四川省遂宁市射洪中学校2024届高三下学期开学考试理科数学试卷(含答案)

这是一份四川省遂宁市射洪中学校2024届高三下学期开学考试理科数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若复数满足,其中i为虚数单位,则( )
A.0B.C.D.1
3．下图是遂宁市2022年4月至2023年3月每月最低气温与最高气温()的折线统计图:已知每月最低气温与最高气温的线性相关系数,则下列结论正确的是( )
A.月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在8月
B.每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性负相关
C.每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月逐月增加
D.9-12月的月温差相对于5-8月,波动性更小
4．下列说法不正确的是( )
A.若,则
B.命题,,则,
C.回归直线方程为,则样本点的中心可以为
D.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c则“”是“”的充要条件
5．已知实数x,y满足,则的最小值为( )
A.1B.C.D.
6．已知数列为等比数列且,,设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.或18B.C.18D.2
7．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
8．的展开式中x3y3的系数为( )
A.5B.10C.15D.20
9．已知函数,,,且的最小值为,则的值为( )
A.B.C.1D.2
10．如图,正方体的棱长为2,线段上有两个动点E,F(E在的左边),且.下列说法不正确的是( )
A.当E运动时,二面角的最小值为
B.当E,F运动时,三棱锥体积不变
C.当E,F运动时,存在点E,F使得
D.当E,F运动时,二面角为定值
11．已知为双曲线的左焦点,过点的直线与圆交于A,B两点(A在,B之间),与双曲线E在第一象限的交点为P,若,(O为坐标原点),则双曲线E的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知函数有三个不同的零点,,,且.则实数的值为( )
A.B.C.D.1
二、填空题
13．已知向量,,且,则________.
14．在中,,,,则________
15．如图,在中,,,D是BC的中点,以AD为折痕把折叠,使点C到达点的位置,则当三棱锥体积最大时,其外接球的体积为________.
16．已知抛物线的焦点为F,准线为l,点在抛物线上,点K为l与y轴的交点,且,过点向抛物线作两条切线,切点分别为A,B,则________
三、解答题
17．已知数列前n项和为.从下面①②中选择其中一个作为条件解答试题,
①数列是等比数列,,且,,成等差数列;
②数列是递增的等比数列,,;
（1）求数列的通项公式;
（2）已知数列的前n项的和为,且.证明:.
18．某企业举行招聘考试,共有1000人参加,分为初试和复试,初试成绩总分100分,初试通过后参加复试.
（1）若所有考生的初试成绩近似服从正态分布,其中,,试估计初试成绩不低于80分的人数;(精确到个位数)
（2）复试共三道题,每答对一题得10分,答错得0分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y,求Y的分布列及期望.
附:若随机变量X服从正态分布,则:,,.
19．如图,已知四棱锥中,,是面积为的等边三角形且,.
（1）证明:;
（2）求平面BSA与平面SCD所成角的余弦值.
20．已知椭圆的左,右顶点为,,点G是椭圆C的上顶点,直线与圆相切,且椭圆C的离心率为
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）若点Q在椭圆C上,过左焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点(不在x轴上)且(O为坐标原点),求的取值范围.
21．已知函数,其中,.
（1）求函数的单调区间;
（2）当时,函数恰有两个零点,求a的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中,已知曲线(为参数),在极坐标系中,曲线是以为圆心且过极点O的圆.
（1）分别写出曲线普通方程和曲线的极坐标方程;
（2）直线与曲线,分别交于M,N两点(异于极点),求.
23．已知函数,.
（1）若,求不等式的解集;
（2）已知,若对任意,都存在,使得,求实数t的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意,,所以.
故选:A.
2．答案：D
解析：,则,
故选:D.
3．答案：C
解析：对选项A:月温差(月最高气温-月最低气温)的最大值出现在10月,错误;
对选项B:每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性,且二者为线性正相关,错误;
对选项C:每月最高气温与最低气温的平均值在4-8月分别为20.5,23,26.5,29,30,逐月增加,正确;
对选项D:9-12月的月温差为20,31,24,21;5-8月的月温差为18,17,16,16,9-12月的月温差的波动性更大,错误;
故选:C.
4．答案：B
解析：对于选项A,因为,所以,所以,故A正确;
对于选项B,根据命题的否定的定义,,,故B错误;
对于选项C,把代入,得,所以样本点的中心可以为,故C正确;
对于选项D,当时,根据三角形中大边对大角,得,再根据正弦定理得,
当时,根据正弦定理得,根据三角形中大边对大角,则,故D正确.
故选:B.
5．答案：D
解析：画出不等式组表示的可行域,如图中阴影三角形,
由,解得,即点,
目标函数,即表示斜率为3,纵截距为的平行直线系,
当直线过点时,该直线的纵截距最小,最小,即,
所以的最小值为最小值为.
故选:D
6．答案：C
解析：设数列的公比为q,则,所以,
所以,
所以.
故选:C.
7．答案：B
解析：,则的定义域为R,
又,
所以为奇函数,图象关于原点对称,故排除CD,
当时,,故排除A.
故选:B.
8．答案：C
解析：展开式的通项公式为(且)
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为:
和
在中,令,可得:,该项中的系数为10,
在中,令,可得:,该项中的系数为5
所以的系数为
故选:C
9．答案：B
解析：,
是函数的最大值,由题意可知,的最小值是个周期,
所以,得.
