2024年广东省实验中学高考数学一调试卷（含解析）

这是一份2024年广东省实验中学高考数学一调试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在复平面内，复数1−1(1−i)2的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知空间向量a=(2,−1,2)，b=(1,−2,1)，则向量b在向量a上的投影向量是( )
A. (43,−23,43)B. (2,−1,2)C. (23,−43,23)D. (1,−2,1)
3.已知p：a>−3b>−3，q：a+b>−6ab>9，则p是q的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
4.人的心脏跳动时，血压在增加或减少.若某人的血压满足函数式p(t)=110+20sin(140πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为( )
A. 50B. 70C. 90D. 130
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且存在k∈N，使得Sk+3，Sk+9，Sk+6成等差数列.若对于任意的m∈N，满足am+2+am+5=32，则am+8=( )
A. m+32B. m+16C. 32D. 16
6.已知圆台的上、下底面的圆心分别为O1，O2，母线AB=1(点A位于上底面)，且BO2=2AO1，圆O2的周长为2π3，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为( )
A. 1B. 3C. 2D. 5
7.双曲线的第三定义是：到两条相交直线的距离之积是定值的点的轨迹是(两组)双曲线.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数y=x+1x的图象与性质”，经探究它的图象实际上是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，进一步探究可以发现对勾函数y=ax+bx，(a>0,b>0)的图象是以直线y=ax，x=0为渐近线的双曲线.现将函数y=2x+1x的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则它的离心率是( )
A. 10−2 52B. 5− 52C. 10−4 5D. 10−4 5
8.已知ex+sinx≥ax+1对任意x∈[0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，质点A和B在单位圆O上逆时针做匀速圆周运动.若A和B同时出发，A的角速度为1rad/s，起点位置坐标为(12, 32)，B的角速度为2rad/s，起点位置坐标为(1,0)，则( )
A. 在1s末，点B的坐标为(sin2,cs2)
B. 在1s末，扇形AOB的弧长为π3−1
C. 在7π3s末，点A，B在单位圆上第二次重合
D. △AOB面积的最大值为12
10.一组数据x1，x2，x3，…，x10满足xi−xi−1=2(2⩽i⩽10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比( )
A. 极差变小B. 平均数变大C. 方差变小D. 第25百分位数变小
11.已知直线l1：xcsα+ysinα+1=0与直线l2：xsinα+ycsα+1=0，其中α∈[0,π]，则下列命题正确的是( )
A. 若l1⊥l2，则α=0或α=π2或α=π
B. 若l1//l2，则α=π4或3π4
C. 直线l1和直线l2均与圆x2+y2=1相切
D. 直线l1和直线l2的斜率一定都存在
12.已知f(x)=aex+ex2，g(x)=a(x−2)e2x−(x+2)，a≠0则( )
A. 当a=−1时，f(x)为奇函数
B. 当a=1时，存在直线y=t与y=f(x)有6个交点
C. 当a∈[−1e2,0)时，g(x)在(0,+∞)上单调递减
D. 当a<−1时，g(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为______.(用数字作答)
14.对于数列{an}，由bn=an+1−an作通项得到的数列{bn}，称{bn}为数列{an}的差分数列，已知数列{bn}为数列{an}的差分数列，且{bn}是以1为首项以2为公差的等差数列，则a10−a5= ______．
15.在三棱锥P−ABC中，PC=5，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且BC=5，AC=12，点P到△ABC三边的距离相等，且点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，则CP与平面ABC所成角的正切值为______．
