北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系导学案

这是一份北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系导学案，共34页。学案主要包含了即学即练等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 直线与圆的位置关系
1.切线的定义：
直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.
2．直线和圆的三种位置关系：
(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
3．直线与圆的位置关系的判定和性质．
直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？
由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么，
（1）d＜r直线l与⊙O相交；
（2）d=r直线l与⊙O相切；
（3）d＞r直线l与⊙O相离.
注意：
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．
知识点02 切线的性质定理和判定定理
1、切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
注意：
切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.
2、切线的性质定理推论
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
3、切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
注意：
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
4、切线的其他判定方法
（1）根据定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）根据数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
知识点03 三角形的内切圆和内心
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.
3．三角形内心与外心的对比
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
能力拓展
考法01 直线与圆的位置关系的应用
【典例1】已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】C
【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为5，
∴，，
∴，
∴直线与相离，
故选：C．
【即学即练】已知的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切
【答案】D
【详解】解：∵的半径为5，，
∴点O到直线l的距离，
∴直线l与的位置关系是相切或相交．
故选：D．
【典例2】平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：的半径为3，若直线与相离，
圆心到直线的距离，
故选：D．
【即学即练】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（ ）
A．3B．2C．4D．2
【答案】D
【详解】解：∵点的坐标为，
∴点为直线上任意一点，
如下图，
直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点，
由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小，
此时：＝，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
此时，
故选：D．
考法02 切线的性质的实际应用
【典例3】如图，直线AE与四边形ABCD的外接圆相切于A点．若∠DAE＝12°， ，则∠ABC的度数是（ ）
A．64°B．65°C．67°D．68°
【答案】D
【详解】解：如图：作直径AF，连接DF，
∵AE是圆O的切线，
∴∠EAF=90°，
∵∠ADF=90°，
∴∠EAD+∠DAF=90°，∠F+∠DAF=90°，
∴∠F=∠DAE
∵∠DAE=12°（已知），
∴∠F=12°，
∴的度数是2×12°=24°，
∵，
∴弧的度数是×（360°-24°）=112°，
∴的度数是24°+112°=136°，
∴∠ABC=×136°=68°．
故答案为D.
【即学即练】如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25°B．20°C．30°D．35°
【答案】C
【详解】解：为圆的切线，
，即，
，
，
．
故选：C．
【典例4】如图，，是的两条切线，A，B是切点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵，是的两条切线，A，B是切点，
∴，
∴，
故选C．
【即学即练】如图所示，是的外接圆，为的直径，过点作的切线，交的延长线于点D．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：连接，
为的切线，
.
，
，
.
故选：C．
考法03 三角形内切圆的有关计算
【典例5】如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（ ）
A．4B．8C．12D．16
【答案】D
【详解】解：∵圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，图中3个阴影三角形的面积之和为4，
∴的面积为8，
∵内切圆半径为1，
∴的周长，
则的周长为：16．
故选：D．
【即学即练】如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为．
故选：A．
【典例6】如图，点 O 是△ABC 的内心，也是△DBC 的外心．若∠A＝80°，则∠D 的度数是（ ）
A．60°B．65C．70°D．75°
【答案】B
【详解】解：连接OB，OC，如图，
点 O 是△ABC 的内心，
，，
，
，
点 O是△DBC 的外心，
，
故选：B．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠BOC＝140°，I是内心，O是外心，则∠BIC＝（ ）度
A．70B．135C．55D．125
【答案】D
【详解】解：在中，，是外心，
，
，
，
为的内心，
，，
，
，
故选：D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知与直线相交，且圆心O到直线的距离是方程的根，则的半径可为（ ）．
A．1B．2C．2.5D．3
【答案】D