故选:B
10．答案：C
解析：对A:建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,.
因为E,F在上,且,,
可设,则,
则,,
设平面ABE的法向量为,
又,所以,即,
取,则,
平面的法向量为,所以.
设二面角的平面角为,则为锐角,故,
因为,在上单调递减,
所以,故,
当且仅当时,取得最大值,即取最小值,故A说法正确.
对B:因为,点A到平面的距离为,
所以体积为,即体积为定值,故B说法正确.
对C:若,则A,B,,四点共面,与AB和是异面直线矛盾,故C说法错误.
对D:连接,,CD,平面EFB即为平面,而平面CEF即为平面,故当E,F运动时,二面角的大小保持不变,故D说法正确.
故选:C
11．答案：D
解析：作,垂足为M,
因为,,所以,
又,所以M点为中点,另外,所以,,
所以,,
由双曲线的定义有,所以,
所以,在中,,
又,所以,化简得.
故选:D
12．答案：D
解析：令,则,当时,y是增函数,当时,y是减函数;
又x趋向于0时y趋向负无穷,x趋向于正无穷时y趋向0,且,
令,则,要使有3个不同零点,
则必有2个零点,,若,则或,
所以有两个不同的根点,,则,
所以或,且,,
①若,,与点,的范围相矛盾,故不成立;
②若,则方程的两个根,一正一负,即,;
又,则,且,,
故.
故选:D
13．答案：
解析：由题设,且,
所以,则.
故答案为:
14．答案：
解析：因为,
所以,
所以,
故答案为:.
15．答案：
解析：如图,由题意,当平面平面ABD,即平面时,三棱锥的体积最大.
,D是BC的中点,,即AD,BD,两两垂直,
又,,,,.
如图,作长方体,则三棱锥的外接球,即是长方体的外接球,
设长方体的外接球的半径为R,则,
.
当三棱锥体积最大时,其外接球的体积为.
故答案为:.
16．答案：1
解析：把点,代入抛物线,得,则点,
作,垂直为H,设,所以,,易知,
在中,因为,即,得,
所以,得,所以抛物线标准方程为:,
设A,B两点的坐标分别为,,
因为,所以,,又,
所以切线PA的直线方程为:,化简得,
因为经过点,所以,同理可得,,
所以点A,B的坐标满足方程,即直线AB的方程为,
联立消y得,,
所以,,
所以
故答案为:1.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）选①:因为数列是等比数列,设公比为q,,且,,成等差数列,
所以,解得,所以;
选②:因为数列是递增的等比数列,,,
所以,所以,,,
所以;
（2）由（1）知:,且,
所以.
18．答案：（1）159
（2）分布列见解析,期望为19.5
解析：（1）因为学生初试成绩X服从正态分布,其中,,
则,
所以
,
所以估计初试成绩不低于的人数为人.
（2）Y的取值分别为0,10,20,30,
则,
,
,
.
故Y的分布列为:
所以数学期望为.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,所以,
因为的面积为的等边三角形,即,所以,
因为,所以,,则,
又因为,,SA,平面SAB,所以,平面SAB,
因为平面SAB,所以,.
（2）取AB的中点E,连接SE,
因为为等边三角形,则,
又因为平面SAB,以点E为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的
正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,
设平面SCD的法向量为,则,
取,可得,
易知平面SAB的一个法向量为,
所以,,
所以平面SAB与平面SCD所成角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设因为与圆相切,
所以:
,所以,,
所以椭圆方程为
（2）由（1）知的坐标为,
①当直线l的斜率不存在时,,,则;
②当直线l的斜率存在且不为0时,设直线l的方程为且,
联立,得,
设,,则,,
,
设点,则,即,代入椭圆方程得,
解得,,所以,
所以,
又,所以的取值范围是.
综上所述,的取值范围是.
21．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）,
,,
当时,恒成立,函数在上单调递增.
当时,
当时,;当时,.
函数在上单调递减,在上单调递增.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为,无单调递减区间;
当时,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
（2）函数恰有两个零点,
等价于方程有两个不等的实数解.
,,,
令,则.
令,则.
当时,;当时,.
函数在上单调递增,在上单调递减.
,
方程有唯一解.
方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解.
等价于方程有两个不相等的实数解.
构造函数,则.
,
当时,;当时,.
函数在上单调递增,在上单调递减.
,;,.
只需要,即.
构造函数,则.
当时,;当时,.
函数在上单调递减,在上单调递增.
,
当时,恒成立.
a的取值范围为.
22．答案：（1）,
（2）
解析：（1）由题意可知,曲线是以点为圆心,半径为2的圆,
故曲线的普通方程为,
将点的极坐标化为直角坐标为,则曲线的半径为1,
所以,曲线的普通方程为,即,
所以,曲线的极坐标方程为,即.
（2）曲线的普通方程为,化为极坐标方程为,即,
设点M的极坐标为,点N的极坐标为,
由题意可得,,故.
23．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
因为,
当时,即,;
当时,即,;
当时,即,,
综上可得不等式的解集为
（2）,
当且仅当时取等号,,
又,且,
,
当且仅当,即,时等号成立,
所以
根据题意可得,解得或,
的取值范围是.
Y
0
10
20
30
P