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广东省广州市天河区华工附中、暨大附中、南国学校、华颖学校四校联合2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（解析版+原卷版）
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1. 下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点P( 2 ， 3 )关于y轴对称的点Q的坐标是（-2，3），
故选A．
【点睛】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 2，3，5C. 3，5，9D. 8，4，4
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系对各选项中的线段分别进行计算，并作出判断，即可得出结论．
【详解】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＝5，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形三边关系并能准确应用其进行判断是解答此题的关键．
4. 如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6. 如图，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOC=50°，再根据三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠AOC=50°，
∵ ∠AOC是△COE的外角，
∴∠E=∠AOC-∠C=50°-20°=30°．
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，熟练掌握两个定理是解题关键．
7. 如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形面积公式得到，则，从而可求出的长．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
8. 如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（ ）
A. 是等腰三角形，
B. 折叠后和一定全等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形
D. 和一定是全等三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答，根据题意结合图形可以证明，进而证明；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决．
【详解】解：由题意得：，
∴；；
又∵四边形为矩形，
∴；
∴；
∴，
∴为等腰三角形；
在与中，
，
∴；
又∵为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形；
综上所述，选项A、C、D成立，
∴下列说法错误的是B，
故选：B．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm
【答案】C
【解析】
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6，
∴MN=2．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A2的边长为2，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为4，△A4B4A5的边长为：24=16，则△A5B5A6的边长为：25=32．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB1A1，
∴B1A1=OA1=2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理得：∠OB2A2=30°，
∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4，
∴△A2B2A3的边长为4，
同理可得：△A3B3A4的边长为：23=8，
△A4B4A5的边长为：24=16，
则△A5B5A6的边长为：25=32，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知中，，，若，则_________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意知是等边三角形，三边相等即可求AC的长．
【详解】解：∵
∴是等边三角形
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．解题的关键在于掌握等边三角形的判定与性质．
12. 等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分的角为顶角和底角两种情况结合三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：当等腰三角形的底角是时，则该等腰三角形的顶角度数为；
当等腰三角形的顶角是时，则该等腰三角形的底角度数为；
∴该等腰三角形的另外两个角的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形两底角相等是解题的关键．
13. 如图，已知，添加一个条件，使，你添加的条件是____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】要使，已知，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一．
【详解】可以添加，
在和中，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14. 如图，在等腰三角形中，，，D为边的中点．若，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，等边的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为 ___．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质．由等边三角形的三边相等且周长为9，求出的长为3，且；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知，再由等边对等角推知；最后由外角定理求出也为，根据等角对等边得到，都等于边长的一半，从而求出的值．
【详解】解：∵为等边三角形，D为边上的中点，
∴为的平分线，且，即，
又，
∴，
∴，即，
∴；
∵等边的周长为9，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ___．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一得到，故②③正确；通过，得到，故④正确，根据和不一定相等，得到①错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，故②③正确，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵不一定是，
∴和不一定相等，
∴和不一定相等，故①错误；
故答案为：②③④．
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．求证：△≌△．
【答案】证明详见解析．
【解析】
【分析】由AC⊥BC，BD⊥AD，得到∠C=∠D=90°，又有公共边相等，根据斜边、直角边定理判定这两个直角三角形全等．
【详解】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C=∠D=90°，
在Rt△ACB和 Rt△BDA 中，
，
∴ △ACB≌ △BDA（HL）．
18. 如图，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由“”可证，可得结论．
【详解】证明：，
，
，
和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．
【答案】∠EAD=10°．
【解析】
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=80°，
又AD是BC边上的高，
∴∠EAD=90°-80°=10°．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于x轴对称的；
（2）请求出的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得最小．
【答案】（1）见解析 （2）3.5
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）作A点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点．
【小问1详解】
解：与关于x轴对称，，
，
如图，为所作；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：如图，点P为所作．
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明即可证明BE＝CF．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴，
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明；
（2）若点D为线段BC中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF=∠CDE．
【答案】（1）BG=CD，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明△CBG≌△ACD（ASA），可得BG=CD；
（2）证明△BFD≌△BFG（SAS），推出∠BDF=∠G，由△CBG≌△ACD，推出∠ADC=∠G，可得∠BDF=∠CDE．
【详解】（1）解：结论：CD=BG．
理由：如图1中，
∵CG⊥AD，BG⊥BC，
∴∠CEA=∠CBG=∠ACD=90°，
∴∠BCG+∠ACE=90°，
∵∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG=CD．
（2）解：图形如图2所示．
证明：∵D是CB的中点，
∴CD=BD，
∵BG=DC，
∴BD=BG，
∵CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠CBA=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠FBD=∠FBG=45°，
在△FBD和△FBG中，
，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴∠BDF=∠G，
∵△CBG≌△ACD，
∴∠ADC=∠G，
∴∠BDF=∠CDE．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23. 如图，在中，．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若，求的度数；
②若的面积是12，，点M、N分别是上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①②6
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2））①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后计算即可；
②如图，根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形三边的关系得到（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短得到当时，的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，∵垂直平分，
∴，
∴（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当时，的长度最小，
∵，
∴，
∴的最小值为6．
24. 如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．
用含t的代数式表示出．
（1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
【小问1详解】
解：在中，
，，
．
，
.
