数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明随堂练习题

这是一份数学七年级下册5.3.2 命题、定理、证明随堂练习题，共9页。
典例1．（2022春·湖南永州·七年级校考期中）下列语句中，属于命题的是（ ）．
A．直线和垂直吗？B．过线段的中点画的垂线
C．同旁内角互补，两直线平行D．连接，两点
【答案】C
【分析】分别根据命题的定义进行判断．
【详解】解：A、直线和垂直吗？这是疑问句，不是命题，所以A选项错误；
B、过线段的中点C画的垂线，这是描叙性语言，不是命题，所以B选项错误；
C、同旁内角互补，两直线平行是命题，所以C选项正确；
D、连接A、B两点，这是描叙性语言，不是命题，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
变式1-1．下列语句属于命题的是（ ）
A．你今天打卡了吗？B．请戴好口罩！
C．画出两条相等的线段D．同位角相等
【答案】D
【分析】根据命题的定义（判断一件事情的语句，叫做命题），逐项判断即可求解．
【详解】解：A． 你今天打卡了吗？没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
B． 请戴好口罩！没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
C． 画出两条相等的线段，没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；
D． 同位角相等，作出判断，故该选项是命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
变式1-2．（2022秋·重庆璧山·七年级校联考期中）下列语句中．不是命题的是（ ）
A．内错角相等，两直线平行B．对顶角相等
C．如果一个数能被2整除．那么它也能被4整除D．画一条线段
【答案】D
【分析】根据命题的定义，句子可以改写成“如果……那么……”形式，则为命题，如果不能就不是．
【详解】解：A．内错角相等，两直线平行，改写成：如果两条直线被第三条直线所截所成的角中，内错角相等，那么这两条直线平行，是命题，故此选项不符合题意；
B．对顶角相等，改写成：如果两个角是对顶角，那么这两角相等，是命题，故此选项不符合题意；
C．如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除，是命题，故此选项不符合题意；
D．画—条线段，无法改写，不是命题，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．正确理解命题的定义是解题的关键．
变式1-3．（2022秋·安徽宣城·七年级校考期中）下列语句属于命题的个数是（ ）
①宣城市奋飞学校是市文明单位
②直角等于
③对顶角相等
④奇数一定是质数吗？
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据命题的概念注意判断即可．
【详解】解：由命题的概念可知，
④不是命题，而①②③均是命题，
故选C．
【点睛】本题考查了命题的概念，解决本题的关键是掌握命题时表示判断的语句．
考查题型二 真假命题的判断
典例2．（2021春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）有下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有一边互为反向延长线，且和为180°的两个角是邻补角
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】根据对顶角的性质和定义，邻补角的定义，平行线的性质，平行线公理逐一判断即可．
【详解】A、共顶点，且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，但是，相等的两个角，若不满足对顶角的定义，也不是对顶角，故此命题是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题是假命题；
C、有一边互为反向延长线，且共顶点与共一条边的两个角是邻补角，故此命题是假命题；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，掌握命题所涉的相关知识是关键．
变式2-1．（2022春·湖南永州·七年级校考期中）下列不是真命题的是（ ）
A．三角形内角和为B．两条直线不相交，就是平行
C．任意的等腰三角形都存在着“三线合一”的现象D．三角形至多有一个钝角
【答案】B
【分析】利用三角形的内角和，等腰三角形的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A.三角形内角和为，正确，是真命题；
B.同一平面内，两条直线不相交，就是平行，故原命题错误，是假命题；
C.任意的等腰三角形都存在着“三线合一”的现象正确，是真命题；
D.三角形至多有一个钝角，正确，是真命题，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的内角和，等腰三角形的性质、平行线的性质，难度不大．
变式2-2．（2022秋·福建福州·七年级校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等
B．两个锐角的和是锐角
C．若两个角的和为，则这两个角互补
D．相等的角是对顶角
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、两个锐角的和可能是锐角、钝角，也可能是直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、若两个角的和为，则这两个角互补，正确，是真命题，符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，补角的定义，锐角的定义，对顶角的定义．
变式2-3．（2022秋·北京海淀·七年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果，那么．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题；
③等角的余角相等，原说法正确，是真命题；
④如果，那么，原说法错误，是假命题，
即真命题的个数为1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
考查题型三 命题的题设与结论
典例3．（2022秋·福建福州·七年级福建省福州外国语学校校考阶段练习）命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的题设是____________，结论是_____________．该命题是__________命题（填“真”或“假”）．
【答案】 如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线 这两条直线相互平行 真
【分析】将命题转化为“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”即可找出题设和结论，根据平行线的判定方法判断该命题的真假．
【详解】解：原命题可以转化为“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线相互平行”，
故题设是“如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线相互平行”，根据平行线的判定定理，可知该命题是真命题．
故答案为：如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线；这两条直线相互平行；真．
【点睛】本题考查命题的概念和平行线的判定，当命题的题设和结论不明显时，可以将命题转化为“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