16.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若|AF1|≤4|BF1|，则C的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π4.C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC=α．
(Ⅰ)将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f(α)的形式；
(Ⅱ)求f(α)的最大值，及此时的角α．
18.(本小题12分)
已知数列{an}满足：1a1+1a2+…+1an=n22(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，对于任意的正整数n，Sn>2λ−13恒成立，求Sn及实数λ的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=4，AA1=3，M是棱AB的中点，点N在棱AA1上，且AN=2NA1，点P在线段B1N上，且C，M，P，A1四点共面．
(Ⅰ)设B1P=λB1N，求λ的值；
(Ⅱ)若Q为线段B1P的中点，求二面角Q−BC−B1的大小．
20.(本小题12分)
在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产A、B、C三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表：(单位：个)
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个．
(1)求n的值；
(2)用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率；
(3)从B种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：x、y、10、11、9，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求|x−y|的值．
21.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，点O为坐标原点，线段OA的中点恰好为F，点F到直线AB的距离为 217．
(1)求C的方程；
(2)设点E在直线x=4上，过F作EF的垂线交椭圆C于M，N两点.记△MOE与△NOE面积分别为S1，S2，求S1S2的值．
22.(本小题12分)
已知函数h(x)=mex−x+1．
(1)若h(x)在(0,4)上有唯一零点，求m的取值范围；
(2)若h(x)≥h(x0)对任意实数x恒成立，证明：m2h(x0)>−m2+3m−1．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数1−1(1−i)2=1+12i=1+−i−2i2=1−12i，
其共轭复数为1+12i，对应的点是(1,12)，位于第一象限．
故选：A．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数1−1(1−i)2的共轭复数对应的点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：a⋅b=6，|a|=3，
故向量b在向量a上的投影向量是：a⋅b|a|2⋅a=69(2,−1,2)=(43,−23,43).
故选：A．
根据投影向量的求解公式计算即可．
本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：对于命题p：p：a>−3b>−3，可得到a+b>−6，但是ab与9没有关系，
当命题q：a+b>−6ab>9，整理(a+3)(b+3)=ab+3(a+b)+9>9+9−18=0，即得到a>−3b>−3．
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
直接利用不等式的性质判断充分条件和必要条件．
本题考查的知识要点：不等式的性质，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为函数p(t)=110+20sin(140πt)的周期为T=2π140π=170(min)，
所以此人每分钟心跳的次数f=1T=70．
故选：B．
由正弦型函数的周期公式求出周期T，由频率与周期的关系计算即可．
本题考查了正弦型函数的周期与频率的计算问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：显然q=1不满足题意，则q≠1，
∵Sk+3，Sk+9，Sk+6成等差数列，
∴2Sk+9=Sk+3+Sk+6，∴2a1(1−qk+9)1−q=2a1(1−qk+3)1−q+2a1(1−qk+6)1−q，