当时，为等边三角形．
即．
∴．
当时，为等边三角形；
【小问2详解】
若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
25. 如图1，已知正方形（正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，且直角的一边与相交于E点，另一边与的延长线相交于F点．
（1）求证：；
（2）如图2，若作的平分线交于G点，连接，请问线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“”，当的一边与的延长线相交于E点，另一边与的延长线相交于F点，连接．线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．
【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据等角的余角相等得，则可根据“”证明，然后根据全等的性质即可得到；
（2）由得，再根据角平分线的定义得，然后根据“”可判断，得到，由于，所以；
（3）作交于G点，如图3，与（1）一样可证明，得到，；再与（2）一样可证明，得到，利用，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，即，
而，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线交于G点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
而，
∴；
（3）解：．理由如下：
作交于G点，如图3，
与（1）一样证明，
∴，
∵，
∴，
与（2）一样证明，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．
1. 下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点P( 2 ， 3 )关于y轴对称的点Q的坐标是（-2，3），
故选A．
【点睛】本题考查了关于y轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3 在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 2，3，5C. 3，5，9D. 8，4，4
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边关系对各选项中的线段分别进行计算，并作出判断，即可得出结论．
【详解】解：A、2+3＞4，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＝5，不能够组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＝8＜9，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、4+4＝8，不能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形三边关系并能准确应用其进行判断是解答此题的关键．
4. 如果一个多边形的内角和等于720°，则它的边数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：这个正多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
则这个正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
5. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6. 如图，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠AOC=50°，再根据三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠A=∠AOC=50°，
∵ ∠AOC是△COE的外角，
∴∠E=∠AOC-∠C=50°-20°=30°．
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，熟练掌握两个定理是解题关键．
7. 如图，在中，、分别是边上的中线和高，，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形面积公式得到，则，从而可求出的长．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形面积公式：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
8. 如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（ ）
A. 是等腰三角形，
B. 折叠后和一定全等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形
D. 和一定是全等三角形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答，根据题意结合图形可以证明，进而证明；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决．
【详解】解：由题意得：，
∴；；
又∵四边形为矩形，
∴；
∴；
∴，
∴为等腰三角形；
在与中，
，
∴；
又∵为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形；
综上所述，选项A、C、D成立，
∴下列说法错误的是B，
故选：B．
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（ ）
A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm
【答案】C
【解析】
【分析】此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．
【详解】连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=6，
∴MN=2．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 8B. 16C. 24D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=2，得出△A1B1A2的边长为2，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为4，△A4B4A5的边长为：24=16，则△A5B5A6的边长为：25=32．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠OB1A1=60°-30°=30°，
∴∠MON=∠OB1A1，
∴B1A1=OA1=2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理得：∠OB2A2=30°，
∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=2+2=4，
∴△A2B2A3的边长为4，
同理可得：△A3B3A4的边长为：23=8，
△A4B4A5的边长为：24=16，
则△A5B5A6的边长为：25=32，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分．）
11. 已知中，，，若，则_________．
【答案】5
【解析】
【分析】由题意知是等边三角形，三边相等即可求AC的长．
【详解】解：∵
∴是等边三角形
∴
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．解题的关键在于掌握等边三角形的判定与性质．
12. 等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分的角为顶角和底角两种情况结合三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：当等腰三角形的底角是时，则该等腰三角形的顶角度数为；
当等腰三角形的顶角是时，则该等腰三角形的底角度数为；
∴该等腰三角形的另外两个角的度数是或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形两底角相等是解题的关键．
13. 如图，已知，添加一个条件，使，你添加的条件是____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】要使，已知，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可，答案不唯一．
【详解】可以添加，
在和中，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14. 如图，在等腰三角形中，，，D为边的中点．若，则的长为______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论．本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，等边的周长是9，D是边上的中点，E在的延长线上．若，则的长为 ___．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的性质．由等边三角形的三边相等且周长为9，求出的长为3，且；然后根据等边三角形的“三合一”的性质推知，再由等边对等角推知；最后由外角定理求出也为，根据等角对等边得到，都等于边长的一半，从而求出的值．
【详解】解：∵为等边三角形，D为边上的中点，
∴为的平分线，且，即，
又，
∴，
∴，即，
∴；
∵等边的周长为9，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 ___．
