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2023-2024学年江苏省苏州市工业园区青剑湖实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省苏州市工业园区青剑湖实验中学八年级（上）月考数学试卷（10月份）(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)∠BAC=∠B′A′C′；(3)直线l垂直平分CC′；(4)直线l平分∠CAC′.正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是( )
A. 16B. 20C. 16或20D. 12
4.如图，△ABC中，点D为AB上一点，且AB=AC=CD，∠2=80°，则∠1=( )
A. 20°
B. 50°
C. 30°
D. 10°
5.如图，仔细观察用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE示意图，请你根据所学知识，说明画出的∠AOE=∠BOE的依据是( )
A. ASAB. SASC. AASD. SSS
6.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A. 80°或20°B. 80°C. 80°或50°D. 20°
7.如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是( )
A. 94°B. 96°C. 102°D. 128°
8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q.若∠PAQ=40°，则∠BAC的度数是( )
A. 140°B. 110°C. 100°D. 70°
9.如图点P是∠AOB内任意一点且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为( )
A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠B=______°.
12.已知直角三角形斜边长为10cm，则此直角三角形斜边上的中线长是______cm．
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于______．
14.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A′DB的度数为______．
15.如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE，若∠AOB=40°，∠OPE= ______．
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD=56°，则∠EDB的度数为______度.
17.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=8，AC=4，则BE= ______．
18.如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=______时，△POQ是等腰三角形．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______DB(填“>”，“<”或“=”)．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果)．
四、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；
(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB．
22.(本小题4分)
某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
23.(本小题8分)
如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：点O在∠BAC的平分线上．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
25.(本小题10分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项C中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】D
【解析】解：因为△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
所以(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)∠BAC=∠B′A′C′；
(3)直线l垂直平分CC′；
(4)直线l平分∠CAC′．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△A′B′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：若4为腰，则三角形三边为：4，4，8，
∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，
故舍去，
若8为腰，则三角形三边为：4，8，8，
∵4+8>8
∴4，8，8能构成三角形，
∴三角形的周长为：4+8+8=20，
故选：B．
分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形三边关系可求解．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵CD=CA，
∴∠2=∠A=80°，
∴∠ACD=180°−∠2−∠A=20°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=50°，
∴∠1=∠ACB−∠ACD=30°，
故选：C．
先利用等边对等角可得∠2=∠A=80°，从而利用三角形内角和定理可得∠ACD=20°，然后再利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=50°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
根据用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE的过程可得△ODE≌△OCE(SSS)即可判断．
【解答】
解：根据用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE的过程可知：
OD=OC，
DE=CE，
OE=OE，
∴△ODE≌△OCE(SSS)
∴∠AOE=∠BOE．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：A．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
7.【答案】B
【解析】解：∵长方形的对边AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF=28°，
∴∠CFE=180°−3×28°=96°．
故选：B．
根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，观察图形，判断出重叠部分重叠了3层是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA=PB，AQ=CQ，
∴∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴2(∠B+∠C)+∠PAQ=180°，
∵∠PAQ=40°，
∴∠B+∠C=70°，
∴∠BAC=180°−70°=110°．
故选：B．
由在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形的内角和定理可得2(∠B+∠C)+∠PAQ=180°，结合∠PAQ=40°，易求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，根据对称性求出∠P1OP2=80°，在△OP1P2中先求出∠OP1P2+∠OP2P1，再求出∠MPN．
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长为PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，
由对称性可知：OP1=OP，MP=P1M，∠P1OM=∠POM，∠P2ON=∠PON，
所以∠OP1P=∠P1PO，∠PP1M=∠MPP1，∠P1OP2=2(∠POM+∠PON)=2∠AOB=80°，
因为∠OP1M=∠OP1P−∠PP1M，∠MPO=∠P1PO−∠MPP1，
所以∠OP1M=∠MPO，
同理可得：∠NPO=∠NP2O，
在△OP1P2中，因为∠OP1P2+∠OP2P1=180°−∠P1OP2=100°，
所以∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或DA=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADC=60°+40°=100°，
∴∠EDC=100°−40°=60°，故④错误，
故选：C．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=DE或DA=DE，当AE=DE时，∠BAD=60°，求出∠EDC=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：∵等腰三角形中，∠A=110°>90°，
∴∠B=180°−110°2=35°，
故答案为：35．
根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．
12.【答案】5
【解析】解：∵直角三角形斜边长为10cm，
∴斜边上的中线长为5cm．