化简得：2q6−q3−1=0，即(q3−1)(2q3+1)=0，
由于q≠1，则q3=−12，
对于任意的m∈N，满足am+2+am+5=32，
则am+2(1+q3)=32，∴am+2=64，
∴am+8=am+2q6=64×14=16．
故选：D．
可得q3=−12，再利用通项公式即可求am+8的值．
本题考查等比数列的性质，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意，将圆台的侧面沿着母线AB剪开，可得圆锥的侧面展开图，
延长BA，B1A1交于点O，连接AA1，AB1，BB1，
依题知弧BB1的长为2π3，弧AA1的长为π3．
设∠BOB1=α，则α×OA=π3，α×OB=2π3，
∴OB=2OA，即OA+1=2OA，得OA=1，
∴A是OB的中点，α=π3，
∴△OBB1是等边三角形，∴AB1⊥OB，∴AB1与弧AA1相切，∴AB1在此侧面展开图内，
蚂蚁爬行的最短路线即线段AB1.∵OB=OB1=2，∴AB1=2× 32= 3．
即爬行的最短路程为 3．
故选：B．
根据题意，作出圆台的侧面展开图，延长BA，B1A1交于点O，连接AA1，AB1，BB1，分析其最短路径，计算可得答案．
本题考查圆台的结构特性，涉及圆台的侧面展开图，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：x趋向于0时，2x趋向于0，x趋向于正无穷时，1x趋向于0，
则y=2x+1x的两条渐近线分别为y=2x，x=0，
所以该函数对应的双曲线焦点在y=2x，x=0夹角(锐角)的角平分线l上，
设l：y=kx且k>2，
又α，β分别是y=kx，y=2x的倾斜角，
故tanα=k，tanβ=2，
故α−β为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由tan(α−β)=tan(π2−α)=1tanα，
即tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k−21+2k=1k，
整理得k2−4k−1=0，
可得k=2+ 5(负值舍去)，
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C一条渐近线斜率为ba=12+ 5= 5−2，
故e= 1+b2a2= 1+(9−4 5)= 10−4 5．
故选：D．
首先确定的两条渐近线，也为旋转前双曲线的渐近线，再设两条渐近线夹角(锐角)角平分线方程，根据斜率与倾斜角关系、差角正切公式求双曲线渐近线斜率，进而求双曲线离心率．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了两角差的正切公式，属中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令f(x)=ex+sinx−ax−1，x≥0，则f′(x)=ex+csx−a，
由题意可知：f(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立，且f(0)=0，
可得f′(0)=2−a≥0，解得a≤2，
若a≤2，令g(x)=f′(x)，x≥0，
则g′(x)=ex−sinx≥1−sinx≥0，
则g(x)在[0,+∞)上递增，可得g(x)≥g(0)=2−a≥0，
即f′(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立，
则f(x)在[0,+∞)上递增，可得f(x)≥f(0)=0，
综上所述：a≤2符合题意，即实数a的取值范围为(−∞,2]．
故选：A．
令f(x)=ex+sinx−ax−1，x≥0，由题意可知：f(x)≥0对任意x∈[0,+∞)恒成立，且f(0)=0，可得f′(0)=2−a≥0，解得a≤2，并代入检验即可．
本题考查利用函数的单调性求出函数的最值，进而解决不等式恒成立问题的解题思路，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：在1s末，点B的坐标为(cs2,sin2)，故A错误；
点A的坐标为(cs(π3+1),sin(π3+1))；∠AOB=π3−1，扇形AOB的弧长为π3−1，故B正确；
设在ts末，点A，B在单位圆上第二次重合，
则2t−t=t=2π+π3=7π3，故在7π3s末，点A，B在单位圆上第二次重合，故C正确；
S△AOB=12sin∠AOB，经过5π6s后，可得∠AOB=π2，△AOB面积的可取得最大值12，故D正确．
故选：BCD．
求出1s末点A和B的坐标可判断选项AB；求出7π3s末点A和B的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D．
本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x10满足xi−xi−1=2(2⩽i⩽10)，
