2023-2024学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x− 3y+1=0的倾斜角为( )
A. 2π3B. 5π6C. π3D. π6
2.若直线x+my+1=0与直线2x−y−3=0相互平行，则m的值为( )
A. .1B. −1C. −12D. 12
3.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为12、23，则密码被成功破译的概率为( )
A. ．16B. 13C. 23D. 56
4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S6=9S3，则a1=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
5.袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中2个白球，2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.记事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“两个球颜色相同”( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B独立
C. 事件A与事件B对立D. 事件C包含事件A∩B
6.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，点P满足AP=AB+23AD+13AA1，则P到CD的距离为( )
A. 13B. 23C. 53D. 56
7.F1、F2双曲线x2−y23=1的左、右焦点，P是双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|.则△PF1F2的面积为( )
A. 152B. 15C. 4D. 2 15
8.已知A，B是圆C1：x2+y2=3上的动点，且AB=2 2，P是圆C2：(x−3)2+(y−4)2=1上的动点，则|PA+PB|的取值范围是( )
A. [8,12]B. [6,10]C. [10,14]D. [6,14]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2x,1,1),b=(1,−y,2)，则( )
A. 若x=14,y=−2，则a//b
B. 若x=1，y=1，则a⊥b
C. 若x=12,y=1，则cs= 23
D. 若x=12,y=1则向量a在向量b上的投影向量c=(13,−13,23)
10.已知事件A、B.且P(A)=0.6、P(B)=0.3，则下列结论正确的是( )
A. 若B⊆A.则P(A∪B)=0.3，P(AB)=0.6
B. 若A、B互斥，则P(A∪B)=0.9，P(AB)=0
C. 若A、B相互独立，则P(A∪B)=0.9，P(AB)=0
D. 若A、B相互独立，则P(A−B−)=0.28,P(AB−)=0.42
11.已知圆C：(x−5)2+(y−5)2=9，A(2,0)、B(0,2)，则( )
A. 在圆C上存在点P，使得|BP|=3
B. 在圆C上存在点P，使得点P到直线AB的距离为5
C. 在圆C上存在点P.使得∠APB=90°
D. 在圆C上存在点P，使得|AP|=|BP|=4
12.已知抛物线E：y2=4x的点为F，直线x=my+1(m∈R)与E交于A、B两点、则下对说法正确的是( )
A. O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为2
B. 若|AF|=2|BF|，则|AB|=92
C. 设M(−1,0)，|AF||AM|的最小值为12
D. 过A、B分别作直线x=−1的垂线，垂足分别为C、D.则|CF|2+|DF|2=4|AF||BF|
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题5分)
已知等差数列{an}的前7项和S7=14，a3=1，则a5= ______．
14.(本小题5分)
在棱长为2的正四面体ABCD中，M为CD的中点，则．AM⋅BC= ______．
15.(本小题5分)
过定点A的直线mx−y+1=0与过定点B的直线x+my−3=0交于P，则|PA|2+|PB|2= ______．
16.(本小题5分)
已知F1、F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线l：x=−a上存在点P，使得∠F1PF2=45°，则椭圆C的离心率的取值范围是______．
17.(本小题10分)
已知圆C过点O(0,0)，A(0,4)，且圆心在直线y=x上，
(1)求圆C的方程；
(2)过M(−4,0)作圆C的切线，求切线方程．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,{2Snan}是公差为1的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=1an+1⋅an，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19.(本小题12分)
