人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质第2课时同步练习题

这是一份人教版七年级下册5.3.1 平行线的性质第2课时同步练习题，共50页。
1．（2023春·七年级课时练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
【答案】C
【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EFAB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
2．（2022春·广东江门·七年级江门市福泉奥林匹克学校校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A +∠E +∠C=180°；②如图2，ABCD，则∠E =∠A +∠C;③如图3，ABCD，则∠A +∠E－∠1=180° ； ④如图4，ABCD，则∠A=∠C +∠P．以上结论正确的个数是( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，
∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，
即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵ABCD，∴∠A＝∠1，
即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为（ ）
A．45°B．55°C．65°D．75°
【答案】B
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠ABC和∠ADC的度数，结合角平分线的定义可求出∠ABE和∠CDE的度数，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BEF和∠DEF的度数，再结合∠BED=∠BEF+∠DEF，即可求出∠BED的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=40°，∠ADC=∠BAD=70°．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴，
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，EF∥CD，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的有关证明．利用平行线的性质及角平分线的定义，求出∠BEF和∠DEF的度数是解题的关键．
4．（2022春·山东淄博·六年级统考期末）如图，，，的平分线与的平分线交于点G，当时，（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【答案】D
【分析】如图过点G作GN∥BE，根据BE∥DF，可得BE∥GN∥DF，故∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，由∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G，可知∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，进而可得∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，则∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°．
【详解】解：如图过点G作GN∥BE，
∵BE∥DF，
∴BE∥GN∥DF，
∴∠EBG=∠2，∠1=∠GDF，
∵∠DBE和∠CDF的角平分线交于点G，
∴∠EBG=∠GBD，∠CDG=∠FDG，
∴∠EBD+∠CDF=∠EBG＋∠GBD＋∠CDG＋∠FDG=2∠2＋2∠1=2（∠2＋∠1）=2×65°=130°，
∴∠BDC=180°－∠EBD－∠CDF=180°－130°=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查考查平行线的性质，平行的传递性，角平分线的性质，能够熟练应用平行的性质是解决本题的关键．
5．（2022春·广西河池·七年级统考期末）如图，，点在的上方，连接，，是延长线上的一点，连接，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，可以计算出∠GCF和∠GCB的度数，然后即可计算出∠BCF的度数．
【详解】解：过点C作GCAB，如图所示：
∵ABED，
∴ABEDGC，
∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，
∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，
∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，
∴∠BCF＝∠GCF−∠GCB＝130°−50°＝80°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系
【详解】解：过点作，如图：

，
∴CD∥EM ，
∴
∵的平分线与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
整理得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用．
7．（2022春·湖北孝感·七年级统考期末）如图，，OE平分，OF平分，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据角平分线和平角的定义即可判断①②；根据同角的余角相等以及垂线的定义即可判断③；根据平行线的性质即可判断④；
【详解】解：∵OE平分，OF平分，
∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，∠BOD=2∠BOF=2∠DOF，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴2∠BOE+2∠BOF=180°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，即∠BOE=90°，
∴OF⊥OE，故①正确，②错误；
∵OP⊥CD，
∴∠POE+∠COE=90°，∠POD=90°，
∵∠BOF+∠BOE=90°，∠BOE=∠COE，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，∠ABO=40°，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠POD=50°，
∴∠POD≠2∠DOF=∠BOD，故④错误；
共2个正确
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，同角的余角相等，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
8．（2022春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，满足下列条件之一，能够得到的有（ ）个
①
②AG平分∠FAE，且
③
④，且
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据平行线的判定条件进行分析即可．
【详解】解：①当∠BAC＝∠DCA时，由内错角相等，两直线平行得，故①不符合题意；
②∵AG平分∠FAE，
∴，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠BCA＝∠DAC，
∴，故②符合题意；
③∵∠CAD＋∠BCG＝180°，∠BCA＋∠BCG＝180°，
