件C,
则,
故选:B.
8．答案：D
解析：不妨设F,分别为双曲线的左右焦点,连接,,
因为A,B两点关于原点对称,所以为平行四边形,所以,
因为,,
所以,.
因为,所以;
在中,由余弦定理可得,
因为,所以,即.
故选:D
9．答案：ABD
解析：AB选项,两边平方得,,
即,所以,B正确,
因为,所以,故,所以,A正确;
CD选项,,
因为,,所以,
故,C错误,D正确.
故选:ABD
10．答案：ABD
解析：对于A,由题意得,A正确;
对于B,新数列的首项为2,公差为2,故,B正确;
对于C,由B选项知,令,则,即是数列的第8项,C错误;
对于D,插入k个数,则,,,,…,
则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项,为公差的等差数列,
于是,而是数列的项,令,当时,,D正确.
故选:ABD
11．答案：BCD
解析：对选项A:时P与重合,与BD所成角为与所成角,为等边三角形,则AP与BD所成角为,错误;
对选项B:如图建立空间直角坐标系,令,,,,,,,正确;
对选项C:,平面,平面,故平面,同理可得平面,,故面面,平面,平面,正确;
对选项D:,,,正确.
故选:BCD
12．答案：或
解析：当时,在上单调递减,
所以;
当时,在上单调递减,
所以;
所以函数的值域为,
故答案为:
13．答案：,
解析：因为,,所以,,故;
由,可知,两边取倒数得:
故数列是以1为首项,1为公差的等差数列,则,
.
故答案为:;.
14．答案：4
解析：由题意,二面角为,,,与夹角为,
与夹角为,
,
,即CD的长为4.
故答案为:4.
15．答案：（1）中位数为71.4,平均数为71.0
（2）平均数为90,标准差为
解析：（1）,,
中位数位于之间,设中位数为m,
则,解得:,即中位数为;
平均数为.
（2）剩余8个分数的平均值为;
,,
剩余8个分数的标准差为.
16．答案：（1）或
（2）最大值为88,最小值为72
解析：（1）当过点B的直线斜率存在时,
设切线的方程为,即,
则圆心到切线的距离为,解得,
所以切线方程为,即,
当过点的直线斜率不存在时,切线方程为,此时直线与圆M相切.
综上,切线方程为或.
（2）设P点坐标为,则,所以
.
因为,所以,
即的最大值为88,最小值为72.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,,且,AB,平面,
所以平面.又平面,
所以
又因为正方形,则,,,平面,
所以平面.
因为平面,
所以.
（2）如图,以点D为原点,以向量,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,.
,.
设平面的一个法向量为,
则,令,则,
故平面的法向量可取为.
由（1）可知,平面,所以平面的法向量可取,
设二面角的大小为,由图可知为钝角,
则,因,
则,即二面角的大小为.
18．答案：（1）证明见解析,
（2）,证明见解析
解析：（1）因为,,则,
等式两边同时乘以可得,
即,所以,数列是等差数列.
且,,等差数列公差为,
所以,,故.
（2）数列的前n项和为,且,
则,
所以,,
两式相减可得
,
所以.
又,即为单调递增数列,
所以,即.
19．答案：（1）
（2）存在,,理由见解析
解析：（1）设,易知,
由,得,
化简得,故椭圆C的标准方程为.
（2）点是椭圆C长轴上的不同于A,B的任意一点,
故可设直线PN的方程为,,,
由,得,
,,恒成立.
又,,
,
,
要使其值为定值,则,
故当,即时,.
综上,存在这样的稳定点.