高考数学解答题专项练习

这是一份高考数学解答题专项练习，文件包含立体几何docx、统计与概率docx、解三角形docx、数列docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共130页， 欢迎下载使用。
一、梳理必备知识
（2）解独立性检验问题的关注点
= 1 \* GB3 ①两个明确：（ = 1 \* rman i）明确两类主体；（ = 2 \* rman ii）明确研究的两个问题；
= 2 \* GB2 ⑵两个准确：（ = 1 \* rman i）准确画出列联表；（ = 2 \* rman ii）准确理解
二、解答题综合训练
1.某市某书店为了了解销售单价(单位:元)在[8,20]内的图书的销售情况,从2022年已经销售的图书中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取100本,将获得的所有样本数据按照[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成6组,制成如图J5-1所示的频率分布直方图,已知样本中销售单价在[14,16)内的图书本数是销售单价在[18,20]内的图书本数的2倍.
(1)求x,y的值;
(2)根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)根据频率分布直方图从销售单价低于12元的图书中任取2本,求这2本图书中,至少有1本的销售单价低于10元的概率.

图J5-1
1.解:(1)样本中图书的销售单价在[14,16)内的图书本数是x·2×100=200x,样本中图书的销售单价在[18,20]内的图书本数是y·2×100=200y.
由题意得200x=2×200y,即x=2y①.2分
根据频率分布直方图可知(0.025+0.05+y+0.1×2+x)×2=1②.
由①②解得x=0.15,y=0.075.4分
(2)根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为9×0.025×2+11×0.05×2+13×0.1×2+15×0.15×2+17×0.1×2+19×0.075×2=14.9,6分
因为(0.025+0.05+0.1+0.15)×2=0.65>0.5,所以中位数在[14,16)内.
设中位数为x,则(0.025+0.05+0.1)×2+0.15(x-14)=0.5,解得x=15,故中位数为15.8分
(3)销售单价低于12元的图书共有(0.025+0.05)×2×100=15(本),10分
其中销售单价低于10元的图书有0.025×2×100=5(本),
从销售单价低于12元的图书中任取2本,这2本图书的销售单价都不低于10元的取法有C102种,
因此,所求事件的概率为1-C102C152=47.12分
2.某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是，，，，，.

(1)求图中的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(3)从一模数学成绩位于，的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间的人数记为，求的分布列及数学期望.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，
，所以.
（2）该1000名学生的数学成绩的平均分约为
.
（3）由（1）知，，所以一模数学成绩在区间与的人数之比为，
所以抽取的8人中有6人的数学成绩在区间内，
所以的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
3.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为:子时的睡眠对一天至关重要(子时是指23点到次日凌晨1点).相关数据表明,入睡时间越晚,深度睡眠时间越少,睡眠指数也就越低,根据某次的抽样数据,对早睡群体和晚睡群体睡眠指数的统计如下表:
注:早睡人群为23:00前入睡的人群,晚睡人群为凌晨1:00后入睡的人群.
(1)根据表中数据,估计早睡人群睡眠指数的25%分位数与晚睡人群睡眠指数的25%分位数分别在第几组?
(2)据统计,睡眠指数在区间[76,90)内的人群中,早睡人群约占80%,从睡眠指数在区间[76,90)内的人群中随机抽取3人,以X表示这3人中属于早睡人群的人数,求X的分布列与均值E(X).
解:(1)因为0.1%+11.1%=11.2%25%,所以早睡人群睡眠指数的25%分位数在第3组.3分
因为9.2%25%,所以晚睡人群睡眠指数的25%分位数在第2组.5分
(2)由题得睡眠指数在[76,90)内的人群中抽到早睡人群的概率约为45,抽到晚睡人群的概率约为15.6分
X的可能取值为0,1,2,3,7分
则P(X=0)=C30×450×153=1125,
P(X=1)=C31×451×152=12125,
P(X=2)=C32×452×151=48125,
P(X=3)=C33×453×150=64125,10分
所以随机变量X的分布列为
所以E(X)=0×1125+1×12125+2×48125+3×64125=125.
4.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

