初中人教版5.3.2 命题、定理、证明习题

这是一份初中人教版5.3.2 命题、定理、证明习题，共31页。
1．（2021春·河南新乡·八年级校考期中）下列定理中有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等
C．两直线平行，同旁内角互补
D．如果，那么
【答案】C
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、等式的性质和平行线的判定进行判断．
【详解】解：A．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，故该选项不符合题意；
B．逆命题为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等，错误，故该选项不符合题意；
C．逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，正确，故该选项符合题意；
D．逆命题为：如果，那么，错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．理解命题与定理的含义是解题的关键．
2．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果两直线平行，那么同旁内角相等B．三角形的三个内角一定都是锐角
C．如果，那么D．对顶角相等
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、如果两直线平行，那么同旁内角互补，故原命题是假命题，故本选项不符合题意；
B、三角形的三个内角不一定都是锐角，故原命题是假命题，故本选项不符合题意；
C、如果，那么，故原命题是假命题，故本选项不符合题意；
D、对顶角相等，故原命题是真命题，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
3．（2021秋·浙江嘉兴·八年级期中）对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（ ）
A．，的补角， B．，∠1的补角，
C．，的补角， D．角不小于它的补角
【答案】C
【分析】熟记反证法的步骤，进行判断即可．
【详解】A． ，的补角，，符合假命题结论，故选项错误，不符合题意；．
B． ，∠1的补角， ，符合假命题结论，故选项错误，不符合题意；．
C． ，的补角， ，不符合假命题结论，故选项正确，符合题意；．
D． 角不小于它的补角，符合假命题结论，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题结合角的比较考查反证法，掌握反证法的意义及步骤是解题的关键．
4．（2021春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考期中）下列命题是真命题的是（ ）．
A．如果，那么B．如果，那么点是线段的中点
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】A
【分析】根据等式的性质，线段中点的定义，绝对值的意义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 如果，那么，原选项是真命题，符合题意；
B. 当点在线段上时，如果，那么点是线段的中点，原选项是假命题，不合题意；
C. 如果，那么，原选项是假命题，不合题意；
D. 如果，那么或，原选项是假命题，不合题意；
故选：A．
【点睛】该题主要考查了命题与定理中的真、假命题及其判断问题；解题的关键是灵活运用所学的定义、定理等数学知识对所给的命题逐一分析、比较、判断、解答．
5．（2023春·七年级课时练习）关于原命题“如果，那么”和它的逆命题“如果，那么”，下列说法正确的是（ ）
A．原命题是真命题，逆命题是假命题B．原命题、逆命题都是真命题
C．原命题是假命题，逆命题是真命题D．原命题，逆命题都是假命题
【答案】A
【分析】根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案．
【详解】解：如果，那么，所以原命题是真命题；
命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，不一定成立，是假命题；
故原命题是真命题，逆命题是假命题
故选：A．
【点睛】此题考查了互逆命题，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键．
6．（2023秋·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．两个角分别为，B．两个角分别为，
C．两个角分别为，D．两个角分别为，
【答案】C
【分析】根据反例证明命题是假命题即举出一个例子使得命题的条件成立，结论不成立即可．
【详解】解：∵命题“两个锐角的和是锐角”的条件是两个锐角，结论是两个锐角的和是锐角，
∴举反例说明此命题是假命题，只需要举例说明两个锐角的和不是锐角即可，
∴只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了举反例，解题的关键在于能够熟练掌握举反例的知识．
7．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西初级中学校考期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．假命题的逆命题不一定是假命题
B．所有命题都有逆命题；
C．对顶角相等的逆命题是真命题；
D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行．
【答案】C
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：A、假命题的逆命题不一定是假命题，说法正确，所以A选项不符合题意
B、所有命题都有逆命题，说法正确，所以B选项不符合题意；
C、命题“对顶角相等”的逆命题是假命题，所以C选项符合题意
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行说法正确，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
8．（2021春·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考阶段练习）下列语句：
①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（ ）
A．①②是真命题B．②③是真命题
C．①③是真命题D．以上结论皆是假命题
【答案】A
【分析】根据平行公理、平行线的性质逐项判定即可．
【详解】解：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故为真命题；
②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，故为真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；
故选A．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、平行线的性质是解题的关键．
9．（2022春·重庆秀山·七年级校考阶段练习）把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是_____．
【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等
【分析】命题中的条件是两个角是等角的补角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，放在“那么”的后面，即可得到答案．
【详解】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：它们相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了将原命题写成“如果…那么…”即题设（条件）与结论的形式，解决问题的关键是找出相应的题设和结论．