∴x2=x1+2，x3=x1+4，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，x9=x1+16，x10=x1+18，
对于A，原来的极差为x10−x1=18，去掉x1，x10后，极差为x9−x2=14，极差变小，故A正确；
对于B，原来的平均数为110(x1+x2+⋅⋅⋅+x10)=10x1+9010=x1+9，
去掉x1，x10后的平均数为18(x1+x2+⋅⋅⋅+x8)=8x1+728=x1+9，平均数不变，故B错误；
对于C，原来的方差为110[(x1−x1−9)2+(x2−x1−9)2+⋅⋅⋅+(x10−x1−9)2]=33，
去掉x1，x10后的方差为18[(x2−x1−9)2+(x3−x1−9)2+⋅⋅+(x9−x1−9)2]=21，方差变小，故C正确；
对于D，10×25%=2.5，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即x3，
去掉x1，x10后组成一组新数据．
8×25%=2，故从小到大排列，选择第2个数和第三个数作为第25百分位数，即x3+x42
∵x3故选：AC．
根据极差、平均数、方差与百分数的定义计算出去掉x1，x10前后的相关数据，比较后得到答案．
本题考查极差、平均数、方差与百分数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：A中，直线l1：xcsα+ysinα+1=0与直线l2：xsinα+ycsα+1=0，其中α∈[0,π]，
要使两条直线垂直，则sinαcsα+sinαcsα=0，即sinα=0或csα=0，可得α=0或π或π2，所以A正确；
B中，要使两条直线平行，则cs2α=sin2α，且sinα≠csα，即csα=−sinα，α∈[0,π]，可得α=34π，所以B不正确；
C中，圆x2+y2=1的圆心(0,0)，半径为r=1，则圆心到直线l1的距离d1=1 sin2α+cs2α=1=r，
同理可得圆心到直线l的距离d2=1 sin2α+cs2α=1=r，
所以圆与两条直线相切，所以C正确；
D中，当csα=0时，直线l2的斜率不存在，所以D不正确．
故选：AC．
A中，由两条直线垂直的充要条件，可得α的值，判断出A的真假；B中，由两条直线平行的充要条件，可得α的值，判断出B的真假；C中，求出圆心到直线的距离与半径的关系，判断出C的真假；D中，当csα=0时，直线l2的斜率不存在，判断出D的真假．
本题考查直线与圆相切的判断方法及直线垂直，平行的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：当a=−1时，f(x)=0，是奇函数，故A正确；
当a=1时，f(x)=ex在R上单调递增，与y=t最多一个交点，故B错误；
因为g(x)=a(x−2)e2x−(x+2)，所以g′(x)=a[e2x+2(x−2)e2x]−1=ae2x(2x−3)−1．
对C：g(x)在(0,+∞)上递减，需有ae2x(2x−3)−1≤0(x>0)恒成立．
当x>32时，a≤1e2x(2x−3)，又1e2x(2x−3)>0，且当x→+∞时，1e2x(2x−3)→0，所以a<0．
当0设h(x)=e2x(2x−3)，则h′(x)=e2x(4x−4)，由h′(x)>0⇒x>1，所以h(x)在(0,1)上递减，在(1,32)上递增，
所以h(x)的最小值为h(1)=−e2，所以a≥−1e2．
所以a<0且a≥−1e2，即a∈[−1e2,0).故C正确；
对D：设m(x)=ae2x(2x−3)−1，则m′(x)=4ae2x(x−1).因为a<−1，所以当00；当x>1时，m′(x)<0．
所以m(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以m(x)的最大值为m(1)=−ae2−1>0，
又m(0)=−3a−1>0，所以m(x)=0只在(1,+∞)有一解，设为x0即ae2x0(2x0−3)−1=0，
所以g(x)在(0,x0)上递增，在(x0,+∞)上递减．
且g(0)=−2(a+1)>0，且当x→+∞时，g(x)=a(x−2)e2x−(x+2)→−∞，所以g(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点．故D正确．
故选：ACD．
结合函数奇偶性的定义检验A；结合函数的单调性及零点存在条件检验选项B；对C，可以利用函数在给定区间上的单调性，分离参数，转化为恒成立问题求参数的取值范围；对D，分析函数的单调性和一些特殊点的函数值符号，判断零点个数．
本题主要考查了由函数的单调区间，求参数的取值范围问题，常要分离参数，转化为恒成立或存在性问题，进而求函数的最大或最小值，属于中档题．
13.【答案】42
【解析】解：根据题意，原有节目单有6个节目，有7个空位，