(1)求图中的值；
(2)根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为能否晋级成功与性别有关；
(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．

【详解】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知，解得．
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，
所以晋级成功的人数为，
填表如下：
所以，
所以有的把握认为能否晋级成功与性别有关．
（3）由（2）知晋级失败的频率为，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，
易知，
则，，
，，
．
所以的分布列为
则．
5.食品安全问题越来越受到人们的重视．某超市在购进某种水果之前，要求食品安检部门对每箱水果进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，这种水果才能在该超市销售．已知每箱这种水果第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测不合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测互不影响．
(1)求每箱这种水果能在该超市销售的概率；
(2)若这种水果能在该超市销售，则每箱可获利300元，若不能在该超市销售，则每箱亏损100元，现有4箱这种水果，求这4箱水果总收益的分布列和数学期望．
【详解】（1）设每箱这种水果能在该超市销售为事件，
则，
即每箱这种水果能在该超市销售的概率为.
（2）的所有可能取值为1200，800，400，0，．
因为，
，
，
，
，
所以的分布列为
所以．
6.飞行棋是一种竞技游戏，玩家用棋子在图纸上按线路行棋，通过掷骰子决定行棋步数．为增加游戏乐趣，往往在线路格子中设置一些“前进”“后退”等奖惩环节，当骰子点数大于或等于到达终点的格数时，玩家顺利通关．已知甲、乙两名玩家的棋子已经接近终点，其位置如图所示：

(1)求甲还需抛掷2次骰子才顺利通关的概率；
(2)若甲、乙两名玩家每人最多再投掷3次，且第3次无论是否通关，该玩家游戏结束．设甲、乙两玩家再投掷骰子的次数为，分别求出的分布列和数学期望．

【详解】（1）甲第1次抛掷未到达终点，其点数应小于4
若第1次掷出的点数为1，根据游戏规则，棋子前进1步后可再前进1步，到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为
若第1次掷出的点数为2，棋子到达距离终点差2步的格子，第2次掷出的点数大于1，即可顺利通关，其概率为
若第1次掷出的点数为3，根据游戏规则，棋子到达距离终点差1步的格子后需后退3步，又回到了原位，第2次掷出的点数大于3，可顺利通关，其概率为
故甲抛掷2次骰子顺利通关的概率为
（2）依题意得，，
，，
，
7.近年来,乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一,今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军,比赛采用三局两胜制,即某选手率先获得两局胜利时比赛结束,根据以往经验,甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为23,13,且每局比赛相互独立.
(1)求甲获得乒乓球比赛冠军的概率.
(2)比赛开始前,工作人员买来两盒新球,分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒,每局比赛前裁判员从盒中随机取出一个球用于比赛,且局中不换球,该局比赛后,直接丢弃,裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致,且第一局从白盒中取球.记甲、乙决出冠军后,两盒内白球剩余的总数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
7.解:记事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比赛中获胜”,事件Ai=“甲在第i(i=1,2,3)局比赛中未获胜”,则P(Ai)=23,P(Ai)=1-P(Ai)=13(i=1,2,3).1分
记事件A=“甲获得冠军”,
则P(A)=P(A1A2)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=232+13×232+13×232=2027.5分
(2)设甲、乙决出冠军共进行了Y局比赛,易知Y=2或Y=3,则P(Y=2)=P(A1A2)+P(A1A2)=232+132=59,故P(Y=3)=1-P(Y=2)=49.7分
记Wi=“第i局从白盒中抽取白色的球”,Mi=“第i局从黄盒中抽取黄色的球”,则X的可能取值为1,2,3,8分
P(X=1)=P(Y=2)P(W1W2)+P(Y=3)[P(W1W2W3)+P(W1W2M3)+P(W1M2W3)]=59×23×12+49×23×12×1+23×12×13+13×13×1=3581,
P(X=2)=P(Y=2)[P(W1W2)+P(W1M2)]+P(Y=3)[P(W1W2M3)+P(W1M2M3)]=59×23×12+13×13+49×23×12×23+13×23×12=3281,
P(X=3)=P(Y=2)P(W1M2)+P(Y=3)P(W1M2M3)=59×13×23+49×13×23×12=1481.10分
综上可得,X的分布列如下:
故E(X)=1×3581+2×3281+3×1481=4727.12分
8.某特种商品生产企业的甲、乙两个厂区共生产产品4a件,其中共有不合格产品a件,图J6-2为全部产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图①),以及不合格产品中甲、乙两厂区生产产品数的分布图(图②).
(1)求甲、乙厂区各自生产产品的不合格率.不合格率=不合格产品数总产品数
(2)用不合格率估计抽到不合格产品的概率.
(i)用比例分配的分层随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本,记X为样本中不合格品的件数,求X的分布列.
(ii)用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本,记Y为样本中不合格品的件数,比较E(X),E(Y)的大小,并说说你对这一大小关系实际含义的理解.