10．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期末）命题“如果，，那么”的逆命题是___________．
【答案】如果，那么，
【分析】根据互逆命题概念解答即可．
【详解】解：根据互逆命题概念可知，
命题“如果，，那么”的逆命题是“如果,那么”
故答案为：如果，那么，
【点睛】本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
11．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）有下列命题：正实数都有平方根；实数都可以用数轴上的点表示；等边三角形有一个内角为；全等三角形对应边上的角平分线相等．其中逆命题是假命题的是______．
【答案】
【分析】先写出各个命题的逆命题，在一一进行判断即可得到答案．
【详解】解：“正数都有平方根”的逆命题是：有平方根的数都是正实数，因为0是实数，它的平方根是0，不是正实数，故错误，符合题意；
“实数都可以用数轴上的点表示”的逆命题是：数轴上的点表示的都是实数，说法正确，故正确，不符合题意；
“等边三角形有一个内角为”的逆命题是：有一个内角为的三角形是等边三角形，因为有一个内角为的等腰三角形是等边三角形，故错误，符合题意；
“全等三角形对应边上的角平分线相等”的逆命题是：对应边上的角平分线相等的三角形全等，因为对应边上的角平分线相等的三角形不一定全等，故错误，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查了命题的逆命题以及真假命题的判断，先写出各个命题的逆命题再进行判断是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙、丙、丁与小强这5位同学一起参加象棋比赛，每两人都要赛一盘，到目前为止，甲赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．则小强已经赛了 __盘．
【答案】2
【分析】先根据甲已经赛了4盘，可判断甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘，再根据丁赛了1盘，乙赛了3盘，可判断乙与甲、丙、小强各下了一盘，再根据丙赛了2盘，可判断小强赛了两盘，是与甲和乙赛的．
【详解】解：由于甲已经赛了4盘，则甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘；
因为丁赛了1盘，则丁这一盘是与甲赛的，没有与其他人赛；
因为乙赛了3盘，则乙与甲、丙、小强各下了一盘；
因为丙赛了2盘，则丙是与甲和乙赛的．
所以小强赛了两盘，是与甲和乙赛的．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了推理与论证，根据每人需要赛的总盘数及此时每人已赛的盘数进行分析推理是解答此题的关键．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）下列命题中，是真命题的是_________．（填序号）
①对顶角相等；
②内错角相等；
③三条直线两两相交，总有三个交点；
④若，，则．
【答案】①④##④①
【分析】根据对顶角相等可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据两条直线相交的定义可判断③；根据平行于同一条直线的两条直线平行可判断④，据此可作出判断．
【详解】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；
④若，，则，正确，是真命题，符合题意，
正确的有①④．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查判断命题真假，涉及对顶角相等、平行线的性质、直线相交的交点问题，解答的关键是在判断一个命题的真假时，需要熟知涉及到的相关数学知识，并对每一个命题作出正确的判断．
14．（2022秋·八年级课时练习）描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
则完成这三件原料的描金工作最少需要______小时．
【答案】
【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时），
故答案为：．
【点睛】此题考查推理与论证，关键是得出工作顺序．
15．（2022春·陕西渭南·七年级统考阶段练习）指出下列命题的题设和结论：
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)相交的两条直线一定不平行．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）命题是“如果…那么…”，“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论；
（2）把命题改写为“如果…那么…”的形式，从而得到命题的题设和结论．
【详解】（1）解：题设是两条直线都与第三条直线平行，结论是这两条直线也互相平行；
（2）解：“相交的两条直线一定不平行”可改写为“如果两条直线相交，那么它们一定不平行”，
故题设是两条直线相交，结论是它们一定不平行．
【点睛】本题主要考查了命题的组成，理解命题题设和结论的含义是解题关键．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)三角形三个内角的和等于；
(2)两直线平行，同旁内角互补．
【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题
(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题
【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可；
（2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可．
【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”，
逆命题是真命题；
（2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，
逆命题是真命题．
【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键．
17．（2022秋·八年级课时练习）判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)如图，已知和，则．
(2)两点之间线段最短．
(3)如图，若，则．
(4)会飞的动物是鸟．
【答案】(1)真命题，理由见解析
(2)真命题，理由见解析
(3)真命题，理由见解析
(4)假命题，理由见解析
【分析】（1）观察图形可知，由此即可得到答案；
（2）根据两点之间线段最短即可得到答案；
（3）根据垂直于同一直线的两直线平行即可得到答案；
（4）根据会飞的动物不一定是鸟即可得到答案．
【详解】（1）解：观察图形可知，是真命题；
（2）解：两点之间线段最短，是真命题；
（3）解：∵，
∴，是真命题；
（4）解：会飞的动物不一定是鸟，是假命题．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一个反例．
【答案】(1)逆命题是：“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”
(2)假命题，反例：两个角都是直角
【分析】（1）根据逆命题的定义，把原命题的条件与结论互换即可．
（2）举出反例，即可证明命题为假命题．
【详解】（1）原命题中，条件为“一个锐角和一个钝角”，结论为“这两个角一定互为补角”，将条件与结论互换，得到逆命题，即“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”．
（2）∵互补的两个角可以都为直角，
∴“互补的两个角一定是一个锐角，一个钝角”是假命题．
反例是“两个角都是直角”．
【点睛】本题考查了逆命题，以及真假命题，熟练掌握相关定义即可得到结论．
19．（2022春·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．
(1)等角的补角相等；
