第2章 二次函数单元复习-北师大版数学九年级下册同步精品讲义

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第10讲 二次函数单元复习目标导航知识精讲知识点01 二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。注意：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。知识点02 二次函数的图象与性质1．二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3．抛物线中，的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即 、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).注意：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点03 二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根。知识点04 利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义。利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.注意：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、桥梁、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.能力拓展考法01 求二次函数的解析式【典例1】已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴交于点，这个抛物线的解析式是（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的解析式为，把点代入解析式，得，解得ａ=1，∴，故选A．【即学即练】已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，∴函数的顶点坐标是，∴，解得，经检验均符合∴该抛物线的解析式为.故选D.【典例2】如图，将二次函数的图像沿轴对折，得到的新的二次函数的表达式是（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵关于x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴将二次函数的图象沿x轴对折后得到的图象解析式为，即．故选：D．【即学即练】若抛物线与抛物绒的顶点重合，且与轴的交点的坐标为，则抛物线的表达式是（             ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物绒y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物绒y=2x2-4x-1的顶点重合，∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，∵与y轴的交点的坐标为（0，1），∴1=a-3，解得a=4，∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1，故选B．考法02 根据二次函数图象及性质判断代数式的符号【典例3】在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．由的图象可知，，，由的图象可知，，，此选项错误；B．由的图象可知，，，由的图象可知，，，此选项错误；C．由的图象可知，，，由的图象可知，，，此选项正确；D．由的图象可知，，，由的图象可知，，，此选项错误．故选：C．【即学即练】二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是(     )．A． B．C． D．【答案】C【解析】解：观察二次函数的图象得：，∴，，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限．故选：C【典例4】如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，∵图象与y轴的交点为正半轴，∴c＞0，则abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：，将交点坐标代入得：，故化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，则②③④正确，故选C．【即学即练】在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（       ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝＞0，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为x＝＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②错误；③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴，故⑤正确．综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．考法03 函数与一元二次方程【典例5】已知抛物线（，，是常数，）经过点和，其对称轴在轴左侧．有下列结论：①抛物线经过；②有两个不相等的实数根；③，其中正确结论的个数是（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，其对称轴在y轴左侧，故抛物线不能经过点(-1，0)，因此①错误；抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，可知抛物线开口向上，与直线y=-1有两个交点，因此方程有两个不相等的实数根，故②正确；∵对称轴在y轴左侧，∴，∵a>0，∴b>0，∵经过点(1，0)，∴a+b+c=0∵经过点(0，-3)，∴c=-3∴a+b=3∴b=3-a，∵3-a<3+a，即b<3+a，∴a-b>-3，∵抛物线（a，b，c为常数，a≠0）经过点(1，0)，(0，-3)，其对称轴在y轴左侧，∴当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，∴a-b<3，∴-30，∴图象的开口向上，故此选项错误，不合题意；B、顶点坐标为(3，1)，故此选项正确，符合题意；C、对称轴为直线x=3，故此选项错误，不合题意；D、当x>3时，y随x增大而增大，故此选项错误，不合题意；故选：B．4．在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(     )A．6米 B．10米 C．12米 D．15米【答案】B【解析】铅球落地时高度为0，即当y=0时，=0，解得x1=10，x2=-2（舍去），所以该生此次实心球训练的成绩为10米，故选：B．5．已知抛物线过点(2，2)，则m的值为(       )A．1 B．4 C．3 D．0【答案】B【解析】将点(2，2)代入，得：，解得：．故选B．6．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y10．其中正确的有（       ）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】解：①抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y交于负半轴，则c＜0，x=-=1，即b=-2a，则b＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵（-3，y1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，（4，y2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，∴点（-3，y1）离对称轴要比点（4，y2）离对称轴要远，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，∴y1＞y2，故②错误；③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为−10∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上∴c>0故①错误．∵对称轴为x=-1∴x=-2与x=0时y的值相等都大于0即4a-2b+c>0故②正确．由图知x=2时y<0∴4a+2b+c<0∵b=2a∴4a+4a+c<0即8a+c<0故③错误．∵抛物线过(1，0)点∴a+b+c=0∴a+2a+c=0∴c=-3a又∵3a-3b=3a-6a=-3a∴c=3a-3b故④正确．∵b=2a，c=-3a∴抛物线的表达式为：y=ax2+2ax-3a联立得ax2+bx+c=2x+2，即ax2+2ax-3a=2x+2ax2+(2a-2)x-3a-2=0       ∴∴=+        =-5故⑤正确．故正确的个数有3个故选：C7．已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表当时，自变量x的取值是______，当时，自变量x的取值范围是______．【答案】     ﹣1或4     或【解析】由表可知，当x=-1时，=0，当x=4时，当x=-1时，=5，∴当x=-1或4时，当x=-1时，；故答案为：-1或4．∵当-14；故答案为：x<-1或x>4．8．在平面直角坐标系中，已知抛物线恰好经过和两点．（1）求a的值___________；（2）平移抛物线，使其顶点仍在直线上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值___________．【答案】     -1     【解析】（1）将A，C两点的坐标代入，得 解得：，；故a的值为-1故答案为：-1．（2）由（1）知，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+1，设平移后所得抛物线对应的表达式为，∵顶点在直线上，∴．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z∵z=，∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为．故答案为：9．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．(1)求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】(1)y＝﹣2x＋180(2)w＝﹣2x2＋260x﹣7200(3)55元，1050元【解析】（1）解：由题意得：y＝80﹣2（x﹣50）化简得：y＝﹣2x＋180；（2）解：由题意得：w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋260x﹣7200；（3）解：w＝﹣2x2＋260x﹣7200=-2（x-65）2+1250∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下．当x＝65时，w有最大值．     又∵x＜65，w随x的增大而增大．∵40