某企业在招聘员工时，应聘者需要参加测试，测试分为初试和复试，初试从5道题中随机选择3道题回答，每答对题得1分，答错得0分，初试得分大于成等于2分才能参加复试，复试每人回答A、B两道题，每答对一题得2分，答错得−1分.已知在初试5道题中甲有3道题能答对，乙有2道题能答对；在复试的A、B两道题中，甲每题能答对的概率都是12，乙每题能答对的概率都是23．
(1)求甲、乙两人各自能通过初试的概率；
(2)若测试总得分大于或等于4分为合格，请问：在参加完测试后，甲、乙合格的概率谁更大？
20.(本小题12分)
已知点(4,4)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，斜率为−12的直线与C交于P、Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2．
(1)证明：k1+k2为定值；
(2)若∠PAQ=90°，求△PAQ的面积．
21.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是菱形，E、F分别是AC、A1B1的中点，A1E平面ABC，∠ABC=90°．
(1)证明：BC⊥EF；
(2)若AB=2，点A1到平面BCC1B1的距离为4 27.求直线EF与平面A1BC所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=± 3x，点(2,3)在E上．
(1)求E的方程．
(2)设B是双曲线E的左项点，过点(2,0)的直线l与E的右支交于P、Q两点，直线BP，BQ分别与直线x=12交于M、N两点.试探究：是否存在定点T，使得以MN为直径的圆过点T？若存在求点T的坐标标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查运算能力，属基础题．
求出直线的斜率，由直线的倾斜角与斜率的关系，计算即可得到所求值．
【解答】
解：直线x− 3y+1=0的斜率为k= 33，
设倾斜角为α，可得tanα= 33，
由0≤α<π，且α≠π2，
可得α=π6，
故选D．
2.【答案】C
【解析】解：因为两条直线平行，所以12=m−1≠1−3，
解得m=−12．
故选：C．
写出两直线平行的充要条件，即可解得m的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，设甲破译密码为事件A，以破译密码为事件B，密码被成功破译为事件C，
则P(C)=1−P(A−B−)=1−P(A−)P(B−)=1−12×13=56．
故选：D．
根据题意，设甲破译密码为事件A，以破译密码为事件B，密码被成功破译为事件C，由于P(C)=1−P(A−B−)=1−P(A−)P(B−)，计算可得答案．
本题考查概率的应用，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=3，S6=9S3，
∴q≠1，且a1(1−q2)1−q=3a1(1−q6)1−q=9×a1(1−q3)1−q，
解得a1=1，q=2．
故选：C．
利用等比数列的前n项和公式列方程组，能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，事件A、B可能同时发生，两个事件不是互斥事件，A错误；
对于B，事件A发生或不发生，对事件B发生的概率有影响，则两个事件不是独立事件，B错误；
对于C，事件A、B可能同时发生，两个事件不是对立事件，C错误；
对于D，事件C即“取出的两个球都是白起”或“取出的两个球都是红球”，即事件C包含事件A∩B，D正确．
故选：D．
根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由对立事件的定义分析C，由事件的包含关系分析D，综合可得答案．
本题考查事件之间的关系，涉及互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥CD于N，连接PN，如图，
∵PM⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PM⊥CD，
∵MN⊥CD，PM∩MN=M，PM，MN⊂面PMN，∴CD⊥面PMN，
又PN⊂面PMN，∴CD⊥PN，
∴线段PN的长即为点P到直线CD的距离，
∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P满足AP=AB+23AD+13AA1，
∴延长NM，交AB于H，则MH=23，PM=13，
∴PN= PM2+MN2= 19+19= 23．
故选：B．
过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥CD于N，连接PN，则PN就是P到CD的距离，由此能求出结果．
