精品解析：新疆维吾尔自治区+昌吉回族自治州奇台县第三中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0进行求解即可．
【详解】解：的相反数是，
故选；C．
2. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：①是一元二次方程；
②含有两个未知数，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程；
⑤是一元二次方程；
∴一元二次方程有3个，
故选；C．
3. 方程的解是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案．
【详解】解：解方程得，
故选；C．
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式；把，，代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况．
详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5. 关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式．分和，两种情况进行讨论求解，即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：当时，方程化为，得到，满足题意；
当时，方程为一元二次方程，则：，解得：；
综上：；
故选A．
6. 一元二次方程化为的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．
【详解】解：∵2x2-3x+1=0，
∴2x2-3x=-1，
，
，
，
∴一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a）2=b的形式是：，
故选：A．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7. 关于的一元二次方程的一个根是，则值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程和一元二次方程的解的定义，掌握定义是关键．
根据一元二次方程和一元二次方程的解的定义，将代入方程即可得到a的值．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴满足关于的一元二次方程
∴，
解得，
故选A．
8. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出(x−1)张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x(x−1)张，即可列出方程．
【详解】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出(x−1)张.
∴可列方程为：x(x−1)=1035．
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
9. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）
A. B. 3C. 5D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了勾股定理．先利用因式分解法解方程得到直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，然后利用勾股定理计算直角三角形的斜边长．
【详解】解：，
，
或，
，即直角三角形的两条直角边的长分别为4，3，
直角三角形的斜边长为．
故选：C．
二、填空（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10. 一元二次方程的一般形式为______，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为_______．
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项，a为二次项系数，b为一次项系数，据此可得答案．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为，
∴二次项为，一次项系数为，常数项为，
故答案为：；；；．
11. 方程 是关于x的一元二次方程，则m_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用根与系数的关系，，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题关键．根与系数的关系：和是一元二次方程的两根时，．
13. 已知m是一元二次方程的一个根 ， 则代数式的值是_____
【答案】.
【解析】
【分析】把代入方程，得出关于的一元二次方程，再整体代入.
【详解】当时，方程为，
即，
所以，.
故答案.
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义.能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想.
14. 代数式有最_____值，其最值为_______．
【答案】 ①. 小 ②. 1
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值1，
∴有最小值，最小值为1，
故答案为：小，1．
15. 定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b，如：max{3，1}＝3，max{﹣3，2}＝2，则方程max{x，﹣x}＝x2﹣6的解是_____．
【答案】3或﹣3
【解析】
【分析】分两种情况：x≥﹣x，即x≥0时；x＜﹣x，即x＜0时；进行讨论即可求解．
【详解】当x≥﹣x，即x≥0时，
∴x=x2﹣6，
即x2﹣x﹣6=0，
(x﹣3)(x+2)=0，
解得：x1=3，x2=﹣2(舍去)；
当x＜﹣x，即x＜0时，
∴﹣x=x2﹣6，
即x2+x﹣6=0，
(x+3)(x﹣2)=0，
解得：x3=﹣3，x4=2(舍去)．
故方程max{x，﹣x}=x2﹣6的解是x=3或﹣3．
故答案为：3或﹣3．
【点睛】考查了解了一元二次方程-因式分解法，关键是熟练掌握定义符号max{a，b}的含义，注意分类思想的应用．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用之间开平方的方法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
解得；
【小问4详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17. 关于的一元二次方程有两个实数根．求的取值围．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴．
18. 已知关于x一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】表示出△,将△配方,进而判断△的正负性即可解题.
【详解】证明：∵Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4，无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式对一元二次方程的影响,属于简单题,熟练掌握配方是解题关键.
19. 关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．
【答案】另一个根是﹣4，m的值为10．
【解析】
【详解】试题分析：已知x=是方程一个根，把它代入方程即可求出m的值，再由根与系数的关系来求方程的另一根即可．
试题解析：设方程的另一根为t．
依题意得：3×（）2+m﹣8=0，
解得m=10．
又t=﹣，
所以t=﹣4．
综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．
考点：根与系数的关系．
20. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路应为多宽？
【答案】
【解析】
【分析】设道路宽为，根据试验田的面积为，列方程求解即可．
【详解】解：设道路宽为，
由题意可得，，
整理得，，
解得，，
∵，
∴，舍去，
答：道路的宽应为．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系列方程是解题的关键．
21. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【答案】9．
【解析】
【分析】设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每个支干长出x小分支，根据题意可得：1+x+x2=91，
解得：x1=9，x2=﹣10（不合题意舍去），
答：每个支干长出9小分支．
22. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？
【答案】（1）20%；（2）4147．2元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可．
（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．
试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
2400（1+x）2=3456，
解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）．
（2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为：
3456×（1+20%）=4147．2（元）．
答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%．
（2）5月份盈利为4147．2元．
考点：一元二次方程的应用．
23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．
（1）若商场平均每天要赢利元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天䇔利最多？
【答案】（1）每件衬衫应降价元
（2）每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元
【解析】
【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件所得利润为元，但每天多售出件即售出件数为件，因此每天赢利为元，进而可根据题意列出方程求解．
（2）设商场平均每天赢利元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：设每件衬衫应降价元，
根据题意得，
整理得
解得，．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降元．
答：每件衬衫应降价元．
【小问2详解】
设商场平均每天赢利元，则
．
当时，取最大值，最大值为．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键．