(2)绝对值相等的两个数相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
（1）
解：题设：有两个角相等；
结论：这两个角的补角相等；
是真命题；
（2）
解：题设：有两个数的绝对值相等；
结论：这两个数相等；
是假命题；
反例：|2|=|-2|，2≠-2．
【点睛】此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
20．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）（1）已知，如图BC交DE于O，给出下面三个论断：①∠B=∠E；②ABDE；③BCEF．请以其中的两个论断为条件，填入“题设”栏中，以一个论断为结论，填入“结论”栏中，使之成为一个正确的命题，并加以证明．
题设：已知如图，BC交DE于O， ．（填题号）
结论：那么 ．（填题号）
（2）已知∠ABC=180°-∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于F．
①求证：ADBC；
②若∠1=36°，求∠2的度数．
【答案】（1）①②，③
（2）①证明见解析；②36°．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠DOC，推出∠DOC=∠E，根据平行线的判定推出即可．此题答案不唯一由①③推出②，由②③推出①；
（2）①求出∠ABC+∠A=180°，根据平行线的判定推出即可；
②根据平行线的性质求出∠3，根据垂直推出BDEF，根据平行线的性质即可求出∠2．
【详解】（1）解：题设①②，结论③，
证明：∵ABDE，
∴∠B=∠DOC，
∵∠B=∠E，
∴∠DOC=∠E，
∴BCEF，
故答案为：①②，③；
（2）①证明：∵∠ABC=180°-∠A，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴ADBC；
②解：∵ADBC，∠1=36°，
∴∠3=∠1=36°，
∵BD⊥CD，EF⊥CD，
∴BDEF，
∴∠2=∠3=36°．
【点睛】本题考查了命题与定理，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
1．（2021春·河南新乡·七年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③图形平移前后，对应点连线平行；
④内错角相等；
⑤相等的角是对顶角；
⑥垂线段最短.
A．3B．1C．2D．0
【答案】B
【分析】根据平行公理、图形的平移、平行线的性质定理判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；
图形平移前后，对应点连线平行或共线；故③是假命题；
两直线平行，内错角相等，④是假命题；
相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；
垂线段最短，⑥是真命题，
故选：B．
【点睛】本题考查命题与定理，解题关键在于熟练掌握各性质定义以及判定定理．
2．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列命题是真命题的个数是（ ）
①内错角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，则；⑤若，则．⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】分别利用平行线的性质和点到直线的距离定义以及平行线公理分别分析得出答案．
【详解】解：两条直线平行，内错角相等，故①说法错误，是假命题，不合题意；
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，故②符合题意；
如果一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故③是假命题，不合题意；
，，则，正确，故④是真命题，符合题意；
若则，故原命题错误，故⑤是假命题，不符合题意；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑥说法错误，是假命题，不符合题意．
∴真命题是②④共2个，
故选B
【点睛】本题考查了真假命题以及平行线的性质，垂直的判定方法，点到直线的距离定义，熟练掌握已经学过的定理，性质和概念是解题的关键．
3．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）下列命题：①已知直线a、b，若，，则：②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④已知直线a，b，如果，，那么，其中正确的命题是（ ）
A．②和④B．①和②C．②和③D．①和④
【答案】A
【分析】根据平行线的定义和平行公理及推论和垂直的性质判断即可．
【详解】①∵直线a、b，若直线ab，bc，则ac．故①错误．
②∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确．
③∵过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故③错误．
④∵已知直线a、b，如果ab，bc，那么ac，故④正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的定义和平行公理推断以及垂直的性质，熟悉掌握掌握这些性质是解决本题的关键．
4．（2022春·四川广元·七年级校考阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补； ②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线的长度；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，三条直线两两相交，有两个或三个交点；⑤若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；⑥如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据平行线的性质、点到直线的距离定义、相交线、平行线的判定定理，逐项判断．
【详解】解：①如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，故①是真命题；
②点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂段线的长度，故②是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题；
④在同一平面内，三条直线两两相交，有一个或三个交点，故④是假命题；
⑤在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则ac，故⑤是假命题；
⑥如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故⑥是假命题，
真命题是①，有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的性质、点到直线的距离定义、相交线、平行线的判定定理这些基础知识点．
5．（2022春·广东广州·七年级统考期末）在下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【分析】根据邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用逐个分析选项即可找出假命题．
【详解】解：A. 如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角相加等于，故该命题正确，不符合题意；
B. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符合题意；
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用．
6．（2022春·陕西商洛·七年级校考期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）A．在同一平面内，若，且，则
