2024年中考数学一轮复习 考点八：圆和相似 专题训练（长沙专用）

这是一份2024年中考数学一轮复习 考点八：圆和相似 专题训练（长沙专用），共9页。试卷主要包含了圆周角定理及其推论，垂径定理及其推论，三角形的外接圆，与切线性质有关的证明与计算，与切线判定有关的证明与计算，扇形有关的计算等内容，欢迎下载使用。
1.圆周角定理及其推论（8年8考）
2.垂径定理及其推论（8年6考）
3.三角形的外接圆
4.与切线性质有关的证明与计算（8年3考）
5.与切线判定有关的证明与计算（8年3考）
6.扇形有关的计算（8年4考）
7.
知识整合：
一、圆的有关概念
1.与圆有关的概念和性质
1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形
2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦
3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧
4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.
5)圆周角:顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角
6)弦心距:圆心到弦的距离.
2.注意
1)经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条，
2)3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个。
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆
二、垂径定理及其推论
1.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，关于垂径定理的计算
常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，
2.推论
1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并目平分弦所对的两条弧;2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
三、圆心角、弧、弦的关系
1.定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立
2.推论:在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
四、圆周角定理及其推论
1.定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.推论:
1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
2)直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补，在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化;同弧或等弧的圆周角间的转化;连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等
五、与圆有关的位需关系
1.点与圆的位器关系
设点到圆心的距离为 d.
dr↔点在◎0外
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可
2.直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况。
六、切线的性质与判定
1.切线的性质
1)切线与圆只有一个公共点；
2)切线到圆心的距离等于圆的半径；
3)切线垂直于经过切点的半径
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题
2.切线的判定
1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).
2到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
切线判定常用的证明方法:①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直;②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径，
七、三角形与圆
1.三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形，外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等，
2.三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等
八、正多边形的有关概念
正多边形中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形半径:正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径
正多边形中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角
正多边形边心距:正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
九、与圆有关的计算公式
1.弧长和扇形面积的计算:扇形的弧长 ;扇形的面积
2.圆锥与侧面展开图
01 基础题夯实
选择题
1.若一个扇形的半径为 3,圆心角为 120°,则该扇形的面积为( )
π B.2π C.3π D.4π
2.如图,小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面,已知扇形的圆心角为216°,面积是15πcm2,那么这个圆锥的高是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
第2题 第3题 第4题
3.如图，AB是⊙O的直径，点C和点D分别位于AB的两侧，若BC=2AC，则cs∠BDC=( )
12 B.2 C.255 D. 55
4.如图,正方形 ABCD 的边长为1,以A 点为圆心,以 AC长为半径画圆弧,交数轴于点E,则E点对应的数为（ ）
A.1-2 B.2-1 C.1 D.2
5.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD分别与⊙0相切于点 C,D.若∠CPA=
40°,则∠CAD 的度数为（ ）
A.40° B.60° C.50° D.70°
6.如图,BD 是⊙O 的直径,A,C在圆上,∠A=50°，∠DBC 的度数是（ ）
A.50° B. 45 C.40° D.35°
第5题 第6题 第7题
7.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AD是⊙O的直径,⊙O的半径为32 ，AC=5,则 tan B 的值是（ ）
A.52 B .53 C.32 D .23
8.如图,⊙O的半径为9，AB是弦,0C⊥AB于点C,将劣弧AB沿弦AB 折叠交OC于点D.若OD=DC,则弦 AB 的长为（ ）
A.53 B. 65 C.35 D.43
二、填空题
9.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB 于点E，DB//OC,⊙O的半径为 6,则弦CD 的长为 。

第9题 第10题 第11题
10.如图,AB 是⊙0的直径,弦 CD⊥AB 于H,∠A=30°, ⊙O的半径是2,则CD = .
11.如图,AB是⊙O的直径,点D在O上,∠AOD=130°,BC//OD交⊙0于C,则ㄥA 的度数为 .
12.如图,AB是⊙O的直径,弦CDLAB于E,CD=6,AE=1,则⊙O的直径为 。
第12题 第13题 第14题 第15题
13.如图,已知 CD为⊙O的直径,AB为⊙O的弦,且CD⊥AB，若CD=10,AB=8,则 CE 的长是 。
14.如图,A,B,C,D都是O上的点,OA⊥BC,垂足为E若∠OBC=25°,则∠ADC等于 度
15.图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,连接 OD,AC.若∠CAO=70°,则∠BOD 的度数为 。
16.如图,从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 120°的扇形 ABC,如果剪下来的扇形围成一个圆锥,那么该圆锥的底面圆的半径为 m.
三、解答题
1.如图,已知 PA,PB 是⊙O的两条切线,直径 BD 所在直线与 PA 的延长线相交于点E,过点 B作 BF⊥PA 于点F.
求证:△PBF ∽ △BDG;
(2)若⊙0的半径为5，PB=15,求 EF的长
2.如图,在△ABC中,D为BC 边上的一点,过A,C,D三点的⊙O交AB于点E,已知BD=AD,
∠BAD=2∠DAC=36°
(1)求证:AD 是⊙O的直径;
(2)过点区作EF⊥BC于点F,求证:EF与⊙O相切.
3.如图,在等腰△ABC中,AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC 于点D,过点 D作 DE⊥AB,垂
足为 E.
(1)求证:DE是⊙O的切线，
(2)若DE= 3,∠C=30°,求弧CD的长
4.如图,⊙O是△ABC 的外接圆,BC为⊙O的直径,E为△ABC的内心,连接 AE并延长交⊙O于D 点,连接 BE.
(1)求证:点D为弧BC的中点;
(2)求证:DB=DE;
(3)若过C点的切线与BD 的延长线交于点F,已知 DE=42,求弧DC、线段 DF 和线段 CF 围成的阴影部分面积.
5.如图,在四边形 ABCD 中,AD//BC,∠A=∠B=90°,以腰 AB 为直径作⊙O,OD 平分
∠ADC
(1)求证:CD 与⊙O相切;
(2)若OD=6,0C=8,求阴彤部分的面积
6.如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB 相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长 CD 交GB的延长线于点P ,连接 BD.
求证:PG与⊙0相切;
(2)若EF AC = 58 ,求BE CC 的值。
7.如图,在△ABC中,BA=BC,以 AB为直径的⊙0分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与
⊙O 的切线 AF 交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=210，sin∠CAF=1010,求 BE的长。
8.如图,已知AB-AC,PA=PC,若 PA 为△ABC 的外接圆⊙O 的切线,
(1)求证:PC为⊙0的切线;
(2)连接 BP,若 sin∠BAC=35 ，求 tan∠BPC 的值
9.如图,AB 为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,OD ⊥AB 交AC 于点E，ED=DC.
(1)求证;DC是⊙O的切线:
(2)者OA=4,OE=2,求cs D.
10.如图,口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD
求证:四边形 ABCD 是菱形;
若OA=2,且tan∠BAC= 32 , 求口ABCD 的周长.
11.如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF=AB.
（1）求证:BD⊥EC
（2）若AB=1，求AE的长