∴∠BCA＝∠CAD，
∴，故③符合题意；
④∵，
∴，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∴，故④符合题意；
综上所述，符合条件的有②③④，共3个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是对平行线的判定条件的掌握与运用．
9．（2022春·辽宁沈阳·七年级校考期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【答案】66
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【详解】∵ABCD，
∴∠1+∠AFD=180°．
∵∠1=114°，
∴∠AFD=66°．
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2=∠AFD=66°．
故答案为66．
【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
10．（2021春·山东德州·七年级校考期中）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝40°时，那么∠2的度数是_____．
【答案】50°##50度
【分析】如图：由平行线的性质可得∠1＝∠3＝40°，然后再根据余角的定义求解即可．
【详解】
解：如图所示，∵ABCD，
∴∠1＝∠3＝40°，
又∵∠FEG＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、余角等知识点，掌握两直线平行、同位角相等成为解答本题的关键．
11．（2023春·七年级课时练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．
【答案】②③④
【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；
④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．
【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；
②如图2，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABEFCD，
∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，
∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；
③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，
∵ABEF，
∴ABEFCD，
∴∠DCF=∠EFC，
由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，
又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，
∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，
∴，故③正确；
④如图4，过点P作PFAB，
∵ABCD，
∴ABPFCD，
∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，
∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
12．（2022春·安徽安庆·七年级校考阶段练习）如图，，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．
（1）若，则______°；
（2）若，与的角平分线交于点N，则的度数为______．（用含n的式子表示）
【答案】 270
【分析】（1）过点M作MPAB，则ABCDMP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；
（2）过点N作NQAB，则ABCDNQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．
【详解】解：（1）过点M作MPAB，
∵ABCD，
∴ABCDMP，
∴∠1=∠MEB，∠2=∠MFD，
∵∠M=∠1+∠2=90°，
∴∠MEB+∠MFD=90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD=180°+180°=360°，
∴∠AEM+∠CFM=360°-90°=270°．
故答案为：270；
（2）过点N作NQAB，
∵ABCD，
∴ABCDNQ，
∴∠3=∠NEB，∠4=∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD=∠3+∠4=∠ENF，
∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，
∵∠NEB=∠MEB，∠DFN=∠MFD，
∴∠3+∠4=∠BEN+∠DFN=（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD=∠EMF，
∴∠ENF=∠EMF=n°．
故答案为：n°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．
13．（2023春·七年级课时练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．
【答案】82
【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度．
【详解】如图：过点作，
∵，
∴，
∴；，
∵，是，的角平分线，
∴；，
∴；，
∴在四边形中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于，；角的等量代换是解题的关键．
14．（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，，，OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是______（填写序号）
【答案】②③
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，由此即可判断①；先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，由此即可判断②；根据垂直的定义、互余角求出，由此即可判断③；根据角的和差可得，由此即可判断④．
【详解】解：，，
，
平分，
，则结论①错误；
，，
，
平分，
，
，
，则结论②正确；
，
，
，
，则结论③正确；
，，
，则结论④错误；
综上，正确结论的是②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、互余角等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，直线与直线相交与点O，直线外有一点P．
(1)过点P画，交于点M，过点P画，垂足为N；
(2)若、求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)的度数为
【分析】（1）根据要求作图即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查画平行线和垂线，以及利用平行线的性质求角度．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
16．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）（1）已知：如图1，，求证：；
（2）已知：如图2，，试探求、与之间的数量关系，并说明理由．