图J6-2

8.解:(1)由图①知甲厂区生产了3a件产品,乙厂区生产了a件产品,由图②知甲、乙两厂各生产不合格产品a2件.2分
则甲厂区生产产品的不合格率P1=a23a=16,乙厂区生产产品的不合格率P2=a2a=12.4分
(2)(i)由题可知,样本中3件产品来自甲厂区,1件产品来自乙厂区,X的可能取值为0,1,2,3,4,
P(X=0)=563×12=125432,P(X=1)=C31×16×562×12+563×12=2554,6分
P(X=2)=C32×162×56×12+C31×16×562×12=524,P(X=3)=163×12+C32×162×56×12=127,
P(X=4)=163×12=1432.7分
则X的分布列为
8分
(ii)全部产品的不合格率P=a4a=14,则Y~B4,14,
∴E(Y)=4×14=1.9分
由(i)知E(X)=0×125432+1×2554+2×524+3×127+4×1432=1,10分
∴E(X)=E(Y),11分
说明抽样方法不同,但都是等可能抽样且样本容量相同时,样本中不合格品件数的期望也相同.12分
9.为实现乡村的全面振兴,某地区依托乡村特色优势资源,鼓励当地农民种植中药材,批发销售.根据前期分析多年数据发现,某品种中药材在该地区各年的平均每亩种植成本为5000元,此品种中药材在该地区各年的平均每亩产量与此品种中药材的国内市场批发价格(如图J6-2)均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
(注:各年的平均每亩纯收入=各年的平均每亩产量×批发价格-各年的平均每亩种植成本)
(1)以频率估计概率,试估计该地区某农民今年种植此品种中药材获得最高纯收入的概率.
(2)设该地区某农民今年种植此品种中药材的平均每亩纯收入为X元,以频率估计概率,求X的分布列和数学期望.
(3)已知该地区某农民有一块土地共10亩,该块土地现种植其他农作物,年纯收入最高可达到45 000元,根据以上数据,该农民下一年是否应该选择在这块土地上种植此品种中药材?说明理由.

图J6-2
9.解:(1)要使此品种中药材获得最高纯收入,则每亩产量和批发价格均要最高,所以其概率为0.75×0.6=0.45.3分
(2)由题意得,每亩产量为400千克,批发价格为20元/千克,则X=400×20-5000=3000;每亩产量为400千克,批发价格为25元/千克,则X=400×25-5000=5000;每亩产量为500千克,批发价格为20元/千克,则X=500×20-5000=5000;每亩产量为500千克,批发价格为25元/千克,则X=500×25-5000=7500.5分
所以X的可能取值为3000,5000,7500,且P(X=3000)=0.25×0.4=0.1,P(X=5000)=0.25×0.6+0.75×0.4=0.45,P(X=7500)=0.75×0.6=0.45,则X的分布列为
8分
所以E(X)=3000×0.1+5000×0.45+7500×0.45=5925.10分
(3)由(2)知,种植此品种中药材每亩年纯收入的期望为5925元,而种植其他农作物每亩年纯收入最高为4500元,
所以应该选择种植此品种中药材.12分
10.某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？