故答案为5．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一性质，即可推出斜边上的中线长为5cm．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于认真的进行计算．
13.【答案】70°或110°
【解析】解：当高在三角形内部时(如图1)，顶角是70°；
当高在三角形外部时(如图2)，顶角是110°．
故答案为：70°或110°．
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14.【答案】10°
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，
∴∠A′=∠A=40°，
∴∠A′DB=∠ABC−∠A′=50°−40°=10°，
故答案为：10°．
求出∠ABC=50°，根据将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，得∠A′=∠A=40°，故∠A′DB=∠ABC−∠A′=10°．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握直角三角形性质和翻折的性质．
15.【答案】60°
【解析】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OC平分∠AOB，
∴∠BOC=12∠AOB=30°，
∵PE⊥OB，
∴∠OEP=90°，
∴∠OPE=90°−∠BOC=60°，
故答案为：60°．
根据角平分线性质定理的逆定理可得：OC平分∠AOB，从而可得∠BOC=30°，然后根据垂直定义可得∠OEP=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】112
【解析】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，
∴EA=EB=EC=DE，
∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，
在△AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，
同理可得到：∠BEC=2∠BAE，∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠BAE=2(∠DAE+∠BAE)=2×56°=112°，
故答案为：112．
根据已知条件可以判断EA=EB=EC=DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，同理∠BEC=2∠BAE，∠DEB=2∠DAE+2∠BAE=2∠DAB=116°．
本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：连接CD、BD，
∵∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠F=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=8，AC=4，
∴8−BE=4+CF，
∴8−BE=4+BE，
解得BE=2，
故答案为：2．
连接CD、BD，因为∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，所以BD=CD，而DE⊥AB，DF⊥AC，则DE=DF，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE=AF，则8−BE=4+BE，求得BE=2，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.【答案】解：分两种情况：(1)当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP=OC−CP=OQ，
即10−2t=t，
解得，t=103s；
(2)当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，
∵∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，
即2(t−5)=t，
解得，t=10s
故填103s或10s．
【解析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：(1)当点P在线段OC上时；(2)当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)=；
(2)=；∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，
(3)CD的长是1或3
【解析】解：(1)故答案为：=．
(2)过E作EF//BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．
(3)解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM//EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM//EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴ABBE=BMBN，
∴12−1=12BN，
∴BN=12，
∴CN=1+12=32，
∴CD=2CN=3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM//EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM//EN，
∴ABAE=BMMN，
∴12=12MN，
∴MN=1，
∴CN=1−12=12，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
(2)过E作EF//BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解(2)小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解(3)小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，点P即为所求作．
(3)如图，点Q即为所求作．
【解析】本题考查作图−轴对称变换，角平分线的性质，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作；
(3)∠ACB的平分线与直线l的交点Q即为所求作．
21.【答案】(1)解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；
(2)证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质．
(1)由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°；
(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由(1)得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
22.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠AOB的角平分线OC，连接MN作线段MN的垂直平分线EF，EF交OC于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题．
23.【答案】证明：如图，连接AO．
(1)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，
∠BEC=∠CDB∠BCE=∠DBCBC=CB，
∴△BCD≌△CBE(AAS)，
∴∠DBC=∠ECB，
故AB=AC．
(2)∵由(1)知，△BCD≌△CBE，
∴BD=CE．
∵OB=OC，
∴BD−OB=EC−OC
∴OD=OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，
AO=AOOD=OE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠DAO=∠EAO，
∴OA平分∠BAC．
【解析】(1)先根据条件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，则∠DBC=∠ECB，故AB=AC．
(2)由(1)中全等三角形的性质得到：BD=CE，就可以得出OE=OD，再证明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出结论．
本题考查了垂直的性质的运用，AAS，HL证明三角形全等的运用，等式的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形是关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB−AP=16−t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16−t=2t，解得t=163，
∴出发163秒后△PQB能形成等腰三角形；
(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10(秒)，
∴BC+CQ=22(秒)，
∴t=22÷2=11(秒)．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24(秒)，
∴t=24÷2=12(秒)．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【解析】(1)用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
(2)用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25.【答案】(1)证明：如图2中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条等腰分割线；
(2)解：∵线段AD即为所求分割线，
∴△ABD和△ACD都是等腰三角形，