拓展提升：（3）如图3，已知，，分别平分与，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）根据平行线性质得出，，即可得出答案；
（2）根据平行线性质求出，，即可得出答案；
（3）由，，推出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过E点作，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，
理由：如图，过E点作，
则，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：∵，分别平分与，
∴，
∴，
由（1），可得
，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
17．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）如图，，点、分别在线段、上，、分别与交于点、，若，求证：．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．
证明：∵，（已知）
，（ ）
∴_________．（ ）
∴．（ ）
∴_________．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴_________．（等量代换）
∴（ ）
∴．（ ）
∵，（已知）
∴
∴
∴．（ ）
【答案】对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义．
【分析】证明，可得，再证明，可得，再证明即可．
【详解】证明：∵，（已知）
，（对顶角相等）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，
∴，
∴．（垂直的定义）
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，掌握“简单的逻辑推理”是解本题的关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
19．（2022秋·吉林长春·七年级校考期末）（1）问题发现：如图①，直线，连结，可以发现
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点作，
∴（______）．
∵（已知），．
∴（______）．
∴．
∵（______）．
∴．（等量代换）．
（2）拓展探究：如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：．
（3）解决问题：如图③，，是与之间的点，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；
（2）见解析
（3）见解析
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（2）过点作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）过点作，过作，过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）证明：过点作，
∴（_两直线平行，内错角相等_____）．
∵（已知），．
∴（__平行于同一条直线的两条直线互相平行____）．
∴．
∵（______）．
∴．（等量代换）
（2）证明：∵过做
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
(3)解：理由如下：
过点作，过作，过作
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
20．（2023秋·辽宁抚顺·八年级校考期末）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
(1)如图1，当点在点的左侧时，若，，直接写出的度数；
(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，求的度数（用含有，的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，当点在点的左侧时，根据，，结合平行线的判定与性质，由题中角平分线的定义得到，，即可求的度数；
（2）过点作，当点在点的右侧时，，，参照（1）中解决问题的方法即可求的度数．
【详解】（1）解：过点作，如图1所示：
则有，
，
，
，
，即，
平分，平分，
，，
；
（2）过点作，如图2所示：
则，
，
，
，
，
，即，
平分，平分，
，，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
1．（2022春·山东济宁·七年级统考期中）如图，，，则与满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点C作CFAB，由，则，利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：过点C作CFAB，如图，
∵CFAB，
∴∠BCF=∠α，
∵ABDE，
∴CFDE，
∴∠FCD=180°-∠β，
∴∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠α+180°-∠β，
∵
∴∠α+180°-∠β=96°，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022春·陕西咸阳·七年级统考期中）如图，，FC平分，，则的度数是（ ）．
A．40°B．42°C．44°D．46°
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFE的度数，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠A的度数．
【详解】解：∵CD∥EF，
，
∵FC平分∠AFE，
∴∠AFE＝2∠CFE＝40°．
，
∴∠A＝∠AFE＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．（2022春·山东淄博·七年级统考期中）如图，，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角定理可得，再根据三角形内角和求解即可；
【详解】如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟悉两直线平行，同位角相等．
4．（2021秋·黑龙江佳木斯·八年级校联考期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如图，首先运用翻折变换的性质证明∠D′MN=∠DMN，∠MNC′=∠MNC，借助∠AMD′=36°，求出∠DMN的度数，进而求出∠MNC，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴MD∥FN，∠DMN=∠MNF；
由题意得：∠D′MN=∠DMN，∠MNC′=∠MNC，
∵∠AMD′=36°，
∴∠DMN=(180°−36°)=72°，
∵MD∥FN，
∴
∴∠MNC=180°-72°=108°，
∴∠MNC′=108°，
故选：A．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行线的性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握翻折变换的性质、平行线的性质等几何知识点，这是灵活运用、解题的基础和关键．
5．（2023秋·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，已知AB//CD，M为平行线之间一点，连接AM，CM，N为AB上方一点，连接AN，CN，E为NA延长线上一点，若AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，则∠M与∠N的数量关系为（ ）