【详解】（1）解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可得方案一中，随机变量，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．
（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则其概率为．
对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为，
则，
可得，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
11.某单位统计职工一天行走步数(单位:百步)得到如图J5-2所示的频率分布直方图,由频率分布直方图估计该单位职工一天行走步数的中位数为125,其中同一组中的数据用该组区间的中点值为代表.
(1)计算图中a,b的值,并估计该单位职工一天行走步数的平均数μ.
(2)为鼓励职工积极参与健康步行,该单位制定了甲、乙两套激励方案:
记职工个人一天行走步数为ω,令ε=ω-μμ×100.若ε∈(0,10],则该职工获得一次抽奖机会;若ε∈(10,20],则该职工获得两次抽奖机会;若ε∈(20,30],则该职工获得三次抽奖机会;若ε∈(30,40],则该职工获得四次抽奖机会;若ε超过50,则该职工获得五次抽奖机会.设职工获得的抽奖次数为n.方案甲:从装有1个红球和2个白球的口袋中有放回地抽取n个小球,抽得的红球个数即表示该职工中奖次数;方案乙:从装有6个红球和4个白球的口袋中无放回地抽取n个小球,抽得的红球个数即表示该职工中奖次数.若某职工某日行走15 700步,试计算他参与甲、乙两种抽奖方案中奖次数的分布列.若是你,更喜欢哪个方案?

图J5-2
11.解:(1)由题意得
(0.002+0.006+0.008+a+b+0.008+0.002+0.002)×20=1,110+0.5-(0.002+0.006+0.008)×2020a×20=125,
解得a=0.012,b=0.01,2分
∴μ=(60×0.002+80×0.006+100×0.008+120×0.012+140×0.01+160×0.008+180×0.002+200×0.002)×20=125.6.4分
(2)该职工的日行走步数ω=157百步,则ε=157-125.6125.6×100=25,5分
∴该职工获得三次抽奖机会.
在方案甲下,X~B3,13,P(X=0)=C30×233=827,P(X=1)=C31×232×13=49,P(X=2)=C32×132×23=29,P(X=3)=C33×133=127,则X的分布列为
故E(X)=3×13=1.8分
在方案乙下,设该职工的中奖次数为Y,则Y的可能取值为0,1,2,3,P(Y=0)=C43C103=130,P(Y=1)=C42C61C103=310,P(Y=2)=C41C62C103=12,P(Y=3)=C63C103=16,故Y的分布列为
故E(Y)=0×130+1×310+2×12+3×16=95.11分
因为1P4>P2,所以该学生做11道题时及格的概率最大.12分
14某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．

【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，
则
（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6
的分布列为
15.为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．

【详解】（1）解：可能取值为2，3．
所以的分布列如下：
∴．
（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为；
乙以2：0获胜的的概率均为
甲以2：1获胜的的概率均为
乙以2：1获胜的的概率均为
∴
即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛
甲获胜的概率为，
乙获胜的概率为
∴
∴．

16.某运动会举办前签约了45家赞助企业,为了解该45家赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间之间的关系,某平台对45家赞助企业进行跟踪调查,发现每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家,余下的企业中,每天的销售额不足30万元的企业占35,统计后得到2×2列联表.
(1)请完成上面的2×2列联表,并依据α=0.01的独立性检验,能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.
(2)①按销售额进行比例分配的分层随机抽样,在上述赞助企业中抽取5家企业,求每天的销售额不少于30万元和每天的销售额不足30万元的企业数;
②在①的条件下,抽取每天的销售额不足30万元的企业时,设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X,求X的分布列及均值.
单位:家
附:
参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
其中n=a+b+c+d.
16.解:(1)由题意可得2×2列联表如下.
单位:家

零假设为H0:赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间无关.根据表中数据,计算得到χ2=45×(17×15-3×10)227×18×20×25=9.375>6.635=x0.01.
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,我们推断H0不成立,即认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关.

