山东省泰安市宁阳县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省泰安市宁阳县第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．下列说法正确的个数是( )
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量;
（2）零向量没有方向;
（3）向量的模一定是正数;
（4）非零向量的单位向量是唯一的.
A.0B.1C.2D.3
2．( )
A.B.C.D.
3．如图,在中,,点E是CD的中点.设,,则( )
A.B.C.D.
4．已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
5．已知在四边形ABCD中,则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
6．设,是两个不共线的向量,若向量与向量共线,则( )
A.B.C.D.
7．在中,,,则与的夹角是( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
8．若O为所在平面内一点,且满足,则的形状为( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形
二、多项选择题
9．下列命题中错误的有( )
A.起点相同的单位向量,终点必相同;
B.已知向量,则四边形ABCD为平行四边形;
C.若,,则;
D.若,,则
10．下列各组向量中,一定能推出的是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
11．下列说法正确的是( )
A.向量在向量上的投影向量可表示为
B.若,则与的夹角的范围是
C.若是以C为直角顶点的等腰直角三角形,则,的夹角为
D.若,则
12．已知向量,满足,且,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．设,为单位向量,则的最大值为_____________.
14．已知,且,则向量在向量方向上的投影向量为__________.
15．已知在中,E为AC的中点,D是线段BE上的动点,若,则的最小值为_______________.
16．已知在中,,,,P为线段AC上任意一点,则的取值范围是_______________.
四、解答题
17．如图,O是正六边形ABCDEF的中心,且,,.在以A,B,C,D,E,F,O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中,问：
(1)与相等的向量有哪些？
(2)的相反向量有哪些？
(3)与的模相等的向量有哪些？
18．设向量,满足,且.
(1)求与的夹角;
(2)求的大小.
19．设,是不共线的两个向量.
(1)若,,,求证：A,B,C三点共线;
(2)若与共线,求实数k的值.
20．已知,是夹角为的两个单位向量.若,,其中,若,的夹角为锐角,求t的取值范围.
21．已知空间三个向量､､的模均为1,它们相互之间的夹角均为.
(1)求证：向量垂直于向量;
(2)已知,求k的取值范围.
22．如图所示,在中,,,AD与BC交于点M.过M点的直线l与OA、OB分别交于点E,F.
（1）试用,表示向量;
（2）设,,求证：是定值.
参考答案
1．答案：A
解析：对于（1）,温度与功没有方向,不是向量,故（1）错误,
对于（2）,零向量的方向是任意的,故（2）错误,
对于（3）,零向量的模可能为0,不一点是正数,故（3）错误,
对于（4）,非零向量的单位向量的方向有两个,故（4）错误,
故选：A.
2．答案：B
解析：根据向量运算公式可知,.
故选：B.
3．答案：A
解析：由题意在中,,点E是CD的中点,
故
,
故选：A.
4．答案：D
解析：因为,
所以,
设与的夹角为,
所以,
所以.
故选：D.
5．答案：A
解析：由,可得,
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为,是两个不共线的向量,且向量与向量共线,
所以,即,
所以,解得,
故选：D.
7．答案：C
解析：如图,
作向量,则是与的夹角,
在中,因为,,
所以,
所以.
故选：C.
8．答案：A
解析：依题意,
,
,
所以,
所以三角形ABC是等腰三角形.
故选：A.
9．答案：AC
解析：单位向量的方向不确定,所以起点相同的,终点不一定相同,A选项错误;
四边形ABCD中,,则且,四边形ABCD为平行四边形,B选项正确;
当时,满足,但不能得到,C选项错误;
由向量相等的条件可知,若,则,D选项正确.
故选：AC.
10．答案：ABC
解析：A.,即,故A正确;
B.,即,故B正确;
C.,,则,故C正确;
D.,,只有当或,此时,否则,所以向量,不平行,故D错误.
故选：ABC.
11．答案：AB
解析：A.根据投影向量的定义可知,向量在向量上的投影向量可表示为,故A正确;
B.根据,,可知,,,所以与的夹角的范围是,故B正确;
C.由向量夹角的定义可知,,的夹角为,故C错误;
D. 若,则或或,其中零向量与其它向量不一定垂直,故D错误.
故选：AB.
12．答案：ABC
解析：因为,所以,
即,整理可得,
再由,且,
可得,所以,,A选项正确,D选项错误;
,即向量,的夹角,
故向量,共线且方向相反,所以,B选项正确;
,C选项正确.
故选：ABC.
13．答案：3
解析：,
当向量,同向时,的最大值为3.
故答案为：3.
14．答案：
解析： 又,
,又,
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
15．答案：8
解析：如图,
因为,E为AC的中点,
所以,
因为B,E,D三点共线,所以,
,
当且仅当,即,时等号成立,
故的最小值为8.
故答案为：8.
16．答案：
解析：设,,则,
故
,
因为,所以,
故,.
故答案为：.
17．答案：(1),,
(2),,,
(3),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
解析：（1）由相等向量定义知：与相等的向量有,,.
（2）由相反向量定义知：的相反向量有,,,.
（3）由向量模长定义知：与的模相等的向量有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）设与的夹角为,
,则,
将代入得,,故;
（2）
将代入得,故.
19．答案：(1)证明见解析;
(2)±4.
解析：（1）由,,,
得,
,
因此,且有公共点B,
所以A,B,C三点共线.
（2）由于与共线,则存在实数,使得,
即,而,是不共线,
因此,解得,或,,
所以实数k的值是.
20．答案：.
解析：因为,的夹角为锐角,
所以,且,不共线,
当时,,
得,
当,共线时,存在唯一的实数,使,
即,所以,解得,
所以当时,,不共线,
综上,t的取值范围为且,即.
21．答案：(1)证明见解析
(2)或
解析：（1）证明：因为,且､､之间的夹角均为,
所以,
所以向量垂直于向量;
（2）,
所以.
因为,
所以,解得或.
22．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）由A,M,D三点共线可得存在实数使得：,
又,故,
由C,M,B三点共线可得存在实数使得：,
又,故,
由题意,,不共线,
则：,解得,
故;
（2）由E,M,F三点共线,可设,
由,,则：,
由（1）知,,则：,即,
所以,
所以是定值.