【详解】∵圆心O到直线的距离是方程的根，
∴，
∵与直线相交，
∴
∴，
故选：D．
2．如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点D；若，则的度数是（ ）
A．23°B．44°C．46°D．57°
【答案】B
【详解】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
．
故选：B．
3．已知平面内有和点A，B，若半径为2cm，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离B．相交C．相切D．相交或相切
【答案】D
【详解】解：的半径为2cm，线段，，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在外，点B在上，
∴直线与的位置关系为相交或相切，
故选：D．
4．若，，则以点O为圆心，为半径的圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】C
【详解】解：如图，作，垂足为D，
∵，，
∴，
∵，
∴直线与圆O相离．
故选：C．
5．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
【答案】D
【详解】解：如图，中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，
故选：D．
．
6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A．B．1C．或D．1或3
【答案】C
【详解】解：（1）当的圆心P在y轴左侧时，
P到y轴距离时，⊙P与y轴相切，
∴移动时间（秒）；
（2）当 的圆心P在y轴右侧时，
P到y轴距离时，与y轴相切，
∴移动时间（秒）．
故选C．
7．如图，内接于，直线与相切于点B，若，则＝_____．
【答案】##40度
【详解】解：∵直线与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴∠OBA=∠OAB，
∴，
∴，
故答案为：．
8．已知⊙O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d是方程的两根，当直线m与⊙O相切时，_______．
【答案】4
【详解】解：∵直线和圆相切，
∴，即方程有两个相等的根，
∴，
∴，
故答案为：4
9．如图，线段经过圆心，交于点、，点在上，连接、，，是的切线吗？请说明理由．
【答案】是的切线，理由见详解
【详解】解：线段经过圆心，如图所示，连接，则，
∵，，
∴，
∴，
即在中，，即，且点在圆上，为半径，
∴是的切线．
故是的切线．
10．如图，是的直径，点D在的延长线上，C为上的一点，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是的切线．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）解：，，
，
；
（2）证明：，，
，
，
又∵点D在上，
是的切线．
题组B 能力提升练
1．如图，正方形的顶点A、D在上，边与相切，若正方形的周长记为，的周长记为，则、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法判断
【答案】A
【详解】如图：设与⊙O相切与点N，连接ON，延长NO交AD于点M，
为中点，
设正方形的边长为，⊙O的半径为，
，
在中，，
，
，
正方形周长为，⊙O的周长为，
，，
，
，
，
．
故选：A．
2．在等腰直角三角形中，，点O为的中点，以O为圆心作交于点M、N，与、相切．切点分别为D、E，则的半径和的度数分别为（ ）
A．2，30°B．3，30°C．3，22.5°D．2，22.5°
【答案】D
【详解】解：因为与、相切．切点分别为D、E，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以是三角形的中位线，
因为，
所以；
所以，
因为，
所以，
故选D．
3．如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
，
是的内切圆，点是内心，
平分，平分，
，，
，
，
故选：B．
4．点I是的内心，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【详解】如图，
∵点I是的内心，
∴，
∵，
∴；
∴；
∴．
故选：A．
5．矩形ABCD的对角线BD=4，DE⊥AC于点E，则当∠DBE最大时，BE的长度为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【详解】设与的交点为点F，由矩形的性质可得，
，
点在以为直径的上，如下图，
∵当是⊙O的切线时，最大，
∴当最大时，，
∵，
∴，
∴．
故答案为D．
6．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【详解】解：由题可得，点C在以为直径的上运动，
点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值，
此时，直线与相切，交x轴与E，如图所示，
∴E、F，
∴，
∴是等腰三角形，，
连接，
∵A、B，
∴D，
∴，
∴，
根据可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为，
∴C，
代入直线，可得
，
解得，
∴的最大值为，
故选：A．
7．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 __．
【答案】
【详解】解：设与相切于点F，连接，，
∵，，
∴，
中，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴若与相切时，和一定相交；
若与相切时，和一定相离．
同理当与相切于点M时，连接，，计算得，
∴此时，
∴当时，与矩形的各边都没有公共点，
故答案为：．
8．如图，在中，，，，半径为1的在内平移（可以与该三角形的边相切），则点A到上的点的距离的最大值为______．
【答案】##
【详解】设直线交于点（在点右边），则点到上的点的距离的最大值为的长度
当与相切时，最长
设切点分别为连接，如图
∵，，
∴,
∵与相切
∴
∵的半径为
∴
∴
∴
∴
∴
∴点到上的点的距离的最大值为
9．如图，是的直径，是的切线，C为切点，，与相交于点E．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，与相交于点F，若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
设，
∵的半径为3，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．如图，在中，，点E是的中点，以为直径的与边交于点D，连接．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的直径．
【答案】(1)相切，见解析