(2)①由题意可知,销售额不少于30万元的企业有27家,销售额不足30万元的企业有18家.
按销售额进行比例分配的分层随机抽样,在上述赞助企业中抽取5家企业,抽样比为545=19,所以应从销售额不少于30万元的企业中抽取27×19=3(家),
从销售额不足30万元的企业中抽取18×19=2(家).

②由题意可知,每天的销售额不足30万元的企业中,每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家,线上销售时间不足8小时的企业有15家,则X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=C152C182=3551,P(X=1)=C31C151C182=517,P(X=2)=C32C182=151,
所以X的分布列为

所以E(X)=0×3551+1×517+2×151=13,
所以X的均值为13.
17.已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题,小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项,但根据得分规则:全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.小明在做多项选择题时,可能选择一个选项,也可能选择两个或三个选项,但不会选择四个选项.
(1)如果小明不知道单项选择题的正确答案,那么小明就会随机猜测.已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是12,他做完单项选择题后,在题目答对的情况下,求他知道单项选择题正确答案的概率.
(2)假设小明在做该道多项选择题时,基于已有的解题经验,他选择一个选项的概率为12,选择两个选项的概率为13,选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项,小明完全不知道四个选项的正误,只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数(不与单项选择题同时计分).求:
①P(X=0);
②X的分布列及均值.
(本小题满分12分)
17.解:(1)记事件A=“题目答对了”,事件B=“知道正确答案”,则P(A|B)=1,P(A|B)=14,P(B)=P(B)=12,
2分
所以P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=12×1+12×14=58,故所求概率为P(B|A)=P(BA)P(A)=P(B)P(A|B)P(A)=12×158=45.4分
(2)由已知可得X的可能取值为0,2,5.设事件Di=“小明选择了i个选项”,i=1,2,3,C=“选择的选项都是正确的”,
则P(X=2)=P(D1C)=P(D1)P(C|D1)=12×C21C41=14,
P(X=5)=P(D2C)=P(D2)P(C|D2)=13×C22C42=118,
P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=5)=2536.8分
①P(X=0)=2536.9分
②随机变量X的分布列为
故E(X)=0×2536+2×14+5×118=79.12分
18.为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中A指标的值,将某周5000只家禽血液样本中A指标的检测数据进行整理,绘制成如图J8-1所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数).
(2)通过长期调查分析可知,该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632).
(i)若其中一个养殖棚有1000只家禽,估计其血液中A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数);
(ii)在统计学中,把发生概率小于1%的事件称为小概率事件,通常认为小概率事件的发生是不正常的,该养殖场除定期抽检外,每天还会随机抽检20只,若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常,并分析说明理由.
参考数据:
①0.022 753≈0.000 01,0.977 2517≈0.7;
②若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5.

