江西省红色十校2023-2024学年高三下学期2月联考数学试卷（Word版附解析）

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说明：
1．全卷满分150分，考试时间120分钟.
2．全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A B. C. D.
3. 已知数列满足，数列的前项和为，,，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设m，n是不同直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（ ）
A B.
C. D.
7. 已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线的左、右焦点分别是，点A，B是其右支上的两点，，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 图象的对称中心为
B. 是奇函数
C.
D. 在区间上单调递减
10. 若、为复数，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 为上的减函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为__________．
13. 在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则_________；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则_________．
14. 定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
16. 有双鞋子，每双标记上数字、、、、，从中取只鞋子．
（1）求取出只鞋子都没有成对的概率；
（2）记取出只鞋子的最大数字为，求的分布列和数学期望．
17. 如图，在三棱柱中，，，平面，，，、分别是、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面夹角的正弦值．
18. 设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）已知点，直线、分别与抛物线交于点、.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
19. 同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．
（1）解同余方程：；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．
①若，数列的前n项和为，求；
②若，求数列的前n项和．