①如图3，AD=CD=BD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=60°；
②如图4，AD=BD=AC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=30°，
∴∠B=15°；
③如图5，AD=BD，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=180°−30°2=75°，
∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=37.5°，
综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．
【解析】(1)证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可；
(2)根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当DA=DC时，当AD=AC时，当AC=CD时，利用等腰三角形的性质，分别求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
1.如图所示图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)∠BAC=∠B′A′C′；(3)直线l垂直平分CC′；(4)直线l平分∠CAC′.正确的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3.等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是( )
A. 16B. 20C. 16或20D. 12
4.如图，△ABC中，点D为AB上一点，且AB=AC=CD，∠2=80°，则∠1=( )
A. 20°
B. 50°
C. 30°
D. 10°
5.如图，仔细观察用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE示意图，请你根据所学知识，说明画出的∠AOE=∠BOE的依据是( )
A. ASAB. SASC. AASD. SSS
6.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A. 80°或20°B. 80°C. 80°或50°D. 20°
7.如图a是长方形纸带，∠DEF=28°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是( )
A. 94°B. 96°C. 102°D. 128°
8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，Q.若∠PAQ=40°，则∠BAC的度数是( )
A. 140°B. 110°C. 100°D. 70°
9.如图点P是∠AOB内任意一点且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为( )
A. 140°B. 100°C. 50°D. 40°
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E.以下四个结论：
①∠CDE=∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当∠BAD=30°时，BD=CE；
④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC=30°．
其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠B=______°.
12.已知直角三角形斜边长为10cm，则此直角三角形斜边上的中线长是______cm．
13.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于______．
14.如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠A′DB的度数为______．
15.如图，如果点P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD=PE，若∠AOB=40°，∠OPE= ______．
16.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD=56°，则∠EDB的度数为______度.
17.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=8，AC=4，则BE= ______．
18.如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=______时，△POQ是等腰三角形．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE ______DB(填“>”，“<”或“=”)．
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE ______DB(填“>”，“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出结果)．
四、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题6分)
如图，△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图．
(1)画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l成轴对称；
(2)在直线l上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短；
(3)在直线l上找一点Q，使点Q到边AC、BC的距离相等．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB．
22.(本小题4分)
某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示(点M，N表示大学，OA，OB表示公路)现计划在∠AOB的内部修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．
23.(本小题8分)
如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC
(1)求证：AB=AC；
(2)求证：点O在∠BAC的平分线上．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，B=90°，AB=16cm，BC=12cm，AC=20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
(2)当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
25.(本小题10分)
如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E.求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．
(2)在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD=BD，∠C=30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项C中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】D
【解析】解：因为△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
所以(1)△ABC≌△A′B′C′；
(2)∠BAC=∠B′A′C′；
(3)直线l垂直平分CC′；
(4)直线l平分∠CAC′．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得△ABC和△A′B′C′全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
本题考查了轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：若4为腰，则三角形三边为：4，4，8，
∵4+4=8，
∴4，4，8不能构成三角形，
故舍去，
若8为腰，则三角形三边为：4，8，8，
∵4+8>8
∴4，8，8能构成三角形，
∴三角形的周长为：4+8+8=20，
故选：B．
分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形三边关系可求解．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，利用分类讨论思想解决问题是本题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵CD=CA，
∴∠2=∠A=80°，
∴∠ACD=180°−∠2−∠A=20°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=50°，
∴∠1=∠ACB−∠ACD=30°，
故选：C．
先利用等边对等角可得∠2=∠A=80°，从而利用三角形内角和定理可得∠ACD=20°，然后再利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B=∠ACB=50°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了作图−基本作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
根据用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE的过程可得△ODE≌△OCE(SSS)即可判断．
【解答】
解：根据用直尺和圆规作出∠AOB的角平分线OE的过程可知：
OD=OC，
DE=CE，
OE=OE，