【答案】②③④
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质三线合一得到，故②③正确；通过，得到，故④正确，根据和不一定相等，得到①错误．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，故②③正确，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，故④正确；
∵不一定是，
∴和不一定相等，
∴和不一定相等，故①错误；
故答案为：②③④．
三、解答题（共9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
17. 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD．求证：△≌△．
【答案】证明详见解析．
【解析】
【分析】由AC⊥BC，BD⊥AD，得到∠C=∠D=90°，又有公共边相等，根据斜边、直角边定理判定这两个直角三角形全等．
【详解】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴ ∠C=∠D=90°，
在Rt△ACB和 Rt△BDA 中，
，
∴ △ACB≌ △BDA（HL）．
18. 如图，已知，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由“”可证，可得结论．
【详解】证明：，
，
，
和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠B=40°，∠C=60°，求∠EAD的度数．
【答案】∠EAD=10°．
【解析】
【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得∠AED，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=80°．
又AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=40°，
∴∠AED=∠B+∠BAE=80°，
又AD是BC边上的高，
∴∠EAD=90°-80°=10°．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
20. 如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于x轴对称的；
（2）请求出的面积；
（3）请在y轴上找一点P，使得最小．
【答案】（1）见解析 （2）3.5
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）作A点关于y轴的对称点，连接交y轴于P点．
【小问1详解】
解：与关于x轴对称，，
，
如图，为所作；
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：如图，点P为所作．
21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证明即可证明BE＝CF．
【详解】证明：∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE＝DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中
，
∴，
∴BE＝CF．
【点睛】本题考查了HL证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC．D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）写出与BG相等的线段，并证明；
（2）若点D为线段BC中点，其余条件不变，连接DF．根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF=∠CDE．
【答案】（1）BG=CD，理由见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明△CBG≌△ACD（ASA），可得BG=CD；
（2）证明△BFD≌△BFG（SAS），推出∠BDF=∠G，由△CBG≌△ACD，推出∠ADC=∠G，可得∠BDF=∠CDE．
【详解】（1）解：结论：CD=BG．
理由：如图1中，
∵CG⊥AD，BG⊥BC，
∴∠CEA=∠CBG=∠ACD=90°，
∴∠BCG+∠ACE=90°，
∵∠ACE+∠EAC=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG=CD．
（2）解：图形如图2所示．
证明：∵D是CB的中点，
∴CD=BD，
∵BG=DC，
∴BD=BG，
∵CB=CA，∠ACB=90°，
∴∠CBA=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠FBD=∠FBG=45°，
在△FBD和△FBG中，
，
∴△BFD≌△BFG（SAS），
∴∠BDF=∠G，
∵△CBG≌△ACD，
∴∠ADC=∠G，
∴∠BDF=∠CDE．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
23. 如图，在中，．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为E，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①若，求的度数；
②若的面积是12，，点M、N分别是上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①②6
【解析】
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．
（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2））①根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，然后计算即可；
②如图，根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形三边的关系得到（当且仅当A、N、M共线时取等号），再利用垂线段最短得到当时，的长度最小，然后根据三角形面积公式计算出即可．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：①∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
②如图，∵垂直平分，
∴，
∴（当且仅当A、N、M共线时取等号），
∵当时，的长度最小，
∵，
∴，
∴的最小值为6．
24. 如图，在中，，，，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在边上匀速移动，它们的速度分别为，，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为．
（1）当t为何值时，为等边三角形？
（2）当t为何值时，为直角三角形？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形以及分类讨论的思想方法，利用“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”及“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，得到关于t的一次方程是解决本题的关键．
用含t的代数式表示出．
（1）由于，当时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；
（2）分两种情况进行讨论：当时，当时．利用直角三角形中，含角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．
【小问1详解】
解：在中，
，，
．
，
.
当时，为等边三角形．
即．
∴．
当时，为等边三角形；
【小问2详解】
若为直角三角形，
①当时，，
即
．
②当时，，
即，
．
即当或时，为直角三角形．
25. 如图1，已知正方形（正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，且直角的一边与相交于E点，另一边与的延长线相交于F点．
（1）求证：；
（2）如图2，若作的平分线交于G点，连接，请问线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“”，当的一边与的延长线相交于E点，另一边与的延长线相交于F点，连接．线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．
【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据等角的余角相等得，则可根据“”证明，然后根据全等的性质即可得到；
（2）由得，再根据角平分线的定义得，然后根据“”可判断，得到，由于，所以；
（3）作交于G点，如图3，与（1）一样可证明，得到，；再与（2）一样可证明，得到，利用，即可得到．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
∴，
∵，即，
而，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵的平分线交于G点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
而，
∴；
（3）解：．理由如下：
作交于G点，如图3，
与（1）一样证明，
∴，
∵，
∴，
与（2）一样证明，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．
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