图J8-1
18. 解:(1)由2×(0.02+0.06+0.14)=0.44,2×(0.02+0.06+0.14+0.18)=0.8,可得中位数在区间[7,9)内,
1分
设中位数为x,则2×(0.02+0.06+0.14)+(x-7)×0.18=0.5,解得x≈7.33.3分
(2)(i)由X~N(7.4,2.632),可得P(7.4-2.63≤X≤7.4+2.63)=P(4.77≤X≤10.03)≈0.682 7,则P(X≤10.03)=P(4.77≤X≤10.03)2+0.5≈0.841 35,5分
故估计血液中A指标的值不超过10.03的家禽有1000×0.841 35=841.35≈841(只).8分
(ii)易知P(7.4-2×2.63≤X≤7.4+2×2.63)=P(2.14≤X≤12.66)≈0.954 5,则P(X>12.66)≈1-0.954 52=0.022 75.9分
随机抽检20只相当于进行20次独立重复试验,设恰有3只血液中A指标的值大于12.66为事件B,则P(B)≈C203×0.022 753×(1-0.022 75)17≈0.007 983.841=x0.05,9分
根据小概率值α=0.05的独立性检验,推断H0不成立,即认为该校学生每周使用手机上网时间与是否近视有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.10分
22.学生的学习除了在课堂上认真听讲,还有一个重要环节就是课后的“自主学习”,包括预习、复习、归纳整理等.某研究机构抽查了部分高中学生,对学生课后的学习时长x(单位:分钟)和他们的数学平均成绩y(单位:分)做出了以下统计数据表,请根据表格回答问题:
(1)请根据所给数据绘制散点图,并且从以下三个函数模型①y=bx+a;②y=m·xk(m>0,k>0);③y=cx2+dx+e中选择一个最适合的作为学习时长x和数学平均成绩y的经验回归模型,不必说明理由;
(2)根据(1)中选择的经验回归模型,求出y与x的经验回归方程;
(3)请根据此经验回归方程,阐述你对学习时长和数学平均成绩之间关系的看法.
参考公式:在经验回归方程y=a+bx中,b=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx.参考数据:lnx≈4.52,lny≈4.74,∑i=18(ln xi)2≈164.18,∑i=18(ln xiln yi)≈171.64,e3.25≈25.79.
22. 解:(1)根据题意作出散点图如图所示.
2分
由散点图可知y=m·xk(m>0,k>0)最适合.3分
(2)对y=m·xk(m>0,k>0)两边取以e为底的对数,可得ln y=kln x+ln m.
设u=ln x,v=ln y,则v=ku+n,5分
所以k=∑i=18uivi-8u·v∑i=18ui2-8u2≈171.64-8×4.52××4.522≈0.33,n=v-ku≈4.74-0.33×4.52≈3.25,所以v=0.33u+3.25,8分
故ln y=0.33ln x+3.25,即y=e3.25·x0.33≈
10分
(3)此经验回归方程为关于学习时长的增函数,说明随着学习时长的增加,数学平均成绩会提高,但是函数的增速先快后慢,说明原来数学平均成绩较低的学生,通过增加学习时长可以有效提高数学平均成绩,但是当数学平均成绩提高到120分左右时,想要通过增加学习时长来提高数学平均成绩就比较困难了,需要想别的办法.12分

23.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况,对该公司近六个月内的
市场占有率进行了统计,并绘制了如图J5-2所示的折线图.
(1)月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系,求y关于x的经验回归方程,并预测M公司2021年3月份(即x=10)的市场占有率.
(2)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A,B两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命的频数表如下:
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整年,且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是M公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型的单车?
参考公式及数据:经验回归方程y=bx+a中,b=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2,a=y-bx.∑i=16xiyi=371,∑i=16xi2=91.

图J5-2
23.解:(1)由折线图中的数据可得,x=1+2+3+4+5+66=3.5,
y=11+13+16+15+20+216=16,2分
所以b=∑i=16xiyi-6x y∑i=16xi2-6x2=3517.5=2,
则a=y-bx=16-2×3.5=9,
所以y关于x的经验回归方程为y=2x+9.4分
当x=10时,可得y=2×10+9=29,
所以预测M公司2021年3月份(即x=10)的市场占有率为29%.5分
(2)由频率估计概率,可得每辆A款车型的单车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35,0.1,
所以每辆A款车型的单车可产生的利润期望E(X)=(500-1000)×0.2+(1000-1000)×0.35+(1500-1000)×0.35+(2000-1000)×0.1=175;8分
由频率估计概率,可得每辆B款车型的单车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,
所以每辆B款车型的单车可产生的利润期望E(Y)=(500-1200)×0.1+(1000-1200)×0.3+(1500-1200)×0.4+(2000-1200)×0.2=150.11分
因为E(X)>E(Y),所以应该采购A款车型的单车.12分
24.新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表.
(1)求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布，其中的近似值为36，用样本平均数作为的近似值，求概率）的值；
(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.
（i）求该零件为废品的概率；
（ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，

【详解】（1）
由得：
（2）（i）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则由题意可知，
又，
于是
.
（ii）.
25.某篮球赛事采取四人制形式.在一次战术训练中，甲、乙、丙、丁四名队员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人.次传球后，记事件“乙、丙、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
(1)求；
(2)当时，记乙、丙、丁三人中接过传出来的球的人数为，求随机变量的分布列及数学期望；
(3)当时，证明：.

