湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期2月开学考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知平面向量,,若,则（ ）
A.B.C.-2D.2
2．函数的图象( )
A.关于y轴对称B.关于原点对称
C.关于直线对称D.关于直线对称
3．若集合M满足：,若,则,则称集合M是一个“偶集合”.已知集合,,那么下列集合中为“偶集合”的是( )
A.B.C.D.
4．已知数列的前5项分别为1,3,3,5,5,该数列从第5项起成等差数列,且,则该等差数列的公差为( )
A.1B.2C.3D.4
5．现有10份不同的食品,其中有2份不合格.每次取出1份进行检测,直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现,则前三次不同检测方案的种数为( )
A.16B.20C.28D.32
6．如图所示,已知圆O的半径为2,过C作圆O的两条切线,切点分别为M,N,若,则对角线AC长度为( )
A.B.C.D.
7．已知,则( )
A.B.C.D.
8．三棱锥中,平面ABC,,,,点D是面PAB内的动点（不含边界）,,则异面直线CD与AB所成角的余弦值的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于函数,下列说法正确的是( )
A.有两个极值点B.的图象关于原点对称
C.有三个零点D.零点之积为-1
10．在平面直角坐标系xOy中,点,动点,记M到y轴的距离为d.将满足的M的轨迹记为,且直线与交于相异的两点,,则下列结论正确的为( )
A.曲线的方程为
B.直线l过定点
C.的取值范围是
D.的取值范围是
11．某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标服从正态分布,现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.取得最大值时,M的估计值为53
三、填空题
12．设为复数z的共轭复数,若复数z满足,则___________.
13．已知为等腰直角三角形,,点O为的重心,若以A、O为双曲线E的两顶点,且双曲线E过点B,则双曲线E的离心率为________________.
14．海边近似平直的海岸线上有两处码头A、B,且.现有一观光艇由B出发,同时在A处有一小艇出发向观光艇补充物资,其速度为观光艇的两倍,在M处成功拦截观光艇,完成补给.若两船都做匀速直线运动,观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下,小艇总可以设定合适的出发角度,使得行驶距离最小,则拦截点M距离海岸线的最远距离为____________.
四、解答题
15．已知直线与函数的图象相切.
(1)求k的值;
(2)求函数的极大值.
16．已知在直角梯形ABGH中,,,,,,C、D分别为线段BG与AH的中点,现将四边形CHHG沿直线CD折成一个五面体（如图）.
(1)在线段BF上是否存在点M,使平面ADE.若存在,找出点M的位置：若不存在,说明理由;
(2)若二面角的大小为,求平面ADE与平面DEFC所成夹角的余弦值.
17．新能源渗透率是指在一定时期内,新能源汽车销量占汽车总销量的比重.2023年,随着技术进步,新能源车的渗透率继续扩大.将2023年1月视为第一个月,得到2023年1-10月,我国新能源汽车渗透率如下表：
(1)假设自2023年1月起的第x个月的新能源渗透率为,试求y关于x的回归直线方程,并由此预测2024年1月的新能源渗透率：
(2)为了鼓励大家购买新能源汽车,国家在2024年继续执行新能源车购置税优惠政策：在2024年6月1日前购买的新能源车无需支付购置税,而燃油车需按照车价10%支付购置税.某4S店为促进销售,于2024年1月推出为购买燃油车的客户代付购置税的优惠活动.已知该店共有5位销售员,基本工资均为5000元,销售员每销售一辆新能源车和燃油车的提成分别为客户实际支付车价的1%和0.5%.当月该店共销售了原始价格平均为20万元的28辆车.假设以（1）中预测的新能源渗透率作为当月客户购买新能源车的概率,求4S店1月份发放给所有销售员工资总和的期望.（工资基本工资提成,客户实际支付车价客户实付总额应付购置税）
附：一组数据,,…的线性回归直线方程的系数公式为：,;参考数据：.
18．已知定点,圆,过R点的直线交圆于M、N两点,过R点作直线交于点.
(1)求点Q的轨迹方程C;
(2)（i）曲线C上有两个点A、B,直线OA和OB的斜率之积为1,问是否存在实数,使得.
（ii）在（i）的条件下,设OA的斜率为k,已知,求的最小值.
19．已知数列与数列满足下列条件：①,;②,;③,,记数列的前n项积为.
(1)若,,,,求;
(2)是否存在,,,,使得,,,成等比数列？若存在,请写出一组,,,;若不存在,请说明理由;
(3)若,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：向量,,,则,
所以.
故选：C.
2．答案：A
解析：函数的定义域为R,,
而函数是偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.
故选：A.
3．答案：D
解析：集合,,则,
显然,而,A不是;
,显然,而,B不是;
,则,不符合题意,C不是;
,则,
对,有,即是一个“偶集合”,D是.
故选：D.
4．答案：B
解析：设数列从第5项起成等差数列的公差为d,
依题意,,解得,
所以该等差数列的公差为2.
故选：B.
5．答案：D
解析：依题意,前2次检测出1份不合格,1份合格,第3次检测出第2份不合格,
所以前三次不同检测方案的种数为.
故选：D.
6．答案：D
解析：设OC与MN相交于E,过O作于F,
,,则,
在中,,则,
在中,,在中,,,则,
所以.