A．∠M﹣∠N＝90°B．2∠M﹣∠N＝180°
C．∠M+∠N＝180°D．∠M+2∠N＝180°
【答案】B
【分析】过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，则MO//AB//CD//NP，根据平行线的性质可得∠AMC＝∠1+∠2，∠CNE＝2∠2﹣∠3，∠3＝180°﹣2∠1，即可得出结论．
【详解】解：过点M作MO//AB，过点N作NP//AB，
∵AB//CD，
∴MO//AB//CD//NP，
∴∠AMO＝∠1，∠OMC＝∠MCD，
∵AM，CM分别平分∠BAE，∠DCN，
∴∠BAE＝2∠1，∠NCD＝2∠2，∠2＝∠MCD，
∴∠AMC＝∠MCD+∠1＝∠1+∠2，
∵CD//NP，
∴∠PNC＝∠NCD＝2∠2，
∴∠CNE＝2∠2﹣∠3，
∵NP//AB，
∴∠3＝∠NAB＝180°﹣2∠1，
∴∠CNE＝2∠2﹣（180°﹣2∠1）＝2（∠1+∠2）﹣180°＝2∠AMC﹣180°，
∴2∠AMC﹣∠CNE＝180°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确的添加辅助线是解题的关键．
6．（2021春·重庆九龙坡·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案．
【详解】解：如图，过作，
∴设，
∵，
∴，
∴设，
∵平分，
∴，
设，而平分，
∴，
∵，
∴，
由平角的定义可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴


．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．
7．（2022春·江苏连云港·七年级东海实验中学校考阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）

A．①②③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，
∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，
∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
8．（2021春·浙江杭州·七年级期中）如图，则与的数量关系是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】设
则
∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
9．（2022春·湖北鄂州·七年级统考期中）如图，直线ab，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1＝2∠2，则∠2＝______°．
【答案】30
【分析】根据平行线的性质求得∠QPA＝∠1＝2∠2，由于∠2+∠QPA＝90°，即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b，∠1＝2∠2，
∴∠QPA＝∠1＝2∠2．
∵PM⊥l，
∴∠2+∠QPA＝90°．
∴∠2+2∠2＝90°，
∴∠2＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是本题的关键．
10．（2023春·七年级课时练习）如图，于点B，于点C，连接AD，DE平分交BC于点E，点F为CD延长线上一点，连接AF，，下列结论：①；②；③．正确的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】①证明AB∥CD，可做判断；②根据平行线的判定和性质可做判断；③根据AF∥ED得内错角相等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE=∠CDE，从而可做判断．
【详解】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF=180°，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF∥DE，故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF=∠ADE，∠F=∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
11．（2022春·湖北咸宁·七年级统考期末）如图，ABCD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60，∠MNP＝45°．下列结论：
①GEMP；②∠BEF＝75°；③∠AEG＝∠PMN．其中正确的是______．（只填序号）
【答案】①②③
【分析】①由题意可得∠G＝∠MPN＝90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE∥MP；
②过点F作FH∥AB，可得FH∥CD，从而得∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFH＝105°，再利用平行线的性质即可求得∠BEF＝75°；
③利用角的计算可求得∠AEG＝45°，从而可判断．
【详解】解：①由题意得：∠G＝∠MPN＝90°，
∴GE∥MP，故①正确；
②过点F作FH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFH＝180°，FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFH＝∠EFN﹣∠HFN＝105°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFH＝75°，故②正确；
③∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠BEF＝45°，
∵∠MNP＝45°，
∴∠AEG＝∠PNM，
故③正确．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
12．（2022春·福建三明·七年级统考期中）观察下列图形：已知，在第一个图中，可得，根据规律，则______度．
【答案】
【分析】分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的性质可得出：∠1+∠MPE=180°，∠3+∠4=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠2=180°，根据规律得到∠1+∠2+∠P1+∠P2+∠P3+∠P4=5×180°．
【详解】解：如图，分别过、、作直线的平行线，，，
，
∴，
由平行线的性质可得出：，，，，
∴（1），
（2），
（3），
（4），
∴．
故答案为：900°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．
13．（2022春·湖北黄石·七年级统考期末）如图，已知平分，平分，，下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是______．
【答案】①②④
【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质和外角定理可得答案．
【详解】平分，
，
平分，
，
又，
，
，故①正确；
，
，
，故②正确；
由现有条件无法证明，故③错误；
若，
，
，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及平行公理等知识，正确利用平行线的性质分析是解题关键．