在其中任选2个，安排甲乙两个节目，有A72=42种安排方法．
故答案为：42．
根据题意，原有节目单有6个节目，有7个空位，利用插空法分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，注意排列与组合的不同，属于基础题．
14.【答案】65
【解析】解：由题意得bn=an+1−an=2n−1⇒an−an−1=2n−3，a2−a1=1，
累加得an−a1=(1+2n−3)(n−1)2=(n−1)2，
即an=a1+(n−1)2(n≥2)，
则a10−a5=92−42=65．
故答案为：65．
利用等差数列通项公式求得bn，结合累加法及等差数列的求和公式可得an=a1+(n−1)2，计算即可．
本题考查等差数列、等比数列、累加法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】 344
【解析】解：如图，设点P在平面ABC上的射影为点O，
因为点P到△ABC三边的距离相等，则点O到△ABC三边的距离相等，
又点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，
所以点O为△ABC的内心．设△ABC的内切圆与直角边BC，AC分别相切于E，D，易知四边形OECD是正方形．因为AC⊥BC，且BC=5，AC=12，所以AB=13，则△ABC的内切圆半径OE=OD=5+12−132=2，所以OC=2 2.因为PO⊥平面ABC，所以∠PCO为CP与平面ABC所成的角．因为PC=5，所以PO= 52−(2 2)2= 17，所以CP与平面ABC所成角的正切值为POOC= 172 2= 344．
故答案为： 344．
设点P在平面ABC上的射影为点O，点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，点O为△ABC的内心．设△ABC的内切圆与直角边BC，AC分别相切于E，D，易知四边形OECD是正方形．说明∠PCO为CP与平面ABC所成的角．通过求解三角形求解即可．
本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及转化思想计算能力，是中档题．
16.【答案】( 22, 175]
【解析】解：设|AF1|=n，|BF2|=m，由点A在第一象限，知m因为A，B在椭圆C和以F1F2为直径的圆上，AF1⊥AF2，
由椭圆的几何性质可知，四边形AF1BF2为矩形，|BF1|=|AF2|.
由|AF1|≤2|BF1|，可得1由椭圆的定义可得m+n=2a，①
由AF1⊥AF2可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，
即n2+m2=4c2，②
平方相减可得，mn=2(a2−c2)，
进而可得，4c22(a2−c2)=m2+n2mn=nm+mn，
令t=nm+mn，令v=nm∈(1,4]，
所以t=v+1v∈(2,174]，即2<4c22(a2−c2)≤174，
所以a2−c2所以1−e2所以：12所以离心率的取值范围是( 22, 175].
故答案为：( 22, 175].
设|AF1|=n，|BF2|=m，利用圆的内接四边形和|AF1|≤4|BF1|得到，利用椭圆的定义得到mn=2(a2−c2)，利用换元法和函数的单调性得到，进而求出离心率的取值范围．．
本题考查了椭圆的离心率的取值范围的问题，属于中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)依题意，在Rt△OBC中，∠OBC=π2，
所以AD=BC=OCsin∠POC=sinα，OB=OCcs∠POC=csα，
在Rt△OAD中，∠OAD=π2，∠POQ=π4，则OA=AD，
因此AB=OB−OA=csα−sinα，
所以S=AB⋅BC=sinα⋅(csα−sinα)=sinαcsα−sin2α
=12(sin2α+cs2α−1)= 22sin(2α+π4)−12，
所以面积S表示为角α的函数是f(α)= 22sin(2α+π4)−12(0≤α≤π4)；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当0≤α≤π4时，π4≤2α+π4≤3π4，
所以当2a+π4=π2，即α=π8时，[sin(2α+π4)]max=1，
所以当α=π8时，f(α)max= 22−12．
【解析】(Ⅰ)根据给定的图形，用α的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中函数，结合正弦函数的性质求解作答．
本题考查三角函数性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵1a1+1a2+…+1an=n22(n∈N*)，
∴当n=1时，1a1=12，解得a1=2．
当n≥2时，1a1+1a2+…+1an−1=(n−1)22(n∈N*).