变式3-1．（2022秋·湖北宜昌·七年级校考期中）命题“内错角相等”的题设是_____，结论是____，它是________（“真”或“假”）命题．
【答案】 两个角是内错角 这两个角相等 假
【分析】将这个命题改写成“如果，那么”的形式，由此即可得出它的题设和结论，再根据同位角的定义即可判断真假．
【详解】解：命题“内错角相等”可改写为“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”，
则命题“内错角相等”的题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等，
因为两个内错角不一定相等，
所以它是假命题，
故答案为：两个角是内错角；这两个角相等；假．
【点睛】本题考查了命题的题设与结论、判断命题的真假，熟练掌握将命题改写成“如果，那么”的形式是解题关键．
变式3-2．命题“等边对等角”的题设是______结论是______
【答案】 同一个三角形中的两条边相等； 这两条边所对的两个角也相等
【分析】判断一件事情的语句叫做命题．任何一个命题都有题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分．
【详解】解：由于命题“在同一个三角形中，等边对等角”可改写成：在同一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的两个角相等．所以题设是同一个三角形中的两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等．
故答案为：同一个三角形中的两条边相等；这两条边所对的两个角相等．
【点睛】对于像本题这样简写的命题，题设和结论不明显，要经过分析，找出命题中的已知事项和由已知事项推出的事项，将命题改写成“如果…，那么…”的形式，从而区分命题的题设和结论．
变式3-3．命题“两点之间线段最短"的题设是______________，结论是______________．
【答案】 连接两点，得到线段； 线段最短
【分析】命题常常可以写为“如果……那么……”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论；根据上步的知识，从命题的定义出发，寻找题设和结论就可以了．
【详解】命题“两点之间线段最短"的题设是：连接两点，得到线段，结论是：线段最短，
故答案为：连接两点；线段最短
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
考查题型四 写出命题的逆命题
典例4．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______．
【答案】若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等
【分析】根据逆命题的定义，若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等即可．
【详解】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等，
故答案为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．
【点睛】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键．
变式4-1．“如果，那么”的逆命题为_____．
【答案】如果，那么
【分析】根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”．
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，解决本题的关键是掌握两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
变式4-2．写出命题“如果，那么或．”的逆命题：______．
【答案】如果或，那么
【分析】根据逆命题的写法，把原命题的条件作为结论，结论作为条件即可．
【详解】解：命题“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么，
故答案为：如果或，那么．
【点睛】题目主要考查命题与逆命题的写法，熟练掌握命题与逆命题的关系是解题关键
变式4-3．命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是________________．
【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形
【分析】根据逆命题的定义写出即可．
【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”．
故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
考查题型五 互逆定理的判断
典例5．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题是真命题B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C．命题一定有逆命题D．定理一定有逆命题
【答案】C
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误，不符合题意；
B．原命题是假命题，则它的逆命题不一定是假命题，故本选项错误，不符合题意；
C．命题一定有逆命题，故本选项正确，符合题意；
D．定理不一定有逆命题，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，也考查了逆命题，逆定理．
变式5-1．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题B．真命题的逆命题不一定是正确的
C．任何定理都有逆定理D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意；
B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意；
C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意；
D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理．
变式5-2．下列说法正确的是（ ）
A．真命题的逆命题也是真命题B．每个命题都有逆命题
C．每个定理都有逆定理D．假命题没有逆命题
【答案】B
【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误；
B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确；
C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误；
D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
变式5-3．下列说法中，正确的是（ ）
A．真命题的逆命题一定是真命题B．假命题的逆命题一定是假命题
C．所有的定理都有逆定理D．所有的命题都有逆命题
【答案】D
【分析】根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D进行判断．
【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，所以A选项错误；
B、假命题的逆命题不一定是假命题，所以B选项错误．
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、每个命题都有逆命题，所以D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．