本题考查线面垂直的判定与性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意：a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4，
因为|PF1|=2|PF2|，而|PF1|−|PF2|=2a=2，
所以|PF2|=2，|PF1|=4，而|F1F2|=2c=4，
F1到线段PF2的距离为： 16−1= 15，
△PF1F2的面积为：12×2× 15= 15．
故选：B．
由题意可得a，b，c的值，由定义可得|PF1|−|PF2|=2a=2，|F1F2|的值，再由题意可得|PF1|，|PF2|的值，进而求出△PF1F2的面积．
本题考查双曲线的定义的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由题意可得C1是圆心为(0,0)半径为 3的圆，C2是圆心为(3,4)半径为1的圆，
设AB中点为M，∵AB=2 2，由垂径定理得OM= OA2−AM2= 3−2=1，
∴M在圆O：x2+y2=1上，又|PA+PB|=|2PM|，
由图可知 (PM)min=OC2−1−1= 32+42−1−1=3，
(PM)max=OC2+1+1=7，∴|PA+PB|的范围为[6,14]．
故选：D．
由题意得AB中点M在圆上，数形结合即可求出PM的取值范围，即可得解．
本题考查了与圆有关的范围问题，考查了转化化归思想，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A：当x=14,y=−2，则a=(12,1,1),b=(1,2,2)，所以a//b，故A正确；
对于B：当x=1，y=1时，则a=(2,1,1),b=(1,−1,2)，故a⋅b=2−1+2=3，故B错误；
对于C：当x=12,y=1时，则a=(1,1,1),b=(1,−1,2)，故cs=a⋅b|a||b|=2 3× 6= 23，故C正确；
对于D：当x=12,y=1时，则a=(1,1,1),b=(1,−1,2)，所以向量a在向量b上的投影向量|a|⋅cs⋅b|b|=|a|⋅a⋅b|a||b|⋅b|b|=26(1,−1,2)=(13,−13,23)，故D正确．
故选：ACD．
直接利用向量的数量积运算，向量的共线和垂直的充要条件，判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量的共线和垂直的充要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】BD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若B⊆A.则P(A∪B)=P(A)=0.6，P(AB)=P(B)=0.3，A错误；
对于B，若A、B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.9，P(AB)=0，B正确；
对于C，若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.18，C错误；
对于D，若A、B相互独立，则A−、B−也相互独立，则P(A−B−)=P(A−)P(B−)=0.28，P(AB−)=P(A)P(B−)=0.42，D正确．
故选：BD．
根据题意，由子事件的性质分析A，由互斥事件的性质分析B，由相互独立事件的性质分析C和D，综合可得答案．
本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，涉及事件之间的关系，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：由圆C：(x−5)2+(y−5)2=9，可得圆心C的坐标为( 5,5)，半径r=3，
因为圆心C到点B的距离|BC|= 52+(5−2)2= 34<6，
所以|PB|的取值范围为[ 34−3, 34+3]，在圆C上存在点P，使得|BP|=3，故A正确；
因为A(2,0)、B(0,2)，因为直线AB的方程为x2+y2=1，即x+y−2=0，
所以圆心C到直线AB的距离为d=|5+5−2| 1+1=4 2，
所以点P到直线AB的距离的范围为[4 2−3,4 2+3]，
所以在圆C上存在点P，使得点P到直线AB的距离为5，故B正确；
因为A(2,0)、B(0,2)，若∠APB=90°，
则P在以AB为直径的圆上，由AB的中点为M(1,1)，|AB|= 4+4=2 2，
所以AB为直径的圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=2；
又|MC|= (5−1)2+(5−1)2=4 2，因为|MC|>3+ 2，
所以圆C与圆M外离，故在圆C上不存在点P.使得∠APB=90°，故C错误；
若|AP|=|BP|，所以点P在AB的垂直平分线上，又kAB=2−00−2=−1，
所以AB的垂直平分线方程为y−1=1(x−1)，即x−y=0，可得C在AB的垂直平分线上，
故若存在|AP|=|BP|=4，则P为x−y=0与圆的交点，