B．在同一平面内，若，且，则
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】由因为后面写的是条件：可得条件是在同一平面内，，且，所以后面写的是结论：可得结论为，从而可得答案．
【详解】解：由证明过程可得：条件是：在同一平面内，，且，
结论是：，
∴小云给出的证明过程证明的是：
选项A中的命题：在同一平面内，若，且，则，
故选A
【点睛】本题考查的是根据证明过程总结归纳所证明的命题，理解题意，掌握命题的组成是解本题的关键．
7．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙、丙3人从图书馆各借了一本书（如下表所示），他们相约在每个星期天相互交换读完的书，经过数次交换后，他们都读完了这3本书．已知甲读的第三本书是乙读的第二本书，则丙读的第二本书是（ ）
A．书AB．书BC．书CD．无法确定
【答案】A
【分析】根据甲、乙、两3人从图书馆各借了一本书，在每个星期天相互交换读完的书，得出3人交换书的所有情况，进而得丙读的第二本书是甲读的第一本书．
【详解】解∶设3人分别读了书A， 书B， 书C三本书，则三人读书顺序为：
甲∶书A，书B，书C；
乙∶书B，书C，书A；
丙∶书C，书A ，书B；
丙读的第二本书是甲读的第一本书，
∴丙读的第二本书是书A．
故选A．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，根据已知得出交换书的所有情况是解题关键．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【分析】根据甲不知道自己的成绩，乙和丁结合自己看到的成绩进行分析推理即可得到答案．
【详解】解：由于甲对大家说：我还是不知道我的成绩，可以推断出乙和丙只能一个优秀一个良好，
当乙知道丙的成绩后，就知道自己的成绩了，但还是不知道甲和丁的成绩，
由于甲和丁也是一个优秀一个良好，所以给丁看甲的成绩后，丁就知道自己的成绩了，但还是不知道乙和丙的成绩，
所以只有乙、丁可以知道自己的成绩，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了简单的合情推理的应用，还考查学生的逻辑推理能力，熟练掌握此类题目的推理方法是解答此题的关键．
9．（2022秋·八年级单元测试）新世纪中学八年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加“学用杯”全国数学知识应用竞赛．甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：
甲：C得亚军；D得季军；
乙：D得殿军，A得亚军；
丙：C得冠军，B得亚军．
已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为_____．
【答案】C，A，D，B
【分析】根据题意，先假设甲说的前半句正确，进行推理，看后面说法是否矛盾，若有矛盾，则错误，否则正确．
【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误，
于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误，
故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾，
所以：甲说的：C是亚军错误；
②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确，
于是乙说：D是殿军错误，则乙说的A得亚军就正确，
故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确；
没有矛盾，
故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B．
故答案为：C，A，D，B．
【点睛】本题主要考查了推理论证，解题的关键是退出矛盾得出结论．
10．（2022春·北京海淀·七年级校考阶段练习）下列四个命题：①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；④从直线外一点作这条直线的垂线段叫点到直线的距离．其中是真命题的是_____．
【答案】①③##③①
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各个条件是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】①过同一平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是真命题，符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③两条平行的直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④从直线外一点作这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故原命题是假命题，不符合题意；
真命题是①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质与判定方法及点到直线的距离的定义．
11．（2023春·七年级单元测试）下列命题：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④如果直线，，那么．其中是真命题的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离定义等分析判断即可．
【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，为真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，为真命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，正确，为真命题；
④如果直线，，那么，原命题为假命题．
综上所述，真命题有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题关键是理解平行公理及其推论、垂线的性质、点到直线的距离定义等知识．
12．（2022秋·四川雅安·八年级统考期末）地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁：4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；
地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，4号代表 _____洲．
【答案】非
【分析】首先假设甲说的前半句是对的，则3号是欧洲，由此推出丁说的3号是大洋洲是错误的，进而分别分析得出即可．
【详解】解：假设甲说的前半句是对的，则3号是欧洲，由此推出丁说的3号是大洋洲是错误的；
由于每个人都只说对了一半，可知丁说的4号是非洲是对的，由此推出乙说的4号是亚洲是错的，2号是大洋洲是对的；
又可知戊说的2号是欧洲是错的，5号是美洲是对的，由此推出丙说的5号是非洲是错的，1号是亚洲是对的；
最后得到正确的结论是：1号是亚洲，2号是大洋洲；3号是欧洲；4号是非洲，5号是美洲．
故答案为：非．
【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题应结合题意，进行假设，进行通过假设进行分析、推理得出问题答案．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
（1）则丁同学的得分是_____；
（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是_____（写出一种即可）
【答案】 3 CACCC
【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为3；
（ 2）由（ 1）知，五道题的正确选项分别是：CCABA，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，
故答案为：CACCC（答案不唯一）.