∴1an=n22−(n−1)22，
解得an=22n−1，当n=1时也成立．
(2)bn=anan+1=4(2n−1)(2n+1)=2(12n−1−12n+1)．
∴数列{bn}的前n项和Sn=2[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=2(1−12n+1)，
∵对于任意的正整数n，Sn>2λ−13恒成立，
∴λ<76−12n+1．
∴λ<56．
∴实数λ的取值范围是(−∞,56)．
【解析】本题考查了递推关系、“裂项求和”、数列的单调性与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)利用递推关系即可得出an．
(2)利用“裂项求和”可得Sn，再利用数列的单调性与不等式的性质即可得出．
19.【答案】解：(Ⅰ)取BC的中点O，连接AO，
因为△ABC为等边三角形，所以AO⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AO⊂平面ABC，
所以AO⊥平面BCC1B1，
故以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，过点O且垂直于平面ABC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,2 3)，B(2,0,0)，C(−2,0,0)，A1(0,3,2 3)，B1(2,3,0)，M(1,0, 3)，N(0,2,2 3)，
所以MB1=(1,3,− 3)，B1N=(−2,−1,2 3)，MA1=(−1,3, 3)，
所以MP=MB1+B1P=MB1+λB1N=(1−2λ,3−λ,2 3λ− 3)，
因为C，M，P，A1四点共面，所以M，P，A1三点共线，即MP//MA1，
所以1−2λ−1=3−λ3=2 3λ− 3 3，
解得λ=67．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得B1P=67B1N，
因为Q为线段B1P的中点，所以B1Q=37B1N=(−67,−37,6 37)，
所以Q(87,187,6 37)，
所以BQ=(−67,187,6 37)，CB=(4,0,0)，
设平面QBC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅BQ=−67x+187y+6 37z=0,n⋅CB=4x=0,
令y=1，则x=0，z=− 3，所以n=(0,1,− 3)，
因为AO⊥平面BCC1B1，所以平面BCC1B1的一个法向量为m=(0,0,1)，
所以cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=− 31×2=− 32，
由图可知，二面角Q−BC−B1为锐角，
所以二面角Q−BC−B1的余弦值为 32，
故二面角Q−BC−B1的大小为π6．
【解析】(Ⅰ)取BC的中点O，连接AO，由面面垂直的性质定理证明AO⊥平面BCC1B1，再以O为坐标原点建立空间直角坐标系，将C，M，P，A1四点共面转化为M，P，A1三点共线，然后根据向量共线的坐标运算，求λ的值即可；
(Ⅱ)分别求出平面QBC和平面BCC1B1的法向量，再利用向量法求二面角即可．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面、面面垂直的判断定理或性质定理，利用向量法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，该工厂一天所生产的纪念品总数为100+300+150+450+n+600=n+1600．
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A种纪念品有40个，
则有400n+1600=40200，解得n=400；
(2)设所抽取的样本中有p个精品型纪念品，则p5=4001000，解得p=2，
所以，容量为5的样本中，有2个精品型纪念品，3个普通型纪念品．
因此，至少有1个精品型纪念品的概率为C52−C32C52=710；
(3)根据题意，在5个数据的样本中，其均值为10，方差为2，
则有x+y+10+11+95=10，得x+y=20．
由于总体的方差为2，则(x−10)2+(y−10)2+0+1+15=2，可得x2+y2=208，
所以|x−y|= (x−y)2= x2+y2−2xy= 2(x2+y2)−(x+y)2=4．
【解析】(1)根据题意，计算一天所生产的纪念品总数，由分层抽样方法可得400n+1600=40200，解可得答案；
(2)根据题意，分析样本中，精品型纪念品和普通型纪念品的数目，由古典概型公式计算可得答案；
(3)根据题意，由平均数、方差公式可得关于x、y的等式，进而变形可得答案．
本题考查古典概型以及数据方差的计算，涉及分层抽样，属于基础题．