14．（2022春·河南许昌·七年级统考期中）如图，，C是射线FG上一动点，当，时，∠ACB的大小可能是__________（用含，的式子表示）．
【答案】或
【分析】分两种情形：当点C在AD，BE之间时，当点C在AD的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当点C在AD，BE之间时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC=，
∴∠ACH=，
又∵∠ECB=，
∴∠BCH=
∴∠ACB=+，
如图，当点C在BE的下方时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC=，
∴∠ACH=，
又∵∠ECB=，
∴∠BCH=
∴∠ACB=，
故答案为：+或-．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
15．（2023春·全国·七年级专题练习）完成下面的证明：如图，点在上，，连接，平分，，于点．
求证：．

证明：∵，
∴（_____________________）．
∵，
∴，即．
∵平分，
∴______（__________________）．
∴，
∴（________________________）
∴__________________（________________________）．
∵，
∴______（______________________）．
∴．
【答案】两直线平行，内错角相等； ；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行； ；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义
【分析】根据平行线性质与判定、角平分线定义、垂直的定义填空即可．
【详解】证明：∵，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴，即．
∵平分，
∴（角平分线的定义）．
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴（垂直的定义）．
∴．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，过点P作，则与平行吗？为什么？
【答案】(1)，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得，则，由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵，，
，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
，
，
即．
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换得出，即可判定；
（2）过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质及角平分线定义得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
18．（2022春·新疆伊犁·八年级校考期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数．
阅读并补充下面推理过程
解：过点A作，
∴ ．
又∵
∴
解题反思：从上面推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知，试说明的关系，并证明．（提示：过点C作）
(3)解决问题：如图3，已知，点C在点D的右侧，，点B在点A的左侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间，求的度数．
【答案】(1)∠DAC
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过作，根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）过点作，然后根据角平分线的定义和平行线的性质，即可求的度数．
（1）
解：过点作，
，，
又，
；
故答案为∠DAC；
（2）
解：，理由如下：
过点作，如图所示：
，
，
，，
，
即；
（3）
解：如图，过点作，
，
，
，，
平分，平分，，，
，，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．
19．（2020春·山东济南·七年级统考期中）（1）如图1，已知，，，则求的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，平分，平分，则的度数为 ；
（3）如图2，已知，平分，平分．当点、在直线同侧时，直接写出与的数量关系： ；
（4）如图3，已知，平分，平分．当点、在直线异侧时，直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）如图1，根据平行公理和平行线的性质即可得出结论；
（2）如图2，延长交于点，则可得到，则，连接并延长到点，则可得，，可得到和的关系，从而求解；
（3）由（2）即可得出结论；
（4）如图3，过作于， 于，则，根据平行线的性质得到，，，，根据角平分线的定义得到，，等量代换即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过作，
，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，
延长交于点，则可得到，
则，
连接并延长到点，则可得，，
所以，
所以，
所以；
（3）由（2）可得：，
故答案为：；
（4）如图，
过作于，于，
则，
，，，，
平分，平分，
，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到和之间的关系．
20．（2022秋·陕西汉中·七年级统考期末）（1）【阅读理解】如图①，和的边互相平行，边与交于点E．若，，求的度数．
老师在黑板上写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程．
解：如图②，过点E作，
∴（___________）．
∵，
∴．
∵，
∴（___________）
∴___________．
∵，
∴．
∴___________．
（2）【问题迁移】如图③，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是线段上一点，连接、，若，，求的度数．
（3）【拓展应用】如图④，D、E分别是的边、上的点，在直线的右侧作的平行线分别交边、于点F、G．点P是射线上一点，连接、，若，，直接写出与、之间的数量关系．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；；；（2）；（3）或
【分析】（1）如图②，过点E作，根据推理步骤逐步写出答案即可；
（2）如图，过点P作，先求出，再求，求得即可；
（3）当点P在线段上，过点P作，先证明，再证明，得；当点P在线段的延长线上时，与点在线段上的情况类似．
【详解】（1）如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵，，
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；．
（2）如图，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在线段上，过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
当点P在线段的延长线上时，
过点P作，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、角的和差运算等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．