【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，熟练运用推理能力是解决本题的关键
14．（2022春·八年级课时练习）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】解：假设所求证的结论不成立，
即．
过点A作直线，使与所成的与相等，则，
所以直线与直线不重合．
但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，．
【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是记住反证法的步骤：否定结论，得出矛盾，肯定结论．
15．（2021秋·广西梧州·八年级校考阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）
【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得
【详解】解：已知①②，求证∶③，
证明∶∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为∶①②；③．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义、证明以及平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
16．（2023春·全国·七年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题
(3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等
(4)等边三角形有一个角是60°真命题
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．
【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
17．（2023春·全国·七年级专题练习）已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
(1)写出命题的题设和结论；
(2)画出符合命题的几何图形；
(3)用几何语言叙述这个命题；
(4)说明这个命题是真命题的理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案；
（2）先画ABCD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；
（3）根据图形用字母表示叙述即可；
（4）根据平行线的性质得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM=∠NMG，即可得答案．
【详解】（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；
（2）如下图所示：
；
（3）如上图，已知ABCD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
求证：GHMN；
（4）真命题，理由：
∵ABCD，
∴∠BGM=∠CMG，
又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
∴∠HGM=∠BGM，∠NMG=∠CMG，
∴∠HGM=∠NMG，
∴GHMN．
【点睛】本题考查了命题、作图、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运用．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．
(1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______；
证明：
(2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______；
证明：
(3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______．
【答案】(1)∠1＝∠2，证明见解析
(2)∠1＋∠2＝180°，证明见解析
(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
【分析】（1）根据平行线性质可得答案；
（2）根据平行线性质，可得答案；
（3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
【详解】（1）∠1=∠2，
证明：
如图1：
∵，
∴∠1=∠3，
∵，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠2；
故答案为：∠1=∠2；
（2）∠2+∠1=180°，
证明：
如图2：
∵，
∴∠1=∠4，
∵，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠1=180°；
故答案为：∠2+∠1=180°；
（3）由（1）（2）可得：
一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用．
19．（2022春·福建福州·七年级校联考期末）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明．
如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”）
证明：
【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析
【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出．
【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
命题二：如图，已知①③，求证：②．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
命题三：如图，已知②③，求证：①．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①．
【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换．
20．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
1．（2022·上海·统考中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
2．（2021·安徽·统考中考真题）设a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】举反例可判断A和B，将式子整理可判断C和D．
【详解】解：A．当，，时，，故A错误；
B．当，，时，，故B错误；
C．整理可得，故C错误；
D．整理可得，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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3．（2022·江苏无锡·统考中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题：________．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．（2022·浙江湖州·统考中考真题）“如果，那么”的逆命题是___________．
【答案】如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是：
“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
5．（2020·北京·统考中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．
【答案】丙，丁，甲，乙
【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．
【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．
丁选：5，7，9，11，13．
甲选：6，8．
乙选：10，12，14．
∴顺序为丙，丁，甲，乙．
（答案不唯一）
【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．
原料
时间
工序
原料
原料
原料
上漆
描绘花纹
证明：如图，∵，∴∠1=90°．
∵，∴∠2=90°，
∴∠1=∠2，∴．
甲
乙
丙
书A
书B
书C
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A