∴△ODE≌△OCE(SSS)
∴∠AOE=∠BOE．
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时，底角为12(180°−80°)=50°；
②当80°角为底角时，另一底角也为80°，顶角为20°；
综上所述：等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是80°或20°；
故选：A．
分两种情况讨论：①当80°的角为顶角时；当80°角为底角时；容易得出结论．
本题是开放题目，考查了等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；注意分类讨论，避免漏解．
7.【答案】B
【解析】解：∵长方形的对边AD//BC，
∴∠BFE=∠DEF=28°，
∴∠CFE=180°−3×28°=96°．
故选：B．
根据两直线平行，内错角相等可得∠BFE=∠DEF，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了3层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，观察图形，判断出重叠部分重叠了3层是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴PA=PB，AQ=CQ，
∴∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴2(∠B+∠C)+∠PAQ=180°，
∵∠PAQ=40°，
∴∠B+∠C=70°，
∴∠BAC=180°−70°=110°．
故选：B．
由在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可求得∠PAB=∠B，∠CAQ=∠C，又由三角形的内角和定理可得2(∠B+∠C)+∠PAQ=180°，结合∠PAQ=40°，易求得∠B+∠C的度数，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轴对称−最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=100°是关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，根据对称性求出∠P1OP2=80°，在△OP1P2中先求出∠OP1P2+∠OP2P1，再求出∠MPN．
【解答】
解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质，可得MP=P1M，PN=P2N，则△PMN的周长为PM+PN+MN=P1M+P2N+MN=P1P2，
由对称性与两点之间线段最短可知此时△PMN的周长的最小值为P1P2，
由对称性可知：OP1=OP，MP=P1M，∠P1OM=∠POM，∠P2ON=∠PON，
所以∠OP1P=∠P1PO，∠PP1M=∠MPP1，∠P1OP2=2(∠POM+∠PON)=2∠AOB=80°，
因为∠OP1M=∠OP1P−∠PP1M，∠MPO=∠P1PO−∠MPP1，
所以∠OP1M=∠MPO，
同理可得：∠NPO=∠NP2O，
在△OP1P2中，因为∠OP1P2+∠OP2P1=180°−∠P1OP2=100°，
所以∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAD=180°−40°−∠ADB，∠CDE=180°−40°−∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDE=50°，
∵∠C=40°，
∴∠DEC=90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠BAD=30°，
∴∠CDE=30°，
∴∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°−70°−40°=70°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴CD=AC，
∵AB=AC，
∴CD=AB，
∴△ABD≌△DCE(ASA)，
∴BD=CE；故③正确；
④∵∠C=40°，
∴∠AED>40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE=DE或DA=DE，
当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=40°，
∵∠BAC=180°−40°−40°=100°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ADC=60°+40°=100°，
∴∠EDC=100°−40°=60°，故④错误，
故选：C．
①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到∠BAD=∠CDE；故①正确；
②根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的内角和即可得到DE⊥AC，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到BD=CE；故③正确；
④根据三角形外角的性质得到∠AED>40°，求得∠ADE≠∠AED，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到AE=DE或DA=DE，当AE=DE时，∠BAD=60°，求出∠EDC=60°，故④错误．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确地识别图形是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：∵等腰三角形中，∠A=110°>90°，
∴∠B=180°−110°2=35°，
故答案为：35．
根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．
12.【答案】5
【解析】解：∵直角三角形斜边长为10cm，
∴斜边上的中线长为5cm．
故答案为5．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这一性质，即可推出斜边上的中线长为5cm．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，关键在于认真的进行计算．
13.【答案】70°或110°
【解析】解：当高在三角形内部时(如图1)，顶角是70°；
当高在三角形外部时(如图2)，顶角是110°．
故答案为：70°或110°．
等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系：三角形内部；三角形的外部；三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
14.【答案】10°
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，
∴∠A′=∠A=40°，
∴∠A′DB=∠ABC−∠A′=50°−40°=10°，
故答案为：10°．
求出∠ABC=50°，根据将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，得∠A′=∠A=40°，故∠A′DB=∠ABC−∠A′=10°．
本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握直角三角形性质和翻折的性质．
15.【答案】60°
【解析】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，
∴OC平分∠AOB，
∴∠BOC=12∠AOB=30°，
∵PE⊥OB，
∴∠OEP=90°，
∴∠OPE=90°−∠BOC=60°，
故答案为：60°．
根据角平分线性质定理的逆定理可得：OC平分∠AOB，从而可得∠BOC=30°，然后根据垂直定义可得∠OEP=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
16.【答案】112
【解析】解：∵∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线AC的中点，
∴EA=EB=EC=DE，
∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，
在△AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，
同理可得到：∠BEC=2∠BAE，∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+2∠BAE=2(∠DAE+∠BAE)=2×56°=112°，
故答案为：112．
根据已知条件可以判断EA=EB=EC=DE，根据三角形外角定理可得到：∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，同理∠BEC=2∠BAE，∠DEB=2∠DAE+2∠BAE=2∠DAB=116°．
本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：连接CD、BD，
∵∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠F=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=CF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∵AB=8，AC=4，
∴8−BE=4+CF，
∴8−BE=4+BE，
解得BE=2，
故答案为：2．
连接CD、BD，因为∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，所以BD=CD，而DE⊥AB，DF⊥AC，则DE=DF，根据“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得BE=CF，再证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE=AF，则8−BE=4+BE，求得BE=2，于是得到问题的答案．
