第10讲 圆单元复习 北师大版数学九年级下册精品讲义

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第20讲 圆单元复习目标导航知识精讲知识点01 圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.注意：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.注意：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点02 与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.注意：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.知识点03 三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.注意：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点04 圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.注意：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.能力拓展考法01 圆的有关概念及性质【典例1】如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B【典例2】如图，在中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：∵，，∴ ,故选A．【即学即练】如图，是的直径， ，，则的度数是（　　） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵ ， ，∴，∴．故答案为：D．考法02 弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理【典例3】如图，在中，如果＝2 ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（    ）A．AB＝AC B．AB＝ 2AC C．AB ＞2AC D．AB ＜ 2AC【答案】D【详解】如图，取弧的中点，连接，，则＝2 ＝2∵＝2 ∴ ＝=．在中，，，即．故选：D．【即学即练】如图，在 ⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（    ）A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA【答案】D【详解】在 ⊙O中，，，故A选项正确；在与中，，，，D、E分别是半径OA，OB的中点,，在与中，，，，，故B、C选项正确；和不一定相等，和不一定垂直，故D选项不成立．故选：D．【典例4】如图，是的直径，于E，，，则为（    ）A．17 B．30 C．34 D．36【答案】C【详解】解：连接，如下图：设半径为，则，，∵，是的直径，∴，，由勾股定理可得：，即解得，，故选：C【即学即练】如图，是的弦，半径为，，则弦的长为（　　）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：如图：过点O作于C，则，．在中，，∴．∴．故选：C．考法03 与圆有关的位置关系【典例5】已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　）A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定【答案】C【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，，∴点P在外．故选：C．【即学即练】在直角坐标平面内，如果点在以为圆心，2为半径的圆内，那么a的取值范围是（　　）A． B． C． D．．【答案】C【详解】解：∵点在以为圆心，2为半径的圆内，∴，则，解得，故选：C．【典例6】已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】A【详解】解：设的半径为，由的面积为可得，解得∵，∴直线与相交，故选：A【即学即练】如图，两个同心圆的半径分别为3，5，直线l与大交于点A，B，若，则直线l与小的位置关系是（    ）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【详解】解：如图，作于．，，在中，，，直线与相离．故选：C．考法04 圆中有关的计算【典例7】如图，是的外接圆，，则的度数为（　　）A．45° B．55° C．70° D．75°【答案】B【详解】解：是的外接圆，，．故选：B．【即学即练】如图，在中，半径垂直弦于点D．若，则的大小为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，，，故选：A．【典例8】若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（　　）A．3 B．6 C． D．【答案】D【详解】解：.故选：D．【即学即练】半径为1的圆中，扇形的圆心角为，则扇形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：，故选：C．考法05 圆与其他知识的综合运用【典例9】如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点．若的半径为4，且，则的长度为（    ）A．5 B． C． D．6【答案】D【详解】解：如图，设与正方形的边、切于点F、H，则，∵，∴四边形是正方形，∵的半径为4，且，∴，∴，∵与相切于点E，∴，故选：D．【即学即练】已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是，则在直角中，，，，，解得．故选：B．分层提分题组A 基础过关练1．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B.2．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是（　　）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】C【详解】解：设圆锥的展开图扇形的圆心角的度数为．∵圆锥的底面圆的周长＝2π•10＝20π，∴圆锥的展开图扇形的弧长＝20π，∴20π＝，∴n＝120°．故答案选：C．3．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】B【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝2，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE=CF，∵BE+CE＝BC＝5，∴BD+CF＝BE+CE =BC＝5，∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，故选：B．4．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB＝CD，那么弧AB与弧CD的关系是（　　）A．弧AB=弧CD B．弧AB＞弧CD C．弧AB＜弧CD D．不能确定【答案】D【详解】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.故选D．5．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是(    )A．AB＝AD B．AC＝BD C．BE＝CD D．BE＝AD【答案】B【详解】连接BC，∵∴∴∴AC＝BD故选：B6．如图工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．则这个小圆孔的宽口AB的长度是（　　）A．5mm B．6mm C．8mm D．10mm【答案】C【详解】解：连接AB，OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵钢珠的直径是10mm，钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OA=5mm，OD=8-5=3mm，∵OD⊥AB，∴在Rt△OAD中，AD===4mm，∴AB=2AD=8mm．故选C．7．如图，是的直径，弦于点E，若，，则的长为______．【答案】1【详解】解：∵是的直径，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为1．8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】【详解】连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣2）2，解得：x＝，∴⊙O的半径为，故答案为．9．如图，直线，垂足为P，测得．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；（2）求该圆弧的长．【答案】（1）答案见解析；（2）．【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧；（2）由题意及作图过程可得：∠AOC=90°，∵∠ACP=45°，AC=6cm，∴OA==cm，∴弧AC==cm．10．如图，已知AB是⊙O的直径，．（1）求的度数；（2）过点D作，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若，求EF的长．【答案】（1）60°；（2）【详解】解：（1）如图所示，连结， ∵， ∴， ∵是的直径，∴，∴． （2）∵，，，∴，∵，即，∴，∵，且是直径，∴．题组B 能力提升练1．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．2．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（   ）A．12π B．6π C．5π D．4π【答案】D【详解】解：如图，连接OC，∵OA＝OC，∠CAB＝30°，∴∠C＝∠CAB＝30°，∴∠AOC＝120°，∴弧AC的长度l＝．故选：D．3．过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（    ）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm【答案】C【详解】解：由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED⊥AB于点M， 则ED=10cm，AB=8cm，由垂径定理知：点M为AB中点，∴AM=4cm，∵半径OA=5cm，∴OM2=OA2-AM2=25-16=9，∴OM=3cm．