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初中数学人教版九年级下册29.1 投影学案
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这是一份初中数学人教版九年级下册29.1 投影学案，共7页。学案主要包含了平行投影与中心投影等内容，欢迎下载使用。
1）理解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。
2）理解平行投影和中心投影的区别与联系。
3）理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识尝试解答。
学习重点：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
学习难点：在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影、正投影。
学习过程
1）课堂探究
一、平行投影与中心投影
【提问】观察下列图片中的影子你发现了什么共同点？
物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子。影子与物体形状和光线照射方式有关。
【概念理解】
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。
中心投影的概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
【问题】画平行投影与中心投影的图形
② ③
【探索与思考】其中图③与图①②的投影线有什么区别？图①②的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
区别：图①②的投影线互相平行，形成平行投影
图③投影线集中于一点中心投影
图①的投影线与投影面的位置关系：投影线斜着照射投影面，形成斜投影。
图②的投影线与投影面的位置关系：投影线垂直照射投影面，形成正投影。
【概念理解】一般地，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
【探索一】如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.1) 铁丝平行于投影面；2) 铁丝倾斜于投影面；3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探索二】如图，把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.1) 卡片平行于投影面；2) 卡片倾斜于投影面；3) 卡片垂直于投影面。三种情形下卡片的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探索三】如图，把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个个不同位置.1) 纸盒的一个平面ABCD平行于投影面；2) 纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面；观察两种情形下正方体纸盒的正投影，你发现了什么？
【练一练】
1．小红和小花在路灯下的影子，小红的比小花的长，则他们的身高关系是（ ）
A．小红比小花高B．小红比小花矮
C．小红和小花一样高D．不确定
【详解】小红的影子比小花的长，在同一路灯下他们的影长与他们到路灯的距离有关，所以无法判断谁的身高的高与矮．故选：D．
2．太阳发出的光照在物体上是（ ），路灯发出的光照在物体上是（ ）
A．平行投影，中心投影B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影D．中心投影，中心投影
【详解】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．故选：A．
3．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
4．三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
6．房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A．三角形B．平行四边形
C．圆D．梯形
【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．故选：B．
7．人从路灯下走过时，影子的变化是（ ）．
A．长→短→长B．短→长→短C．长→长→短D．短→短→长
【详解】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人在地上的影子先变短后变长．故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
【详解】解：设影长为2.4m的树高为m：
由题意得：，
解得：，
∴树高为：m．
10．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡．小李、小张、路灯的灯杆及小赵在同一平面内．
(1)画出该路灯灯泡所在的位置O；
(2)画出表示小赵身高的线段AB．
（1）解：由题意知在同一平面内，故如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，可知O点即为灯泡的位置；
（2）解：由题意知，如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A，AB即为小赵的身高；
【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？
1）理解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。
2）理解平行投影和中心投影的区别与联系。
3）理解现实生活中影子的现象，学会用数学知识尝试解答。
学习重点：理解平行投影、中心投影、正投影的特征。
学习难点：在投影面上画出平面图形的平行投影、中心投影、正投影。
学习过程
1）课堂探究
一、平行投影与中心投影
【提问】观察下列图片中的影子你发现了什么共同点？
物体在日光或灯光的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子。影子与物体形状和光线照射方式有关。