故此时P到直线AB的距离最大或最小，由B可知最大距离时|BP|>4，
当P到直线的距离最小时，此时|BP= (4 2−3)2+( 2)2≠4，
故在圆C上不存在点P，使得|AP|=|BP|=4，故D错误．
故选：AB．
利用已知求得圆心与半径，求得直线AB的方程，结合圆的性质，逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的方程可得焦点F(1,0)在直线AB上，
A中，联立y2=4xx=my+1，整理可得y2−4my−4=0，
可得y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= 16m2−4×(−4)=4 1+m2，
所以S△OAB=12|OF|⋅|y1−y2|=12⋅1⋅ 1+m2≥2，当m=0时取等号，所以△AOB面积的最小值为2，所以A不正确；
B中，|AF|=2|BF|，即AF=2FB，
所以−y1=2y2，代入y1+y2=4m中，可得y1=8m，y2=−4m，再代入y1y2=−4中，可得8m⋅(−4m)=−4，
解得m2=18，
所以|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 16m2−4×(−4)=4(1+m2)=4×(1+18)=92，所以B正确；
C中，|AF||AM|=|x1+1| (x1−1)2+y12，而y12=4x1，
所以|AF||AM|=|x1+1| (x1+1)2+y12=|x1+1| x12+1+2x1+4x1=1 1+4x1x12+2x1+1，
当x1=0时，|AF||AM|=1，
当x1>0时，|AF||AM|=1 1+4x1+1x1+2≥1 1+42+2 x1⋅1x1= 22，当且仅当x1=1x1，即x1=1时取等号，
所以|AF||AM|的最小值为 22，所以C不正确；
D中，设准线与x轴交于M(−1,0)，|CF|2+|DF|2=|CM|2+|MF|2=y12+4+y2+4=4x1+4x2+8=4(x1+x2)+8，
4|AF|⋅|BF|=4(x1+1)(x2+1)=4x1x2+4(x1+x2)+4=4⋅(y1y2)216+4(x1+x2)+4=4(x1+x2)+8，
所以|CF|2+|DF|2=4|AF||BF|成立，所以D正确．
故选：BD．
联立直线AB与抛物线的方程，可得两根之和及两根之积，分别对所给命题判断它们的真假．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
13.【答案】3
【解析】解：等差数列{an}的前7项和S7=14，a3=1，
∴7a1+7×62d=14a1+2d=1，
解得a1=−1，d=1，
则a5=a1+4d=−1+4=3．
故答案为：3．
利用等差数列的前n项和公式、通项公式列方程组，能求出结果．
本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：在棱长为2的正四面体ABCD中，M为CD的中点，如图所示：
故AM⋅BC=12(AC+AD)⋅(AC−AB)=12(AC2−AC⋅AB+AD⋅AC−AD⋅AB)=12(22−2×2×12+2×2×12−2×2×12)=1．
故答案为：1．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
15.【答案】10
【解析】解：直线mx−y+1=0过定点A(0,1)，
直线x+my−3=0过定点B(3,0)，
又因为m×1+(−1)×m=0，
所以两条直线垂直，而两条直线的交点为P，
则|PA|2+|PB|2=|AB|2=(3−0)2+(0−1)2=10．
故答案为：10．
由两条直线的方程，可得定点A，B的坐标，又因为两条直线垂直，交点为P，所以|PA|2+|PB|2=|AB|2，求出即可．
本题考查直线恒过定点的求法及两条直线位置关系的判断方法，属于基础题．
16.【答案】[ 22,1)
【解析】解：如图，设P(−a,t)(t≠0)，∠APF1=α，∠APF2=β，
易知，|AF1|=a−c|AF2|=a+c，则tanα=a−ct，tanβ=a+ct，
由题知tanβ=tan(α+π4)=tanα+11−tanα，所以a+ct=1+a−ct1−a−ct，
整理得到t2−2ct+a2−c2=0，由Δ=4c2−4(a2−c2)≥0，得到2c2≥a2，
即e2≥12，又0所以椭圆C的离心率的取值范围是[ 22,1)．
故答案为：[ 22,1)．
设P(−a,t)(t≠0)，∠APF1=α，∠APF2=β，根据条件建立方程a+ct=1+a−ct1−a−ct，整理得到t2−2ct+a2−c2=0，再利用方程有解，即可求出结果．
本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的性质，属中档题．
17.【答案】解：(1)圆C过点O(0,0)，A(0,4)，且圆心在直线y=x上，
故圆心在直线y=2上，所以圆心的坐标为(2,2)，圆的半径为r= 22+22=2 2，
故圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=8．