(2)15
【详解】（1）直线是的切线．
理由：连接DO，如图，
∵为直径，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵是的半径，
∴与相切；
（2）由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
∴直径为15．
题组C 培优拔尖练
1．如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与的延长线交于点．若点是弧的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
∵圆内接四边形的边过圆心，，
∴，
又∵
∴，∴
∵是的切线，
∴,
∵点是弧的中点，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：D
2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）域的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵如图所示的正三角形，
∴，
设三角形的边长是a，
∴，
∵是内切圆，
∴，，
∴，
则正三角形的面积是，而圆的半径是，面积是，
因此概率=．
故选：D．
3．如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．6.5B．7C．5.5D．6
【答案】D
【详解】如图，连接、，
点为的内心，
平分，平分，
，，
平移使其顶点与重合，
，，
，，
，，
，，
，
即图中阴影部分的周长为6．
故选：D．
4．在平面直角坐标系中，以原点为圆心的半径是10，点的坐标是，则点与的位置关系是（ ）
A．点在内上B．点在内C．点在外D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵点的坐标是，
∴由勾股定理可得，
又半径是10，
∴点在内上，
故选：A．
5．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小，
∵绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴当为的切线时，P到的距离最短，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
∴， ，
此时的面积为
即面积的最小值为4．
故选：B
6．如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【详解】①连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故平分正确；
②∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故正确；
③∵若，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故若，则阴影部分的面积为不正确；
④∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故若，则正确．
故选：B．
7．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 __．
【答案】或
【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示：
∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
最大值为圆与圆E内切，切点为Q，
∴，
当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意，
设，则，
∴，
∴，
则长度的取值范围是或．
故答案为：或．
8．如图，在矩形中，点为的中点，点为边上的动点，连结．将沿着翻折，使点的对应点恰好落在线段上．若三点共线，则的值为________；若，且这样的点有且只有一个时，则的长为________．
【答案】 4
【详解】如图，当A，，C三点共线时，连结三点，
∵在矩形中，点为的中点，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
∴．
当这样的点有且只有一个时，
即以为半径的与相切，
∴
∵为的中点，则，
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴．
∴
∵，
∴，
∴．
故答案为：，．
9．如图1，A，P，B，C是上的四个点，．
(1)若，判断的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，若CP是的直径，，交于点E，过点A的切线交的延长线于点Q，若，，求的值．
【答案】(1)为等边三角形，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：若，为等边三角形，理由如下：
，
，
根据同弧所对应的圆周角相等，
，
，
为等边三角形；
（2）解：连接，
为直径，
，
，根据垂经定理得：
，
，
，
，
，
，
解得：．
10．如图，将含30°角的直角三角板绕其直角顶点C顺时针旋转α，得到与交于点D，过点D作交于点E，连接．设的面积为S．
(1)当时，求x的值．
(2)①求证为直角三角形；
②求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)以点E为圆心，为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
(3)与相离时，；与相交时，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∴；
（2）解；①由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、C、E四点共圆，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，
∴．
∴，．
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
解得或．
①当时， ，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴此时与相离．
过D作于F，则，．
∴．
∴；
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时与相交．
同理可求出．
综上所述，与相离时，；与相交时，．
课程标准
1.知道直线和圆的三种位置关系—相交、相切、相离；
2.掌握切线的概念、圆的切线的性质，并学会运用；
3.能判断一条直线是不是圆的切线，会过圆上一点作圆的切线；
4.知道三角形的内切圆、三角形的内心的概念，会用尺规作已知三角形的内切圆.
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
三角形的内心到三角形的三边的距离相等
位置
外心不一定在三角形内
内心一定在三角形内
角度关系