此题重点考查角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.【答案】解：分两种情况：(1)当点P在线段OC上时，
设t时后△POQ是等腰三角形，
有OP=OC−CP=OQ，
即10−2t=t，
解得，t=103s；
(2)当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，
当△POQ是等腰三角形时，
∵∠POQ=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴OP=OQ，
即2(t−5)=t，
解得，t=10s
故填103s或10s．
【解析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：(1)当点P在线段OC上时；(2)当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．
本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)=；
(2)=；∵等边三角形ABC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，∵DE=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠BED=∠ECF，在△DEB和△ECF中∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，∴△DEB≌△ECF，∴BD=EF=AE，即AE=BD，
(3)CD的长是1或3
【解析】解：(1)故答案为：=．
(2)过E作EF//BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．
(3)解：CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM//EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM//EN，
∴△AMB∽△ENB，
∴ABBE=BMBN，
∴12−1=12BN，
∴BN=12，
∴CN=1+12=32，
∴CD=2CN=3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM//EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=12，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM//EN，
∴ABAE=BMMN，
∴12=12MN，
∴MN=1，
∴CN=1−12=12，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．
(1)根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
(2)过E作EF//BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
(3)当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由(2)求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．
本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解(2)小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解(3)小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，点P即为所求作．
(3)如图，点Q即为所求作．
【解析】本题考查作图−轴对称变换，角平分线的性质，轴对称−最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，然后顺次连接即可；
(2)连接A1B交直线l于点P，点P即为所求作；
(3)∠ACB的平分线与直线l的交点Q即为所求作．
21.【答案】(1)解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；
(2)证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质．
(1)由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°；
(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由(1)得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
22.【答案】解：如图，点P即为所求．
【解析】作∠AOB的角平分线OC，连接MN作线段MN的垂直平分线EF，EF交OC于点P，点P即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质解决问题．
23.【答案】证明：如图，连接AO．
(1)∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，
∠BEC=∠CDB∠BCE=∠DBCBC=CB，
∴△BCD≌△CBE(AAS)，
∴∠DBC=∠ECB，
故AB=AC．
(2)∵由(1)知，△BCD≌△CBE，
∴BD=CE．
∵OB=OC，
∴BD−OB=EC−OC
∴OD=OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，
AO=AOOD=OE，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠DAO=∠EAO，
∴OA平分∠BAC．
【解析】(1)先根据条件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，则∠DBC=∠ECB，故AB=AC．
(2)由(1)中全等三角形的性质得到：BD=CE，就可以得出OE=OD，再证明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出结论．
本题考查了垂直的性质的运用，AAS，HL证明三角形全等的运用，等式的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形是关键．
24.【答案】解：(1)由题意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=16，
∴BP=AB−AP=16−t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，
即16−t=2t，解得t=163，
∴出发163秒后△PQB能形成等腰三角形；
(2)①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ=BQ，如图1所示，
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°．
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ，
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=10(秒)，
∴BC+CQ=22(秒)，
∴t=22÷2=11(秒)．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ=BC，如图2所示，
则BC+CQ=24(秒)，
∴t=24÷2=12(秒)．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
【解析】(1)用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
(2)用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25.【答案】(1)证明：如图2中，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，即△EAC是等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，即△EAB是等腰三角形，
∴AE是△ABC是一条等腰分割线；
(2)解：∵线段AD即为所求分割线，
∴△ABD和△ACD都是等腰三角形，
①如图3，AD=CD=BD，
∴∠C=∠CAD=30°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=30°+30°=60°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD=60°；
②如图4，AD=BD=AC，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C=30°，
∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=30°，
∴∠B=15°；
③如图5，AD=BD，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=180°−30°2=75°，
∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠B=37.5°，
综上所述，∠B的度数为60°或15°或37.5°．
【解析】(1)证明△ABE、△AEC是等腰三角形即可；
(2)根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当DA=DC时，当AD=AC时，当AC=CD时，利用等腰三角形的性质，分别求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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