21.【答案】解：(1)设F(c,0)，则c= a2−b2，
因为线段OA的中点恰好为F，所以c=a2，
所以a2−b2=a24，即b2=34a2，也即b= 32a，
由A(a,0)，B(0,b)，得直线AB的方程为xa+yb=1，即bx+ay−ab=0，
所以点F到直线AB的距离为|bc−ab| a2+b2=|ab2−ab| a2+34a2=ab 7a=b 7= 217，
所以b= 3，a=2，
故椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)设E(4,t)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，线段MN的中点G(x0,y0)，则x0=x1+x22，y0=y1+y22，
由(1)知F(1,0)，直线EF的斜率为k1=t3，
当t≠0时，直线MN的斜率为k2=−3t=y1−y2x1−x2，
因为点M，N在椭圆C上，所以x124+y123=1x224+y223=1，
两式相减，整理得(x1−x2)(x1+x2)4+(y1−y2)(y1+y2)3=0，
所以y1−y2x1−x2=−3(x1+x2)4(y1+y2)=−3x04y0=−3t，
所以y0x0=t4，即直线OG的斜率为kOG=t4，
因为直线OE的斜率为kOE=t4，所以O，G，E三点共线，即直线OE过线段MN的中点G；
当t=0时，直线OE也过线段MN的中点G，
所以M，N到直线OE的距离相等，即△OME与△ONE等底等高，
所以S1=S2，即S1S2=1．
【解析】(1)由题意得c=a2，结合椭圆的几何性质与点到直线的距离公式，求得a，b的值即可；
(2)设线段MN的中点G(x0,y0)，利用点差法可证kOG=kOE，从而知O，G，E三点共线，进而得△OME与△ONE等底等高，得解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的几何性质，点差法，三点共线的判断与应用是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)令h(x)=mex−x+1=0，得m=x−1ex，
令g(x)=x−1ex,x∈(0,4)，则g′(x)=2−xex，
当00，当2所以函数g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，
所以g(x)max=g(2)=1e2，
又g(0)=−1,g(4)=3e4，
如图，作出函数g(x)=x−1ex,x∈(0,4)的图象，

由图可知，m的取值范围为m=1e2或−1(2)证明：因为h(x)≥h(x0)对任意实数x恒成立，
所以h(x0)是函数h(x)的最小值，
h′(x)=mex−1，
当m≤0时，h′(x)<0，所以函数h(x)在R上为减函数，
所以函数h(x)没有最小值，不符合题意，
当m>0时，xln1m时，h′(x)>0，
所以函数h(x)在(−∞,ln1m)上单调递减，在(ln1m,+∞)上单调递增，
所以h(x)min=h(ln1m)=lnm+2，
综上所述，h(x0)=h(ln1m)=lnm+2(m>0)，
则m2h(x0)>−m2+3m−1，即m2(lnm+2)>−m2+3m−1，
即m2lnm>−3m2+3m−1，即mlnm>−(3m+1m)+3，
令f(m)=mlnm,φ(m)=−(3m+1m)+3(m>0)，
φ(m)=−(3m+1m)+3≤−2 3m⋅1m+3=−2 3+3(m>0)，
当且仅当3m=1m，即m= 33时取等号，
所以φ(m)≤−2 3+3，
f′(m)=lnm+1，
当01e时，f′(m)>0，
所以函数f(m)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
所以f(m)≥f(1e)=−1e，
因为−1e>−0.4>−2 3+3，
所以f(m)>φ(m)，即mlnm>−(3m+1m)+3，
所以m2h(x0)>−m2+3m−1．
【解析】(1)令h(x)=mex−x+1=0，得m=x−1ex，构造函数g(x)=x−1ex,x∈(0,4)，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出其大致图像，结合图象即可得解；
(2)根据h(x)≥h(x0)对任意实数x恒成立，可得h(x0)是函数h(x)的最小值，由m分类讨论求出h(x)的最小值，再构造新的函数证明即可．
本题考查利用导数解决函数零点问题的方法：
(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
(3)参变量分离法：由f(x)=0分离变量得出a=g(x)，将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图象的交点问题．
本题属于难题．纪念品A
纪念品B
纪念品C
精品型
100
150
n
普通型
300
450
600