(2)过M(−4,0)作圆C的切线，根据点M的位置，故直线x=−4与圆(x−2)2+(y−2)2=8相离；
故过点M(−4,0)作圆的切线的斜率存在；
设切线的方程为y=k(x+4)，
整理得kx−y+4k=0；
利用圆心(2,2)到直线kx−y+4k=0的距离d=|2k−2+4k| 1+k2=2 2，解得k=1或−17；
故直线的方程为x−y+4=0或x+7y+4=0．
【解析】(1)直接根据题意求出圆的方程；
(2)利用点到直线的距离公式求出圆的切线方程．
本题考查的知识要点：直线的方程，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由a1=1,{2Snan}是公差为1的等差数列，
可得2Snan=2+n−1=n+1，即2Sn=(n+1)an，
当n=2时，2(a1+a2)=3a2，解得a2=2，
当n≥2时，由2Sn=(n+1)an，可得2Sn−1=nan−1，
上面两式相减可得2an=(n+1)an−nan−1，
即有(n−1)an=nan−1，
则ann=an−1n−1=，即an=n(对n=1也成立)；
(2)bn=1anan+1=1n(n+1)=1n−1n+1，
即有Tn=1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1．
【解析】(1)由等差数列的通项公式和数列的通项与求和的关系，可得所求；
(2)运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等差数列的通项公式与数列的递推式，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意，甲通过初试的概率P1=C32C21+C33C53=710，
乙通过初试的概率P2=C22C31C53=310；
(2)根据题意，若甲合格，则甲初试得2分，复试也得2分或者初试得3分，复试得1分或2分，
则甲合格的概率P3=C32C21C53×(12)2+C33C53×[1−(12)2]=610×14+110×(1−14)=940，
若乙合格，乙需要初试得2分，复试也得2分，
则乙合格的概率P4=C22C31C53×(23)2=215；
由于P3>P4，则甲合格的概率更大．
【解析】(1)根据题意，由古典概型公式计算可得答案；
(2)根据题意，若甲合格，则甲初试得2分，复试也得2分或者初试得3分，复试得1分或2分，对于乙，若乙合格，乙需要初试得2分，复试也得2分，由互斥事件的概率公式求出甲乙合格的概率，比较可得答案．
本题考查概率的应用，涉及互斥事件、相互独立事件的概率计算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)证明：设直线PQ的方程为y=−12x+b，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y2=4xy=−12x+b，得x2−4(b+4)x+4b2=0，
所以x1+x2=4(b+4)，x1x2=4b2，
所以k1+k2=y1−4x1−4+y2−4x2−4=−12x1+b−4x1−4+−12x2+b−4x2−4
=(−12x1+b−4)(x2−4)+(x1−4)(−12x2+b−4)(x1−4)(x2−4)
=−12x1x2+2x1+bx2−4b−4x2+16−12x1x2+2x2+bx1−4b−4x1+16x1x2−4(x1+x2)+16
=−x1x2+(b−2)(x1+x2)−8b+32x1x2−4(x1+x2)+16=−4b2+(b−2)⋅4(b+4)−8b+324b2−16(b+4)+16
=0，
所以k1+k2为定值0．
(2)因为∠PAQ=90°，
所以AP⋅AQ=(x1−4,y1−4)⋅(x2−4,y2−4)=(x1−4)(x2−4)+(y1−4)(y2−4)
=x1x2−4(x1+x2)+16+[14x1x2+(−b2+2)(x1+x2)+b2−8b+16]
=54x1x2+(−b2−2)(x1+x2)+b2−8b+32
=54⋅4b2+(−b2−2)⋅4(b+2)+b2−8b+32
=4b2−24b=4b(b−6)=0，
所以b=0或b=6，
|PQ|= 1+(−12)2 (x1+x2)2−4x1x2= 52 [4(b+4)]2−4⋅4b2=4 5 2b+4，
点A到直线PQ的距离d=|4+4×2−2b| 12+22=|12−2b| 5，
所以S△APQ=12|PQ|d=12⋅4 5 2b+4⋅|12−2b| 5=2 2b+4⋅|12−2b|，
当b=0时，S△APQ=48，
当b=6时，S△APQ=0，舍去，
所以△PAQ的面积为48．
【解析】(1)设直线PQ的方程为y=−12x+b，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1+k2，即可得出答案．