【详解】（1）乙、丙、丁三人每次接到传球的概率均为，3次传球后，
事件“乙、两、丁三人均接过传出来的球”发生的概率为.
（2）由题意知，的可能取值为1，2，3，
，，
，
的分布列如下：
.
（3）次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，有两种情况，
其一为：次传球后乙、丙、丁三人均接过他人传球，这种情况的概率为；
其二是为：次传球后乙、两、丁中只有两人接过他人传球，
第次传球时将球传给剩余一人，这种情况的概率为.
所以，当时，
所以.
26.现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量，求的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件，若，称为事件的相关系数．
①若，求证：；
②若事件盒子乙不空，事件至少有两个盒子不空，求．

26.【详解】（1）由题意可知，的可能的取值为0,1,2,3,4，且，故；
（2）①因为，且，
所以，即，而,
所以成立.
②事件：盒子乙不空，则事件：盒子乙空，
由第1问可知，所以，
事件：至少有两个盒子不空，则事件：有一个盒子不空，
，所以
事件：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可，
故,
所以，
化简得.
27.全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
附：，
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？

【详解】（1）依题意，列联表如下：
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意，，当时，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以第10次去健身房健身的概率更大.
28.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
27.解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
29.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由.
(2)若，求，并根据全概率公式，求.

【详解】（1）不存在的值使得，理由如下：
由题意得，①，且②，
由②得到，将其代入①，整理得到，
令，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
又，
故无解，
所以不存在的值使得
（2）若，则，解得，
，，，
由全概率公式可得，
因为，，所以.
0
1
2
组别
睡眠指数
早睡人群占比
晚睡人群占比
1
[0,51)
0.1%
9.2%
2
[51,66)
11.1%
47.4%
3
[66,76)
34.6%
31.6%
4
[76,90)
48.6%
11.8%
5
[90,100]
5.6%
0.0%
X
0
1
2
3
P
1125
12125
48125
64125
晋级情况性别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
女
50
总计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
晋级情况性别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
34
50
女
9
41
50
总计
25
75
100
0
1
2
3
4
1200
800
400
0
1
2
3
1
2
3
X
1
2
3
P
3581
3281
1481
X
0
1
2
3
4
P
125432
2554
524
127
1432
各年的平均每亩产量
400千克
500千克
频率
0.25
0.75
X
3000
5000
7500
P
0.1
0.45
0.45
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P
827
49
29
127
Y
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
4
6
8
10
12
P
1256
364
27128
2764
81256
0
3
6
2
3
每天线上销售时间
每天的销售额
合计
不少于30万元
不足30万元
不少于8小时
17
20
不足8小时
合计
45
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
每天线上
销售时间
每天的销售额
合计
不少于30万元
不足30万元
不少于8小时
17
3
20
不足8小时
10
15
25
合计
27
18
45
X
0
1
2
P
3551
517
151
X
0
2
5
P
2536
14
118
A款盲盒套餐
B款盲盒套餐
年龄低于30岁
18
30
年龄不低于30岁
22
10
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3
P
每周使用
手机上网情况
是否近视
合计
近视
不近视
长时间使用手机
不长时间使用手机
15
合计
25
α
0.1
0.05
0.01
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
每周使用手机
上网情况
是否近视
合计
近视
不近视
长时间使用手机
65
10
75
不长时间使用手机
10
15
25
合计
75
25
100
x
60
70
80
90
100
110
120
130
y
92
109
114
120
119
121
121
122
报废年限
1年
2年
3年
4年
A型车(辆)
20
35
35
10
B型车(辆)
10
30
40
20
质量差（单位：）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3
1
2
3
每周健身次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及6次以上
男
4
6
5
3
4
28
女
7
5
8
7
6
17
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
喜欢健身
不喜欢健身
合计
男
女
合计
1
2
3
0
概率