【概念理解】
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
平行投影的概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。
中心投影的概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
【问题】画平行投影与中心投影的图形
② ③
【探索与思考】其中图③与图①②的投影线有什么区别？图①②的投影线与投影面的位置关系又有什么区别？
区别：图①②的投影线互相平行，形成平行投影
图③投影线集中于一点中心投影
图①的投影线与投影面的位置关系：投影线斜着照射投影面，形成斜投影。
图②的投影线与投影面的位置关系：投影线垂直照射投影面，形成正投影。
【概念理解】一般地，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。
【探索一】如图，把一根直的细铁丝 (记为线段AB) 放在三个不同位置.1) 铁丝平行于投影面；2) 铁丝倾斜于投影面；3) 铁丝垂直于投影面 (铁丝不一定要与投影面有交点).三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探索二】如图，把一块正方形卡片P(记为正方形ABCD) 放在三个不同位置.1) 卡片平行于投影面；2) 卡片倾斜于投影面；3) 卡片垂直于投影面。三种情形下卡片的正投影各是什么形状？它们的大小关系呢？
【探索三】如图，把一个正方体纸盒P(记为正方体ABCDEFGH) 放在两个个不同位置.1) 纸盒的一个平面ABCD平行于投影面；2) 纸盒一个面ABCD倾斜于投影面P，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面；观察两种情形下正方体纸盒的正投影，你发现了什么？
【练一练】
1．小红和小花在路灯下的影子，小红的比小花的长，则他们的身高关系是（ ）
A．小红比小花高B．小红比小花矮
C．小红和小花一样高D．不确定
【详解】小红的影子比小花的长，在同一路灯下他们的影长与他们到路灯的距离有关，所以无法判断谁的身高的高与矮．故选：D．
2．太阳发出的光照在物体上是（ ），路灯发出的光照在物体上是（ ）
A．平行投影，中心投影B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影D．中心投影，中心投影
【详解】解：太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．故选：A．
3．下列结论正确的有（ ）
①同一时刻，同一公园内的物体在阳光照射下，影子的方向是相同的
②物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关
④物体在点光源照射下，影子的长短仅与物体的长短有关
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：①由于太阳光线是平行光线，所以物体在阳光照射下，影子的方向是相同的，故正确；
②物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关，故错误；
③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故正确；
④物体在点光源的照射下，影子的长短与物体的长短和光源的位置有关，故错误．
所以正确的只有2个．
故选：B．
4．三根等长的木杆竖直地立在平地的同一个圆周上，圆心处有一盏灯光，其俯视图如图所示，图中画出了其中一根木杆在灯光下的影子．下列四幅图中正确画出另两根木杆在同一灯光下的影子的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A．根据中心投影的意义，结合中心投影下影子的位置、长短关系可知，选项A符合题意；
B．由于是中心投影，根据三个杆子的位置可知，三个杆子的影子的位置不是同一个方向，因此选项B不符合题意；
C．根据光源在圆心，结合其影子的位置可知，故选项C不符合题意；
D．利用中心投影下影子位置可得，选项D中的杆子的位置与影子不相匹配，因此选项D不符合题意；
故选：A．
5．由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：从上面看，底层中最右边一个小正方形，上层是三个小正方形，
故选：A．
6．房间窗户的边框的形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（ ）
A．三角形B．平行四边形
C．圆D．梯形
【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．故选：B．
7．人从路灯下走过时，影子的变化是（ ）．
A．长→短→长B．短→长→短C．长→长→短D．短→短→长
【详解】解：因为人在路灯下行走的这一过程中离光源是由远到近再到远的过程，所以人在地上的影子先变短后变长．故选：A．
8．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【详解】解：如图，过点P作PE⊥CD于点E交AB于点M，
根据题意得：，
∴，
∵，A，B．
∴PE=2，AB=3，ME=1，
∴PM=1，
∴，即，
解得：CD=6，．
故选：B
9．数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为1.3m，又测得地面上的影长为2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？
【详解】解：设影长为2.4m的树高为m：
由题意得：，
解得：，
∴树高为：m．
10．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡．小李、小张、路灯的灯杆及小赵在同一平面内．
(1)画出该路灯灯泡所在的位置O；
(2)画出表示小赵身高的线段AB．
（1）解：由题意知在同一平面内，故如图，分别连接ME，NF并延长交点为O，可知O点即为灯泡的位置；
（2）解：由题意知，如图，连接OD，过B点作底面的垂线，交OD于点A，AB即为小赵的身高；
【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？
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