(2)根据题意可得AP⋅AQ=4b(b−6)=0，解得b，再计算弦长|PQ|，点A直线的距离d，进而可得答案．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：因为A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥BC，取BC的中点M，连接EM，B1M，
所以EM//12AB，EM=12AB又因为BC⊥AB，所以BC⊥EM，
因为EM∩A1E=E，EM，A1E⊂平面EMB1A1，
所以BC⊥平面EMB1A1，又因为EF⊂平面EMB1A1，
所以BC⊥EF；
(2)取BC的中点M，连接ME，MF，由(1)知MC，ME，MF两两垂直，如图，建立空间直角坐标系M−xyz，

设AA1=2a，A1E= 3a，BC=2b，
则A1(0,1, 3a),B(0,−1, 3a),C(b,0,0),B1(0,−1, 3a)，
设平面BCC1B1的法向量为n=(x1,y1,z1)，
则有n⋅MB1=0n⋅MC=0，即−y1+ 3az1=0bx1=0，
可取n=(0, 3a,1)，
由点A1到平面BCC1B1的距离为4 27，可得|MA⋅n||n|=2 3a 3a2+1=2 427，
解得a= 2，
∴E(0,1,0)，F(0,0, 6)，∴EF=(0,−1, 6)，
∴AC=2 2，BC=AB=2，
∴BC=(2,0,0)，
设平面A1BC的法向量为m=(x2,y2,z2)，
则有m⋅MA1=0m⋅BC=0，即y2+ 6z2=02x2=0，
可取m=(0,− 6,1)，
设直线FF与平面A1BC所成角为α，
∴sinα=|cs〈EFm〉|=|EF⋅m|EF||m||=|0+ 6+ 6 7× 7|=2 67，
即直线EF与平面A1BC所成角的正弦值2 67．
【解析】(1)取BC的中点M，连接EM，B1M，则BC⊥EM，再结合EM∩A1E=E，EM，A1E⊂平面EMB1A1，可证得BC⊥平面EMB1A1，进而得到BC⊥EF；
(2)取BC的中点M，连接ME，MF，由(1)知MC，ME，MF两两垂直，建立空间直角坐标系M−xyz，设AA1=2a，A1E= 3a，BC=2b，求出相应点的坐标，利用
点A1到平面BCC1B1的距离为4 27可求出a的值，再利用直线与平面的夹角公式求解．
本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求出点到平面的距离，以及直线与平面的夹角，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可知：ba= 34a2−9b2=1，解得a=1b= 3，
故双曲线C的方程为：x2−y23=1．
(2)由双曲线的对称性，又点B(−1,0)及点(2,0)均在x轴上，
若存在定点T，满足以MN为直径的圆过点T，则点T在x轴上．
故假设存在定点T(t,0)，使得以MN为直径的圆过点T．
双曲线E：x2−y23=1的左顶点B(−1,0)，
由题意知直线l不垂直于y轴，故设直线l的方程为：x=my+2，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
x2−y23=1x=my+2，消去x得(3m2−1)y2+12my+9=0，
3m2−1≠0Δ=(12m)2−4(3m2−1)×9=36(m2+1)>0，解得m2≠13，
∴y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1，
由直线l与双曲线E的右支交于P、Q两点，
则x1+x2=m(y1+y2)+4=−12m23m2−1+4=−43m2−1>0x1x2=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=9m2−43m2−1>0，
解得m2<13，
又直线BP的方程为y=y1x1+1(x+1)，代入x=12⇒M(12,3y12(x1+1))，
同理，直线BQ的方程为y=y2x2+1(x+1)，代入x=12⇒N(12,3y22(x2+1))．
要使以MN为直径的圆过点T，则MT⋅NT=0．
∴MT=(t−12,−3y12(x1+1))，NT=(t−12,−3y22(x2+1))，
∴MT⋅NT=(t−12)2+9y1y24(x1+1)(x2+1)
=(t−12)2+9y1y24(my1+3)(my2+3)=(t−12)2+9y1y24[m2y1y2+3m(y1+y2)+9]
=(t−12)2+9×93m2−14(m2×93m2−1+3m×−12m3m2−1+9)=(t−12)2−94=0，
解得t=2，或t=−1．
故存在定点T(2,0)，或T(−1,0)，使得以MN为直径的圆过点T．
【解析】(1)由渐近线方程与点(2,3)在双曲线上待定a，b即可得方程；
(2)假设存在定点T(t,0)，满足条件．设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，分别表示直线BP，BQ，令x=12，得M，N坐标，将以MN为直径的圆过点T转化为MT⋅NT=0条件，利用韦达定理代入变形为t，m关系式，不受m影响，求t值即可．
本题考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题．