故选：D.
7．答案：C
解析：
.
故选：C.
8．答案：A
解析：由平面ABC,平面ABC,得,
又,,PA,平面PAB,则平面PAB,
平面PAB,则,又,,BC,平面BCD,
因此平面BCD,而平面BCD,则,
如图,以A为坐标原点,,,的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,设,
,,由,得,
,,设异面直线CD与AB所成角为,
则,
令,则,,
显然函数在上单调递增,此时,,
所以异面直线CD与AB所成角的余弦值的取值范围为.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：函数的定义域为R,求导得,
当或时,,当时,,
即函数在,,上单调递增,在上单调递减,
因此的极大值为,极小值为,A正确,
而,,因此函数有三个零点,C正确;
又,则函数不是奇函数,其图象关于原点不对称,B错误;
设的三个零点分别为,,,
则
,
因此,D正确.
故选：ACD.
10．答案：BCD
解析：依题意,点M到直线的距离等于到点的距离,
因此点M的轨迹是抛物线,其方程为,A错误;
直线恒过定点,B正确;
由消去y得：,
则,,解得,,,,
,C正确;
,
,D正确.
故选：BCD.
11．答案：ACD
解析：依题意,,A正确;
由,则,
又,
于是,
即,
因此,即,
则,B错误;
由
又,C正确;
,
设,由,
解得,即,
由,解得,即,
所以最大时M的估计值为53,D正确.
故选：ACD.
12．答案：-2
解析：对于方程,,
由题意可知,z、是关于实系数方程的两个虚根,
由韦达定理可得.
故答案为：-2.
13．答案：2
解析：不妨设,D为BC的中点,则,
由为等腰直角三角形,,得,
以线段AO中点为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,如图,
双曲线E的实轴长,则,设双曲线E的方程为,
由点在双曲线E上得,解得,
所以双曲线E的离心率.
故答案为：2.
14．答案：
解析：设,则,,
设,则,
因此,
当且仅当,即时取等号,
所以拦截点M距离海岸线的最远距离为.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2)0
解析：（1）函数的定义域为,求导得,
设切点为,则切线的斜率为,
切线方程为,
又切线过点,于是,而,解得,所以.
（2）由（1）知,,设,求导得,
令,得,当时,,当时,,
因此函数在上单调递增,在上单调递减,
于是,又,,
则存在,,当时,,当时,,
从而在,上单调递减,在上单调递增,
所以存在唯一极大值.
16．答案：(1)证明见解析;
(2).
解析：（1）存在,M为BF的中点,证明如下：
取BF中点M,取AE中点N,连接CM、MN、DN,
C,D为梯形ABGH两腰中点,,,
M、N为梯形ABFE两腰的中点,,
于是CD与MN平行且相等,则四边形CMND为平行四边形,得,
而平面AED,平面AED,
所以平面AED.
（2）依题意,,,,FC,平面FCB,
则平面FCB,
又平面ABCD,即平面平面FCB,
同时即为二面角的平面角,
于是,又,则为等边三角形,
在直角梯形ABGH中,,,,,
可得,则,
过F作于点O,则O为BC的中点,如图以点O为原点,建立空间直角坐标系,

,,,
设平面DEFC的法向量为,,
所以,取,得,
设平面ADE的法向量为,,,
则,取,得,
设平面ADE与平面BEFC所成夹角为,
则,
所以平面ADE与平面BEFC所成夹角的余弦值为.
17．答案：(1),;
(2)62520元.
解析：（1）依题意,,,
,
于是,
,则回归直线方程为,
代入得,所以预测2024年1月新能源渗透率为.
（2）设4S店1月份发放给销售员工资总和为Y,
由（1）知,客户购买新能源车的概率为,燃油车概率为,
设28辆车中新能源车为X辆,则燃油车为辆,
则,,
依题意,该店销售员的总提成为：
,
因此,
,
所以4S店1月份发放给所有销售员工资总和的期望为62520元.
18．答案：(1);
(2)（i）;（ii）.
解析：（1）依题意,,
因此点Q的轨迹是以点S,R为焦点,长轴长为的椭圆（除椭圆与x轴的交点外）,
长半轴长,半焦距,则,
所以点Q的轨迹方程.
（2）（i）设直线OA的斜率为k,则直线OA的方程为：,
设,
由,解得,
即,因此,
同理,,
于是,所以.
（ii）由（i）知,,
依题意,
,
令,则,
令,求导得,
则函数在上单调递增,当时,,
所以的最小值为.
19．答案：(1);
(2)不存在,理由见解析;
(3).
解析：（1）由,得,由,得,
由,得,
所以.
（2）不存在.
假设存在,设,,,公比为q,
若,则,,,公比,矛盾,
若,则,,,公比,,矛盾,
因此假设不成立,所以不存在.
（3）依题意,,且,,
,,,
设,则,得,
于是,显然的值从大到小依次为,,1,,···,
若,则且,当数列为1,-1,1,-1,···或-1,1,-1,1,···,可以取得,
显然当时,最大,此时,则,
,
从而
,又,
所以.
月份代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
渗透率
29
32
34
32
33
34
36
36
36
38