故选：C．4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（   ）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】如图，由题意知，，在以为直径的的上（不含点、可含点，最短时，即为连接与的交点（图中点点），在中，，，则．，长度的最小值，故选：．5．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（    ）A．π B．π C．π D．2π【答案】A【详解】解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示：∵N为BM的中点，Q为AB的中点，∴NQ为△BAM的中位线，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝4，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴为⊙O的周长，∴线段BM的中点N运动的路径长为：π，故选：A．6．如图的矩形ABCD中，E为的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与相交于P、Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：（甲）作∠DEC的角平分线L，作的中垂线，交L于O点，则O即为所求；（乙）连接，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（    ）A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确【答案】A【详解】解：甲，∵矩形ABCD，E为AB的中点，∴AE=EB，∠A=∠B=，AD=BC， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴ED=EC， ∴△DEC为等腰三角形，∵射线L为∠DEC的角平分线，∴射线L为线段CD的中垂线， ∴O为两中垂线之交点， 即O为△CDE的外心， ∴O为此圆圆心．乙，∵∠ADC=，∠DCB=， ∴PC、QD为此圆直径， ∴PC与DQ的交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确．故选：A．7．如图，半圆形纸片AMB的半径为1 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .【答案】cm【详解】作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE=，折痕CD的长为2×=（cm）．故答案为cm8．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．【答案】【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AFAO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值为6∵AFAO∴AO的最大值为3．故答案为：39．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．(1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）(2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；（2）连接、，交于E，∵，∴，∴，在中，，设的半径为R，在中，∴，即，∴，答：圆片的半径R为．10．如图，在中，，是的平分线，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，的长为半径的圆经过点，交于点，交于点．(1)求证：为的切线；(2)当，时，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：（1）连接，如图：平分，，，，，//，，平分，，，为的切线；（2）解：连接，如图：，平分，，，，，，，，设，则，是切线，，，，解得，，，为直径，，//，，，即，．题组C 培优拔尖练1．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=70°，则∠AOC的度数等于(      )A．140° B．130° C．120° D．110°【答案】A【详解】因为∠ABC和∠AOC是同一条弧AC所对的圆周角和圆心角，所以∠AOC=2∠ABC×70°=140°.2．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（　　）A．40° B．140°或40° C．20° D．20°或160°【答案】B【详解】解：当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角：∠ACB＝；当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角：∠ADB＝180°−∠ACB＝180°−40°＝140°；所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．故答案选：B．3．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（　　）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．故选：C．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（    ）A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA【答案】B【详解】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故此选项不符合题意；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，，故此选项符合题意；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，不符合题意；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，不符合题意．故答案为：B．5．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①；②HC＝BF：③MF＝FC：④，其中成立的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解：∵F为的中点，∴，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴，∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴＝180°，∴＝180°，∴，故④正确，故选：C．6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为(   )A．3 B．1+ C．1+3 D．1+【答案】D【详解】解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ=QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO=90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，在Rt△OCH中，∵∠COH=60°，OC=2，∴OH= OC=1，CH=，在Rt△CKH中，CK= =，∴CQ的最大值为1+，故选D．7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_______．【答案】【详解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴ACAB＝2，∴点Q的运动路径长为π8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π）【答案】2﹣【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．∴AC =1，S△ABC=×2×2=2，∵三条弧所对的圆心角的和为180°，∴三个扇形的面积和==，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC−三个扇形的面积和=2﹣故答案为：2﹣9．如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1），，，，，，是直径，，，是的切线；（2），，，设，则，，，在中，，即，解得（舍去），．10．如图，矩形ABCD是⊙O的内接矩形，⊙O半径为5，AB＝8，点E、F分别是弦CD、BC上的动点，连结EF，∠EAF始终保持等于45°．（1）求AD的长度．（2）已知DE＝，求BF的长度．（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，请求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．【详解】（1）如图，连接BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵⊙O半径为5，∴BD＝10，∴AD＝ ＝6；（2）如图，过点E作EG⊥AE交AF的延长线于点G，过点G作MN⊥AB，分别交直线DC、AB点M、N，在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，∴∠EMG＝∠D＝90°，∴四边形ADMN是矩形，∴∠EGM+∠MEG＝90°，∴∠AED+∠MEG＝90°，∴∠EGM＝∠AED，在△AEG中，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EGF＝45°，∴AE＝EG，∴△AED≌△EGM（AAS），∴MG＝DE＝ ，EM＝AD＝6，∴AN＝DE+EM＝ ，NG＝MN﹣MG＝ ，∵MNADBC，∴△ABF∽△ANG，∴ ，解得BF＝2；（3）△AEF的面积存在最小值，理由如下：过点E作EH⊥AB于H，交AF于点P，作△APE的外接圆⊙I，连接IA、IP、IE，过I作IQ⊥CD于点Q，设⊙I的半径为r，∵∠EAF＝45°，∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，∴EP＝ r，IQ＝r，∵IA+IQ≥AD，∴r+r≥6，∴r≥12﹣6 ，∴S△AEF＝AB•EP＝4r，∴S△AEF≥4（12﹣6），∴S△AEF ﹣48，∴△AEF的面积存在最小值，最小值48﹣48．课程标准1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.